龐海云

應(yīng)急物流是為應(yīng)對(duì)嚴(yán)重自然災(zāi)害、突發(fā)性公共衛(wèi)生事件、公共安全事件及軍事沖突等突發(fā)事件,從而對(duì)物資、人員、資金的需求進(jìn)行緊急保障的一種特殊物流活動(dòng)。它具有突發(fā)性、不確定性、非常規(guī)性及弱經(jīng)濟(jì)性等特點(diǎn)[1]。城市是人口高度集聚地區(qū),一旦發(fā)生突發(fā)性公共事件,各個(gè)受災(zāi)點(diǎn)急需大量的應(yīng)急物資,如食品、救援設(shè)備、藥品等,這時(shí)需要通過(guò)應(yīng)急物資分配來(lái)完成[2-3],以降低突發(fā)性公共事件帶來(lái)的后繼損失,加快重建工作。若應(yīng)急物資分配不當(dāng),則會(huì)影響城市機(jī)能恢復(fù),勢(shì)必造成更加巨大的損失。應(yīng)急物資分配非常重要,決定了救災(zāi)減災(zāi)的效果。

人們針對(duì)不同的目標(biāo)、背景和要求對(duì)應(yīng)急物資分配開(kāi)展了研究。在建模方面,汪欲等[4]以出救點(diǎn)數(shù)目最少、出救時(shí)間最短為目標(biāo),Ray[5]、Rathi[6]、Equi[7]在不同的約束條件下以最小化運(yùn)輸費(fèi)用為目標(biāo),?zdamar[2]以所有應(yīng)急物資的未滿(mǎn)足需求之和最小為目標(biāo),將多商品應(yīng)急物資分配問(wèn)題與車(chē)輛調(diào)度問(wèn)題結(jié)合起來(lái)建立模型。關(guān)于求解模型的算法研究,目前為止,應(yīng)用和發(fā)展了許多優(yōu)化技術(shù)和方法。如Sheu[8]針對(duì)建立的救災(zāi)階段應(yīng)急物資的聯(lián)合分配模型,提出了一種混合模糊聚類(lèi)優(yōu)化方法來(lái)求解;Yi等人[9]用蟻群算法求解車(chē)輛路徑選擇和多商品調(diào)度問(wèn)題的模型;?zdamar[2]和繆成等[10]應(yīng)用拉格朗日松弛法求解模型。

分析現(xiàn)有國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)后,筆者認(rèn)為可以在以下方面進(jìn)行改進(jìn):首先,決策以系統(tǒng)損失最小為目標(biāo),更能反映應(yīng)急物資分配的基本原則,因?yàn)闉?zāi)后最重要的事情是以最有效的方式來(lái)減少生命和財(cái)產(chǎn)損失[11],與節(jié)省時(shí)間和成本相比較,減少損失應(yīng)該是第一位的;其次,在由于供給短缺或運(yùn)力限制造成災(zāi)害無(wú)法全部撲滅(即不完全撲滅)的情形下,應(yīng)考慮如何通過(guò)全局優(yōu)化保證不同受災(zāi)點(diǎn)物資分配的相對(duì)公平性;研究對(duì)象擴(kuò)展到對(duì)多個(gè)出救點(diǎn)、多個(gè)受災(zāi)點(diǎn)、多種物資的分配,這是應(yīng)急物資分配中更真實(shí)的情況。

本文將沿著以上思路構(gòu)建城市應(yīng)急物流中不完全撲滅的物資分配決策模型,即將完全撲滅供給的研究擴(kuò)展到不完全撲滅供給情形,將單出救點(diǎn)或單種物資分配模型擴(kuò)展到多出救點(diǎn)、多種物資分配的模型,并從理論上分析最優(yōu)性條件,利用優(yōu)化技術(shù)求解模型的最優(yōu)解。

1 問(wèn)題的描述及數(shù)學(xué)模型

1.1 問(wèn)題的描述

設(shè)有l(wèi)個(gè)出救點(diǎn),存儲(chǔ)m種應(yīng)急物資,n個(gè)受災(zāi)點(diǎn),第i(i=1,…,l)個(gè)出救點(diǎn)儲(chǔ)存應(yīng)急物資j(j=1,…,m)的存儲(chǔ)量為aij,受災(zāi)點(diǎn)k(k=1,…,n)對(duì)物資j的需求量為djk,dj為全部受災(zāi)點(diǎn)對(duì)物資j的總需求量,為出救點(diǎn)i到受災(zāi)點(diǎn)k的運(yùn)力,現(xiàn)假設(shè)不同應(yīng)急物資能夠混載,各受災(zāi)點(diǎn)對(duì)各種物資的最低保障率為e。要求給出一方案,確定出救點(diǎn)i分配到受災(zāi)點(diǎn)k的第j種物資的數(shù)量Sijk,同時(shí)保證物資分配方案能夠盡量減少各受災(zāi)點(diǎn)的系統(tǒng)損失,并兼顧受災(zāi)點(diǎn)的相對(duì)公平。

1.2 數(shù)學(xué)模型

針對(duì)上述問(wèn)題的背景、目標(biāo)和要求,建立數(shù)學(xué)模型如下。

1.2.1 決策變量

1.2.2 目標(biāo)函數(shù)

1.2.3 約束條件

其中,式(2)表示從出救點(diǎn)i發(fā)出的應(yīng)急物資j的總量不大于其儲(chǔ)備量;式(3)表示各個(gè)受災(zāi)點(diǎn)的運(yùn)力限制,從各出救點(diǎn)分配到各個(gè)受災(zāi)點(diǎn)的物資總量不能超過(guò)該受災(zāi)點(diǎn)的運(yùn)輸能力;式(4)表示各個(gè)受災(zāi)點(diǎn)的需要量限制,從各出救點(diǎn)分配給每個(gè)受災(zāi)點(diǎn)的每種物資的總量不能超過(guò)該受災(zāi)點(diǎn)對(duì)該種物資的實(shí)際需求量;式(5)為物資分配的相對(duì)公平約束;式(6)為非負(fù)約束。

2 模型求解分析

2.1 利用MATLAB優(yōu)化工具箱求解

本模型為目標(biāo)函數(shù)為非線(xiàn)性的約束優(yōu)化問(wèn)題。求解此問(wèn)題本研究選擇MATLAB語(yǔ)言實(shí)現(xiàn),是因?yàn)镸ATLAB相對(duì)于其他包括FORTRAN和C在內(nèi)的多種高級(jí)語(yǔ)言來(lái)說(shuō),不僅具有語(yǔ)言簡(jiǎn)潔緊湊、庫(kù)函數(shù)豐富等優(yōu)點(diǎn),而且具有功能強(qiáng)大的工具箱,特別是優(yōu)化工具箱對(duì)于求解非線(xiàn)性規(guī)劃非常方便。優(yōu)化工具箱中fmincon函數(shù)使用較多,用此函數(shù)迭求解約束優(yōu)化問(wèn)題迭代次數(shù)少,但是如果有多個(gè)不同局部最優(yōu)解,不同的初值會(huì)收斂到不同的值,所以使用該函數(shù)求解必須證明模型是凸規(guī)劃問(wèn)題,如果這個(gè)結(jié)論成立,則可以說(shuō)明問(wèn)題的任何局部最優(yōu)解也是其全局最優(yōu)解。

根據(jù)凸規(guī)劃的定義首先證明目標(biāo)函數(shù)L是凸函數(shù),則需證明其Hessian矩陣是半正定陣,經(jīng)計(jì)算Hessian矩陣是由l×l個(gè)相同的對(duì)角陣組成的一個(gè)實(shí)對(duì)稱(chēng)陣,而對(duì)角陣的對(duì)角元素是目標(biāo)函數(shù)L對(duì)決策變量的二階偏導(dǎo)數(shù),即:

由于α≥1,因此二階偏導(dǎo)數(shù)非負(fù),經(jīng)計(jì)算Hessian矩陣的左上角各階主子式都大于等于零,則Hessian矩陣是半正定陣,故目標(biāo)函數(shù)L為凸函數(shù)。又因?yàn)樗屑s束條件都是線(xiàn)性函數(shù),則把約束式(2)、(3)、(4)看成是凸函數(shù),把約束式(5)、(6)看成是凹函數(shù),則可以證明該模型為凸規(guī)劃,所以模型可以用fimincon函數(shù)求解。

使用fmincon函數(shù)時(shí)選用中型算法(序列二次規(guī)劃法),在每步迭代中求解二次規(guī)劃問(wèn)題,并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。具體求解過(guò)程分為3步:第一步,建立M 文件定義目標(biāo)函數(shù);第二步,建立M 文件定義約束條件;第3步,激活優(yōu)化工具箱,選擇選項(xiàng)“fmincon”和“Active set”,把2個(gè) M 文件名及初值輸入,點(diǎn)擊“start”即可獲得最優(yōu)方案。

2.2 模型應(yīng)用舉例

設(shè)某洪澇災(zāi)區(qū)有4個(gè)受災(zāi)點(diǎn),由于受災(zāi)點(diǎn)的建筑結(jié)構(gòu)、人口分布、天氣情況都有差異,所以受災(zāi)程度不同,對(duì)各種物資的需要量也不同。各受災(zāi)點(diǎn)對(duì)藥品、設(shè)備、食品、衣物和帳篷5種應(yīng)急物資的需求情況如表1所示。

設(shè)有2個(gè)出救點(diǎn),表2表示各個(gè)出救點(diǎn)儲(chǔ)存的幾種應(yīng)急物資的數(shù)量aij,表3表示各出救點(diǎn)到各受災(zāi)點(diǎn)的運(yùn)力cik。

表1 各受災(zāi)點(diǎn)的應(yīng)急物資需求情況Table1 Demand for each type of relief commodity in each affected area t

表2 出救點(diǎn)可供應(yīng)的應(yīng)急物資情況Table 2 Storage of each relief commodity in depot t

表3 出救點(diǎn)到各受災(zāi)點(diǎn)的運(yùn)力情況Table 3 Transport capacity from depot to each affected area t

根據(jù)物資的作用和其對(duì)受災(zāi)人員的重要性,設(shè)定物資系數(shù)ω′j。根據(jù)各個(gè)受災(zāi)點(diǎn)的屬性(如在地震中受災(zāi)點(diǎn)房屋損壞程度、次生災(zāi)害發(fā)生情況、天氣情況等)和受災(zāi)人員的屬性(如受災(zāi)人員的受傷程度、年齡、性別、饑餓時(shí)間等)設(shè)定受災(zāi)點(diǎn)系數(shù) ω′jk。根據(jù)公式 ωjk=ω′j×ω′jk,求出差異系數(shù) ωjk如表4所示。

根據(jù)各種應(yīng)急物資的儲(chǔ)備情況和出救點(diǎn)到各受災(zāi)點(diǎn)的運(yùn)力情況設(shè)定公平度系數(shù)e。各種物資儲(chǔ)備量與其需求量的最小比值為0.790,出救點(diǎn)到各受災(zāi)點(diǎn)的運(yùn)力與各受災(zāi)點(diǎn)物資需求量的最小比值為0.782,則公平度系數(shù)e必須小于這兩個(gè)比值的最小值,即小于0.782。則設(shè)公平度系數(shù)e為0.70。

當(dāng)災(zāi)害指數(shù)α=2時(shí),使用MATLAB7.9的fmincon函數(shù),得到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為0.125 5,最優(yōu)解及各受災(zāi)點(diǎn)各種物資的滿(mǎn)足率如表5所示。

表 4 差異系數(shù) ωjkTable 4 Difference indexωjk

表5 α=2時(shí)的最優(yōu)解Table 5 Optimal solution whenα=2

從總體來(lái)看,各受災(zāi)點(diǎn)獲得藥品的滿(mǎn)足度是最高的,其次是救援設(shè)備,說(shuō)明在運(yùn)力有限的情況下,比較重要的物資優(yōu)先得到分配;而對(duì)于同一應(yīng)急物資,受災(zāi)點(diǎn)對(duì)其需求的緊迫性越大,其滿(mǎn)足率也相對(duì)較高,如受災(zāi)點(diǎn)3相對(duì)其他受災(zāi)點(diǎn)對(duì)設(shè)備的需求比較緊迫,所以滿(mǎn)足率也是最高的(84%),說(shuō)明物資優(yōu)先分配到對(duì)物資需求比較緊迫的受災(zāi)點(diǎn)。

如果去掉式(5)的公平約束,重新求解,得到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為0.082 5,最優(yōu)解及各受災(zāi)點(diǎn)物資的滿(mǎn)足率如表6所示。

表6 α=2時(shí)的最優(yōu)解無(wú)公平約束Table6 Optimal solution whenα=2(without equity constraints)

觀察表6的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn),在無(wú)公平約束情況下,各受災(zāi)點(diǎn)的物資滿(mǎn)足率分布很不均勻,最高的藥品的分配幾乎達(dá)到100%,而最低的衣物滿(mǎn)足率只有24.8%,遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于設(shè)定的公平度系數(shù)0.7,未達(dá)到這個(gè)指標(biāo)的共有6個(gè),其中有6個(gè)是對(duì)受災(zāi)點(diǎn)4的分配,如此分配方案對(duì)其來(lái)說(shuō)是非常不公平的。由此驗(yàn)證了沒(méi)有公平約束,很難保證最優(yōu)分配方案的公平性。

對(duì)比具有公平約束和不具有公平約束情況下的目標(biāo)函數(shù)值可以發(fā)現(xiàn),具有公平約束條件下的系統(tǒng)損失更大,也就是說(shuō)相對(duì)公平的物資分配方案的實(shí)現(xiàn)是以增加系統(tǒng)損失為代價(jià)的。如果系統(tǒng)增加的損失在可以接受的范圍內(nèi),那么公平約束還是有很大意義的。

如果把災(zāi)情指數(shù)α取不同的值,損失函數(shù)的最優(yōu)取值如表7所示。可以看到當(dāng)α比較小時(shí),損失函數(shù)相對(duì)比較大,而隨著α值的增大,損失函數(shù)減少,而且有無(wú)公平約束對(duì)函數(shù)值的影響也同時(shí)減少,這就是說(shuō),當(dāng)災(zāi)情比較嚴(yán)重時(shí),應(yīng)用此模型可以在系統(tǒng)效率提高的同時(shí)兼顧公平,即達(dá)到效率與公平的統(tǒng)一。

表7 不同α值時(shí)的損失函數(shù)比較Table7 Comparison of loss functions with differentα

3 結(jié) 語(yǔ)

在分析城市應(yīng)急物資分配研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上,本研究在構(gòu)建多出救點(diǎn)、受災(zāi)點(diǎn)、多種應(yīng)急物資分配決策模型時(shí),以受災(zāi)點(diǎn)系統(tǒng)損失最小為目標(biāo),考慮了公平約束。本研究構(gòu)造的系統(tǒng)損失函數(shù)考慮了各種應(yīng)急物資的重要性和各受災(zāi)點(diǎn)對(duì)物資的需求緊迫性,以及受災(zāi)程度。在理論上證明了該模型是凸規(guī)劃后,提出用MATLAB優(yōu)化工具箱的fmincon函數(shù)求解具有速度快且沒(méi)有初解依賴(lài)性,能夠得到全局最優(yōu)解,最后用一個(gè)算例證明模型的有效性。但是本研究所構(gòu)建的模型為靜態(tài)的,而實(shí)際情況具有動(dòng)態(tài)性,如需求量、供應(yīng)量、運(yùn)力條件及差異系數(shù)是隨著時(shí)間變化的,因此需研究各種參數(shù)的動(dòng)態(tài)演化規(guī)律,這些有待作進(jìn)一步的研究。

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