王兆敏, 徐 杰, 何臘梅, 劉 瑜

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610064)

1 引言

工業(yè)中,含有線性狀態(tài)約束的控制使用越來越廣泛,然而在處理實際問題中,對于含有線性狀態(tài)約束的隨機(jī)模型或者隨機(jī)信號,一般采取忽略或啟發(fā)式思考的方法[1]。實際上,某些已知的信號或許不該被忽略。為此,在投影系統(tǒng)和無約束的 H∞濾波方程的基礎(chǔ)上,考慮線性狀態(tài)等式約束的條件,給出了一種含線性狀態(tài)等式約束的H∞濾波。通過比較其與狀態(tài)投影下的 H∞濾波的一步向前估計誤差協(xié)方差的上界,得出了文中所給方法的估計性能優(yōu)于狀態(tài)投影下的H∞濾波的估計性能的結(jié)論。并給出一個數(shù)值模擬的例子,驗證了上述結(jié)論。

對含有狀態(tài)約束的H∞控制及其狀態(tài)估計,已經(jīng)進(jìn)行了較多研究[2-4]。在文獻(xiàn)[5-7]理論基礎(chǔ)上,對傳統(tǒng)的帶有加性白噪聲的隨機(jī)系統(tǒng)模型,如果狀態(tài)變量滿足硬的等式約束(所謂的硬的等式約束,就是狀態(tài)變量之間的關(guān)系確切知道),伴隨著加在其上的約束,過程噪聲的協(xié)方差是奇異的[7]。為了設(shè)計正確的滿足狀態(tài)等式約束的H∞濾波,必須用到實際(奇異)的帶有約束的噪聲協(xié)方差矩陣。文中,把基于投影系統(tǒng)含有狀態(tài)約束的H∞濾波稱之為投影系統(tǒng)約束的H∞濾波。主要關(guān)注投影系統(tǒng)約束的H∞濾波的推導(dǎo)及其與狀態(tài)投影H∞濾波的狀態(tài)估計性能比較。所謂狀態(tài)投影H∞濾波,就是把無約束的H∞濾波投影到狀態(tài)約束的平面上。在文獻(xiàn)[5]中,D Simon證明了無約束的H∞濾波估計誤差協(xié)方差的上界不高于狀態(tài)投影的 H∞濾波估計誤差協(xié)方差的上界的結(jié)論。將給出狀態(tài)投影的H∞濾波估計誤差協(xié)方差的上界不高于投影系統(tǒng)約束的 H∞濾波估計誤差協(xié)方差上界的證明。

注：為記法簡便,文中把基于投影系統(tǒng)帶線性狀態(tài)約束的H∞濾波的狀態(tài)估計稱之為投影系統(tǒng)約束的H∞濾波的狀態(tài)估計。把無約束的H∞濾波投影到約束的狀態(tài)平面上的估計,稱之為狀態(tài)投影的H∞濾波估計。對于矩陣 A,AT為A的轉(zhuǎn)置。對于對稱矩陣P,P＞0或者P＜0表示P是一個正定的或者半正定的矩陣。

2 帶有等式約束的線性系統(tǒng)

假設(shè)線性系統(tǒng)的動態(tài)模型為：

狀態(tài)約束條件為Dkx=0。其中,Dk是已知s×n階約束矩陣,0是 s維零向量,s為約束個數(shù),n是狀態(tài)變量個數(shù),且s≤n。假定Dk是行滿秩的,即Rank(Dk)=s。這個條件較容易滿足,因為若Dk不滿足滿秩的條件,則可通過去掉其相關(guān)行使其滿秩,去掉多余的狀態(tài)約束條件即可。并且可以正規(guī)化,即DkD=I。其中狀態(tài)變量 xk∈Rn。把矩陣Dk的左零空間記為這里代表觀測向量。均是零均值的白噪聲。并且有

3 隨機(jī)系統(tǒng)下含線性狀態(tài)約束的H∞濾波

首先給出不含線性狀態(tài)等式約束的H∞濾波的方程,然后給出狀態(tài)投影和投影系統(tǒng)約束下的H∞濾波的方程。狀態(tài)投影的 H∞濾波就是把無約束的狀態(tài)估計投影到狀態(tài)約束的平面上,而投影系統(tǒng)約束的H∞濾波則是通過正確的使用過程噪聲協(xié)方差矩陣來得到。繼而,通過比較投影系統(tǒng)約束的 H∞濾波和估計投影H∞濾波的估計誤差協(xié)方差的上界,可以看出投影系統(tǒng)約束的 H∞濾波的估計性能更優(yōu)一些。

3.1 不含線性狀態(tài)等式約束的H∞濾波

對于線性系統(tǒng)(1),通過文獻(xiàn)[6]知,將假定對手的輸入如下其中是一個確定的增益,是一個給定的矩陣,可以稱為可調(diào)參數(shù)或者加權(quán)矩陣為一個噪聲序列。假定和是不相關(guān)的白噪聲序列,并且它們均與不相關(guān)。矩陣可由對手噪聲輸入的先驗信息來調(diào)整。+1表示在觀測{,,…,}下狀態(tài)+1的估計。狀態(tài)估計表達(dá)式為其中為狀態(tài)估計的增益,從文獻(xiàn)[6]中知：

3.2 狀態(tài)投影的H∞濾波

對于滿足線性等式約束的隨機(jī)系統(tǒng)(1),在文獻(xiàn)[5]中,通過把無約束的狀態(tài)估計?xk投影到約束平面上,給出了狀態(tài)投影的H∞濾波方程。文中,把它叫做狀態(tài)投影的H∞濾波,用上標(biāo)(?)p來表示。狀態(tài)投影的 H∞濾波解決如下問題：

3.3 投影系統(tǒng)約束的H∞濾波

在這一節(jié)中,為了記號的簡單,用D來代替Dk。在文獻(xiàn)[7]中,由于D是行滿秩的,所以DT的列向量線性無關(guān),因此可以定義DT的左零空間。記DT的左零空間的正交補(bǔ)空間為D⊥,并且滿足DT⊥DT=0和DT⊥D⊥=I。因此,存在唯一的序列zk∈R(n-s)滿足

由zk的定義及系統(tǒng)(1),可知

將式(5)代入式(4)中,可以得到：

其中PN(D)?D⊥DT⊥表示零空間D的正交投影。而根據(jù)文獻(xiàn)[8],可知如果選擇 PN(D)=P(Qu)-1=I-QuD(DTQuD)-1DT,會得到更好的結(jié)果。約束的H∞濾波在系統(tǒng)投影下的表達(dá)式如下：

其中Qc=P(Qu)-1QuP(Qu)-1,上式成立的條件為并且有

定理：對于式(3)中所給狀態(tài)投影的一步向前估計誤差協(xié)方差的上界,和式(7)中給出的投影系統(tǒng)約束的估計誤差協(xié)方差的上界,投影系統(tǒng)約束的估計誤差協(xié)方差的上界不大于狀態(tài)投影的估計誤差協(xié)方差的上界,即

證明：假定當(dāng)前時刻兩個狀態(tài)估計相同,也就是 ?xp=?xc,于是有以及于是由從式(2)和式(3)可得

所以

又因為

所以

又(I-Vk+1)和(I-QuDT(DQuDT)-1D)的每個特征值為0或者1,而且 Qu是非奇異的,所以有 Trace(A?∑kAT.從文獻(xiàn)[8]中,可知

由式(10)可知,(I-Vk+1)2=I-Vk+1,故 Trace((I-Vk+1)Qu(I-Vk+1))=Trace(Qu(I-Vk+1)).

又因為(I-Vk+1)的每個特征值為0或者1,根據(jù)文獻(xiàn)[9],可得

由于式(12)中不等號兩旁的矩陣為正定矩陣,結(jié)合式(13)則有

4 數(shù)值模擬

考慮如下例子,對于一個用GPS導(dǎo)航系統(tǒng)定位的陸地車輛,其運(yùn)動軌跡可由下面的系統(tǒng)模型來逼近[8]：

首先標(biāo)準(zhǔn)化觀測方程,使得觀測噪聲的協(xié)方差為單位陣,然后給出正規(guī)化的觀測yk如下：

在數(shù)值模擬中,給出如下形式的過程噪聲和觀測噪聲：

并且假定車輛沿方位角α在一條直路上行駛,于是約束方程給出如下：

圖1 H∞濾波位置估計誤差曲線對比曲線

圖2 H∞濾波速度估計誤差曲線對比曲線

圖1和圖2中的位置和速度估計誤差指的是估計誤差的均方根誤差(RMS)。從圖上可以看出投影系統(tǒng)約束的H∞濾波的估計性能要優(yōu)于約束投影 H∞濾波的估計性能。

5 結(jié)論

比較了兩種帶有線性狀態(tài)等式約束的H∞濾波的狀態(tài)估計性能,并證明了約束投影H∞濾波誤差協(xié)方差的上界不大于投影系統(tǒng)約束的H∞濾波誤差協(xié)方差的上界。數(shù)值模擬驗證了文中的結(jié)論。當(dāng)然關(guān)于約束狀態(tài)的H∞濾波還有問題去研究,比如投影系統(tǒng)約束的H∞濾波的穩(wěn)定性問題等。

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