王志軍 韓風霞 黃宗明

(重慶大學土木工程學院∥山地城鎮(zhèn)建設與新技術教育部重點實驗室，重慶400045)

豎向重力荷載在已變形的結構中會產(chǎn)生對應于柱自身撓曲的P-δ效應和對應于柱端側移的P-Δ效應兩類二階效應.從最早的經(jīng)典穩(wěn)定理論的單一“增大系數(shù)－計算長度”方法，到分別準確考慮P-δ效應和P-Δ效應所引起的附加變形和附加內(nèi)力特點的各種簡化方法(如“層增大系數(shù)法”和“全樓增大系數(shù)法”)，研究者已對靜力二階效應進行了大量的研究［1-6］.但對豎向荷載在地震作用下產(chǎn)生的側移引起的二階效應(即動力二階效應)則研究較少，大都僅限于單質點體系的P-Δ效應［7-9］，對于同時考慮P-Δ和P-δ效應(即精確考慮二階效應)的研究鮮見報道，也沒有形成完整和方便的考慮動力二階效應的簡化方法.

現(xiàn)行各國規(guī)范中有關考慮二階效應的規(guī)定，絕大部分是考慮靜力二階效應的方法.GB50011—2010《建筑抗震設計規(guī)范》根據(jù)影響靜力二階效應(主要是P-Δ效應)的穩(wěn)定系數(shù)，給出了需考慮重力二階效應的條件.我國即將頒布的《混凝土結構設計規(guī)范》［10］雖全面修訂了考慮二階效應的方法，采用了全新體系，但這套體系也主要是針對靜力二階效應的，特別是規(guī)范中考慮P-Δ效應的“層增大系數(shù)法”和“全樓增大系數(shù)法”均是考慮靜力二階效應的方法.JGJ3—2002《高層建筑混凝土結構技術規(guī)程》中考慮P-Δ效應的方法和新修訂的《混凝土結構設計規(guī)范》相同.

靜力二階效應主要和穩(wěn)定系數(shù)相關，穩(wěn)定系數(shù)越大，靜力二階效應越大.在地震作用下，二階效應會增大結構的側移，也就是會使結構的側向剛度減小，引起結構的周期改變，從而影響結構的動力響應.也就是說動力二階效應，除和穩(wěn)定系數(shù)相關外，還和結構的動力特性相關.以靜力的方法來考慮動力二階效應不能反映出結構的動力特性和地震波的頻譜特性對動力二階效應的影響.

彈性反應譜理論仍是現(xiàn)階段抗震設計的最基本理論，無論是底部剪力法還是振型分解反應譜法都要用到單自由度體系的加速度反應譜.因此，研究如何利用彈性反應譜來考慮單質點體系動力二階效應的簡化方法，具有重要的理論意義和實用價值.

1 精確考慮靜力二階效應的剛度折減系數(shù)

單自由度桿體系模型如圖1所示.

圖1 模型示意圖Fig.1 Model schemes

當只考慮P-Δ效應時，桿上距桿底部x高度處的截面彎矩M為

式中:P為作用在桿頂?shù)乃搅?N為作用在桿頂?shù)呢Q向力;Δ為桿頂側向位移;l為桿的長度.

彎矩M和曲率有如下關系:

式中，y為桿上距桿底部x高度處的側向位移.

將式(1)代入式(2)并積分得到

其中:EI為截面抗彎剛度;將邊界條件x=l，y=Δ代入式(3)，且令柱剛度，穩(wěn)定系數(shù)，得:

上式中:

α1是只考慮靜力P-Δ效應的位移增大系數(shù)，與規(guī)范中的“層增大系數(shù)”相一致.式(4)可改寫為

故α1也可視為考慮P-Δ效應的側移剛度折減系數(shù).

當同時考慮P-Δ效應和P-δ效應時，需考慮柱自身撓曲所產(chǎn)生的附加彎矩，此時桿上距桿底部x高度處由豎向力產(chǎn)生的截面附加彎矩為N(Δ－y)，同理有:

解方程(7)得:

令

α2即為精確考慮靜力二階效應的位移增大系數(shù)或者視為側移剛度折減系數(shù).

2 精確考慮動力二階效應的反應譜法

2.1 通用反應譜法

式(4)和(9)說明二階效應的影響可視為結構剛度折減，從而使桿件側移增大.對于動力問題，如果結構的質量不變，剛度發(fā)生改變必然導致結構周期變化.

為了研究二階效應對結構動力響應的影響，首先建立水平地震作用下考慮了二階效應的結構動力學方程.設桿上距桿底部x高度處的截面?zhèn)认蛭灰茷閡，地面運動加速度為¨ug，圖1所示的單自由度桿模型上所受的慣性力為m(¨u+¨ug)，阻尼力為c˙u，而考慮了二階效應的恢復力則為，故單質點體系的運動方程為

其中:m為桿件集中質量;c為桿件的阻尼;αi為側移剛度折減系數(shù)，i=1，2分別表示只考慮P-Δ效應和精確考慮靜力二階效應.

從上式可以看出，在水平地震作用下，考慮二階效應后的結構響應，可以等效為一剛度折減為K/αi的單自由度體系的一階響應.

假定桿的一階周期為T0，則考慮二階效應后的結構周期為分別表示對應 T0和Ti的位移反應譜幅值，考慮二階效應后的位移增大系數(shù)為

根據(jù)彈性加速度反應譜Sa和位移反應譜Sd之間的近似關系，可以得到利用單條地震波加速度反應譜計算的位移增大系數(shù)為

故

式中:i=1，2，分別表示只考慮P-Δ效應和精確考慮靜力二階效應下對應的值;Sa0、Sai分別表示對應T0和Ti的加速度反應譜幅值.

從式(14)可以看出，在彈性范圍內(nèi)，動力二階效應的影響取決于桿件的穩(wěn)定系數(shù)和一階、二階周期對應的加速度反應譜值的比值.也就是說，除穩(wěn)定系數(shù)外，動力二階效應還與結構自振周期和地震波的頻譜特性相關.如果已知單條地震波的加速度反應譜和結構的一階周期，就可以根據(jù)考慮二階效應的剛度折減系數(shù)計算出動力二階效應影響系數(shù).

2.2 規(guī)范設計反應譜法

為了簡化計算，可根據(jù)GB50011—2010《建筑抗震設計規(guī)范》采用的設計反應譜計算動力二階效應的位移增大系數(shù).下面根據(jù)周期T0和Ti的大小來說明動力二階效應影響系數(shù)的計算方法.

當T0和Ti位于規(guī)范反應譜的平臺段時，Sa0=Sai，故動力二階效應的增大系數(shù)和靜力二階效應相等.其它情況下動力二階效應的增大系數(shù)用下式計算.

當 0≤T0≤0.1s時，

當Tg＜T0＜5Tg時，

當 5Tg≤T0≤6s時，

式中:Tg為特征周期;γ為衰減指數(shù);η1為直線下降段的下降斜率調整系數(shù);η2為阻尼調整系數(shù);各參數(shù)均按《建筑抗震設計規(guī)范》進行取值.

從式(15)－(17)可以看出，結構自振周期T0≤0.1s時，動力二階效應要大于靜力二階效應;當T0＞Tg后，按規(guī)范設計反應譜計算的動力二階效應增大系數(shù)要小于靜力二階效應.以Tg＜T0＜5Tg下降段為例來進行分析，按GB50011—2010《建筑抗震設計規(guī)范》取γ=0.9，頂點側移的靜力和動力增大系數(shù)αi和αe的差別如圖2所示.

圖2 動力和靜力二階效應比較Fig.2 Comparision between static and dynamic second-order effects

從圖2可以看出，只考慮P-Δ效應和同時考慮P-Δ和P-δ效應兩種情況下，動力二階效應的影響均小于靜力二階效應，隨著穩(wěn)定系數(shù)的增大，靜力二階效應的影響增加幅度較大，而動力二階效應的影響增加幅度較小，兩者的差別更加明顯.

Tg＜T0＜5Tg時，P-δ效應在靜力和動力二階效應中所占的比例如圖3所示.

圖3 P-δ效應比例Fig.3 Proportion of P-δ effect

從圖3可以看出，P-δ效應產(chǎn)生的影響，在靜力分析中比較顯著，所占的比例最大可達9.5%左右，而在動力分析中占的比例相對來說要小一些，最大在5%左右.同時由圖3可見，精確考慮二階效應時，在穩(wěn)定系數(shù)為0.4左右時，P-δ效應在靜力和動力二階效應中所占比例最大，當穩(wěn)定系數(shù)過大時，無論是靜力分析還是動力分析，P-δ效應所占比例逐步下降.

3 數(shù)值驗證

3.1 精確考慮靜力二階效應的位移增大系數(shù)α2理論公式驗證

文中利用OpenSees［11］程序進行數(shù)值計算，分別計算出不同穩(wěn)定系數(shù)的一階和二階位移，然后得到二階位移與一階位移的比值(即增大系數(shù))，與公式(10)計算的結果進行比較，如圖4所示.計算結果表明，精確考慮靜力二階效應時，利用程序計算的柱端位移增大系數(shù)與理論推導公式計算的側移增大系數(shù)(剛度折減系數(shù))α2是吻合的.

圖4 公式和數(shù)值計算結果比較Fig.4 Comparison between formula calculation results and numerical calculation results

3.2 位移增大系數(shù)αe理論公式驗證

3.2.1 通用反應譜法

通用反應譜法基于式(11)的運動方程，也就是結構考慮二階效應后的響應可以等效為剛度折減為K/αi的一階響應.為了從數(shù)值計算上說明這一結論，文中利用OpenSees程序針對不同穩(wěn)定系數(shù)的結構進行了精確考慮二階效應的二階分析和按剛度折減的一階分析，部分結果見表1.由表1可見，無論位移還是加速度，兩者的誤差都很小，充分說明剛度等效方法是正確的.

為了考察通用反應譜法在推導過程中所做簡化的誤差大小，文中進行了大量的有限元數(shù)值分析.分析對象為穩(wěn)定系數(shù)為0.15、0.20、0.25和0.30四組懸臂柱，輸入的地震波為1條天然波(El-Centro波)和3條人造地震波(Acc1，Acc2，Acc3).做出這4條波的加速度反應譜，分別按懸臂桿一階和二階的周期查出對應的加速度反應譜幅值，根據(jù)公式(14)計算出位移增大系數(shù)αe，即表2中的理論公式計算結果.數(shù)值計算采用Opensees程序計算，同樣給出懸臂桿二階和一階位移的比值，結果如表2所示.從表2可以看出，采用單條地震波的通用反應譜法計算的動力二階效應影響與數(shù)值計算結果吻合較好.

表1 程序二階分析與折減剛度一階分析計算結果Table 1 Results between second-order analysis and stiffness reduction method

表2 通用反應譜法理論與數(shù)值計算結果Table 2 Calculation results by general seismic response spectrum method

3.2.2 規(guī)范反應譜法

假定Tg=0.35s，取結構的自振周期T0在Tg～5Tg之間，可以用公式(16)來計算規(guī)范反應譜的結果。規(guī)范反應譜法計算結果與3.2.1節(jié)的單條地震波的數(shù)值計算結果如表3所示.

從理論與數(shù)值結果比較來看，兩者是有差別的，產(chǎn)生誤差的原因在于規(guī)范反應譜是統(tǒng)計意義上的譜值，是多條波“平均”的結果，反應譜曲線是光滑的，而程序計算時采用的是單條地震波，其反應譜曲線并不光滑，存在小的峰值點，從而導致其結果可能小于或大于規(guī)范反應譜的計算結果.將4條波的計算結果取平均值，就與理論公式結果比較接近，誤差較小.

表3 規(guī)范反應譜法與單條波數(shù)值計算結果Table 3 Results of standard response spectrum method and single seismic wave numerical calculation

4 結論

(1)從“剛度折減”的角度，研究了同時考慮P-Δ和P-δ效應對結構動力響應的影響，研究表明:在水平地震作用下，二階效應對結構動力響應的影響，可以視為結構側移剛度的折減;二階效應使得結構側移剛度減小，自振周期增大;除穩(wěn)定系數(shù)外，動力二階效應還與結構自振周期和地震波的頻譜特性相關.

(2)推導了精確考慮二階效應的結構側移剛度折減系數(shù);根據(jù)單條地震波的反應譜或規(guī)范設計反應譜，推導了簡單方便計算動力二階效應的位移增大系數(shù)公式.

(3)通過理論公式和程序數(shù)值分析結果對比，驗證了動力二階效應反應譜法的可行性和準確性.

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