王 樂 蘇小敏 杜 林 李春化

(西安電子工程研究所 西安 710100)

1 引言

對于隨機(jī)信號，由于其無始無終、能量無限，對其作傅里葉變換不收斂，因而不能像確定性信號那樣確定此類信號的頻譜。雖然此類信號能量無限，但是其功率未必?zé)o限，因此對于隨機(jī)信號而言，常用功率譜描述其頻率特性。功率譜估計(jì)分為兩大類:參數(shù)化方法和非參數(shù)化方法。非參數(shù)化方法依賴于傳統(tǒng)的傅里葉變換法，其包括 BT法、周期圖法等［1］，參數(shù)化方法包括MUSIC算法、AR模型算法、最大熵等估計(jì)算法。利用MUSIC算法、AR模型、最大熵等現(xiàn)代譜估計(jì)算法可以對正弦信號頻率進(jìn)行精確的估計(jì)［2］，但是這些算法復(fù)雜、計(jì)算量大，難以實(shí)時(shí)處理從而影響其應(yīng)用。

對于任意形式的確定性信號x(n)，對其進(jìn)行傅里葉分解，都可以分解為直流與許多余弦(或正弦)分量線性組合［1］。然而在基于離散傅里葉變換(DFT)的經(jīng)典譜估計(jì)中，由時(shí)域截?cái)嘁鸬念l譜泄露是不可避免的，能量泄露會引起較大的估計(jì)誤差［3］，這時(shí)我們需要對頻譜進(jìn)行校正以期獲得精確的譜峰位置。本文提出一種功率加權(quán)求平均的頻譜校正算法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)在基于FFT分析基礎(chǔ)上與單譜線法、Rife法進(jìn)行對比，然后討論了觀察時(shí)間對FFT分析的影響以及信號采樣頻率的選擇，最后針對短持續(xù)時(shí)間信號，給出頻譜細(xì)化方法(Zoom-FFT)，并通過實(shí)驗(yàn)與FFT方法進(jìn)行對比。

2 頻譜校正算法

設(shè)正弦信號為:

式中，A、f0、φ0代表信號的振幅、頻率和初相。對其采樣，得到離散序列:

其中，Δt=1/fs代表采樣間隔，fs為采樣頻率，M為采樣點(diǎn)數(shù)。對(2)式進(jìn)行離散傅里葉變換(DFT)得:

直接計(jì)算DFT，其計(jì)算量是與變換區(qū)間長度N的平方成正比的。當(dāng)N較大時(shí)，計(jì)算量非常的大，因此直接用DFT算法進(jìn)行譜分析和信號的實(shí)時(shí)處理是不切實(shí)際的。工程實(shí)際中常用快速傅里葉變換(FFT)來計(jì)算DFT，其離散頻譜譜峰值對應(yīng)的頻率作為信號頻率的初步估計(jì)，即:

其中，k表示頻譜峰值對應(yīng)的位置。由于其僅僅利用了峰值譜線，又被稱為單譜線幅度法。

我們知道，對一個(gè)信號作DFT，前提要求其必須是有限長度的，因此必須對信號作加窗處理，窗函數(shù)的引入會導(dǎo)致頻譜泄漏。又因?yàn)樽麟x散傅里葉變換相當(dāng)于對整個(gè)頻率范圍(0～fs)內(nèi)作N點(diǎn)均勻采樣，在均勻采樣過程中我們并不一定能采得幅度峰值，這就導(dǎo)致了k取值的不準(zhǔn)確性。該頻率估計(jì)方法分辨率較低，最大頻率誤差可以達(dá)到 ± fs/2N［2］。

對于基于基帶FFT法利用單根譜線估計(jì)頻率造成誤差過大問題，人們提出了諸多頻譜校正方法。其中較著名、效果較好的是雙線幅度法(Rife法)。Rife法利用最大譜線和次大譜線對單譜線方法進(jìn)行修正，當(dāng)信噪比較高時(shí)估計(jì)性能很好。但當(dāng)信噪比較低或者待估計(jì)頻率靠近最大譜線時(shí)，會導(dǎo)致次大譜線判斷的失誤，造成估計(jì)誤差比僅僅用單譜線粗略估計(jì)誤差還要大，此時(shí)則要利用插值細(xì)化技術(shù)對Rife法作進(jìn)一步改進(jìn)，關(guān)于 Rife法詳見參考文獻(xiàn)［4～5］。

本文提出了一種利用最大譜線及其鄰近譜線，對其進(jìn)行功率加權(quán)并取平均的方法來彌補(bǔ)單譜線估計(jì)的不足。方法示意圖見圖1。

圖1 功率加權(quán)求平均校正頻譜

圖1 中虛線部分表示頻譜包絡(luò)，其中頻譜峰值對應(yīng)頻率為f0，假設(shè)在其左右各取兩根相鄰譜線，分別對應(yīng)頻率值為 f-2、f-1、f1、f2，所取五根譜線如圖所示，對應(yīng)幅值分別為 l-2、l-1、l0、l1、l2，則信號頻率估值為:

上述主要介紹了在整個(gè)頻域(0～fs)范圍內(nèi)，對序列信號進(jìn)行頻域上一維搜索，找出頻譜峰值，用其所對應(yīng)的頻率值作為原信號的頻率估計(jì)值。這種估計(jì)方法原理清晰、易于理解，但計(jì)算量較大。若要提高估計(jì)精度，延長觀測時(shí)間是一種行之有效的方法。采用MATLAB仿真工具進(jìn)行驗(yàn)證，假設(shè)采樣頻率fs=2048Hz，采樣間隔 Ts=1/fs，信號頻率 f0=125.65Hz，信號幅度A=2.0，噪聲設(shè)為正態(tài)分布隨機(jī)噪聲，方差為0.4，信噪比SNR=10dB，當(dāng)觀測時(shí)間分別為 t1=0.1s、t2=0.5s、t3=1s、t4=1.5s、t5=3s，采用單譜線法、Rife法和功率加權(quán)求平均方法所估計(jì)頻率為，結(jié)果表 1 所示。

表1 頻譜校正對比實(shí)驗(yàn)估計(jì)頻率結(jié)果

估計(jì)頻率值減去頻率真值，所得差值再取絕對值，得到各方法的估計(jì)誤差，如圖2所示。

圖2 校正頻譜后的估計(jì)誤差

由圖2可以看出:a.雙線幅度法(Rife法)并不一定優(yōu)于單譜線幅度法;

b.當(dāng)增加觀察時(shí)間時(shí)，柵欄效應(yīng)引起的頻譜泄漏影響減小，頻率估計(jì)誤差減小，估計(jì)頻率精度增高。

當(dāng)觀察時(shí)間固定，采樣頻率提高時(shí)，采樣點(diǎn)數(shù)也相應(yīng)增多，但這種情況下，頻率分辨率未增加，頻率估計(jì)效果是不會提高的。這是因?yàn)椋m然采樣頻率提高會帶來采樣點(diǎn)數(shù)N的增加，但同樣導(dǎo)致頻率軸上的折疊頻率(fs/2)增加，頻率分辨率fs/N未變。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，假設(shè)采樣頻率 fs1=400Hz、fs2=800Hz、fs3=1200Hz、fs4=1600Hz、fs5=2000Hz，采樣間隔 Ti=1/fsi，信號頻率 f0=125.65Hz，信號幅度 A=2.0，噪聲設(shè)為正態(tài)分布隨機(jī)噪聲，方差為0.4，信噪比SNR=10dB，當(dāng)采樣時(shí)間t=1s，采用上述單譜線法、Rife法和功率加權(quán)求平均方法所估計(jì)頻率為、，結(jié)果如表2所示。

表2 頻率遞增對比實(shí)驗(yàn)估計(jì)頻率結(jié)果

估計(jì)頻率值減去頻率真值，所得差值再取絕對值得到各方法的估計(jì)誤差，如圖3所示。

由圖3可以看出，采樣頻率變化時(shí)頻率估計(jì)誤差變化不超過0.5Hz，這種些微變化可以認(rèn)為是由隨機(jī)噪聲引起的，而與采樣頻率遞增無關(guān)。

然而通過上面仿真實(shí)驗(yàn)，可以看出采樣頻率提高，無論哪種估計(jì)方法誤差變化趨勢是一樣的，這就提示我們頻率估計(jì)誤差跟采樣頻率之間并不是毫無關(guān)聯(lián)的。

在頻率估計(jì)中，采樣率的選擇實(shí)際上是有一定限制的，不能隨意更改采樣頻率的大小，否則會造成估計(jì)精度變差。換句話說，就是固定的采樣頻率只適合對一定頻率范圍內(nèi)的信號進(jìn)行采樣，否則會給頻率估計(jì)帶來問題，以下進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

圖3 頻率遞增后的估計(jì)誤差

假設(shè)采樣頻率fs=100MHz，采樣間隔Ts=1/fs，信號幅度A=1.0、噪聲Ψ(n)為正態(tài)分布隨機(jī)噪聲，方差為0.01，信噪比SNR=20dB，信號觀測時(shí)間t=1μs，信號頻率為f，則信號可以表示為:

通過仿真，ω取100個(gè)不同值所對應(yīng)的頻率估計(jì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示，圖中橫坐標(biāo)表示ω在0～π之間取值，縱坐標(biāo)表示頻率估計(jì)誤差均方根，圖4(右)為去掉圖4(左)中始末兩點(diǎn)所得。

圖4 頻率估計(jì)誤差均方根隨信號頻率變化

由圖4可以看出:當(dāng)信號角頻率ω位于0.2π～0.8π之時(shí)，即信號頻率時(shí)，頻率估計(jì)誤差均方根較小，估計(jì)效果較好，當(dāng)信號頻率時(shí)，頻率估計(jì)均方根非常大，估計(jì)不穩(wěn)定，這驗(yàn)證了采樣頻率的選取是有一定限制的結(jié)論，因此我們在作頻率估計(jì)時(shí)，涉及到采樣頻率時(shí)應(yīng)該使2.5f＜fs＜10f，其中fs的上下限并不嚴(yán)格限定為10f和2.5f，僅代表fs在取值上注意脫離危險(xiǎn)區(qū)域。

以上論述了幾種較簡單的頻率校正方法，通過仿真實(shí)驗(yàn)證明了延長觀測時(shí)間有利于頻率估計(jì)結(jié)果的結(jié)論，并且討論采樣頻率與信號頻率之間的關(guān)系。

然而用增加觀察時(shí)間來提高頻率估計(jì)精度的方法并不是放之四海而皆準(zhǔn)的，首先觀察時(shí)間的增加勢必帶來計(jì)算量的增大;其次在短持續(xù)時(shí)間信號中，觀測時(shí)間是有限的，不能通過增加觀測時(shí)間來提高頻率估計(jì)精度，這種情況下就需要改進(jìn)算法，才能獲得理想的頻率估計(jì)精度。

3 頻譜細(xì)化算法

在許多實(shí)際應(yīng)用中，我們并不是對整個(gè)頻譜感興趣，往往只關(guān)注其中的一個(gè)窄頻帶，并且需要對這一窄頻帶作局部放大以進(jìn)行細(xì)致的觀察，為此我們應(yīng)該在所關(guān)心的頻帶內(nèi)增加譜線，以增大譜線密度［6］。近年來，頻譜細(xì)化技術(shù)得到迅猛發(fā)展，常見的方法有基于復(fù)調(diào)制的Zoom-FFT法、線性調(diào)頻Z變換法(Chirp-Z變換，簡稱CZT)、Yip-Zoom法、相位補(bǔ)償細(xì)化法等。但從分析精度、計(jì)算效率、分辨率、靈活性等方面來看，Zoom-FFT法是一種非常有效的方法［7］，在工程中也得到了非常廣泛的應(yīng)用。

Zoom-FFT法(以下簡稱ZFFT法)是提供高分辨率FFT分析的一種技術(shù)，它允許在給定的一組FFT譜線中選擇起始和終止頻率，在所得的窄頻帶上能以指定的、足夠高的采樣頻率去分析，可以成倍的提高頻率分辨率，這樣就可以對我們感興趣的頻率段進(jìn)行細(xì)化。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常對信號做基帶FFT估計(jì)，得到信號的粗測頻率，然后以此粗測頻率作為窄頻率帶中心頻率，向左右延展確定起始頻率和終止頻率，起始頻率和終止頻率之間的窄頻帶作為細(xì)化分析頻帶，確定細(xì)化倍數(shù)，移頻再進(jìn)行復(fù)FFT處理。Zoom-FFT處理過程流程見圖5所示。

圖5 Zoom-FFT處理框圖

算法具體步驟可以歸納為:

a.復(fù)調(diào)制移頻，即將需要細(xì)化的頻帶中心(FFT粗測所得)移至頻率軸原點(diǎn)，通常我們用數(shù)字下變頻來實(shí)現(xiàn);

b.低通濾波，我們需要濾出感興趣的頻段信號，加以分析。假設(shè)頻率細(xì)化倍數(shù)為d，則低通濾波器的截止頻率fc=fs/2d;

c.抽樣。信號被調(diào)制移頻和低通濾波之后，所得到的信號頻帶變窄，因而可以用較低的采樣頻率f's=fs/d進(jìn)行重采樣，即對原采樣點(diǎn)每隔固定點(diǎn)抽樣一次;

d.復(fù)FFT處理和頻率回調(diào)。抽樣之后得到復(fù)序列信號，對其進(jìn)行復(fù)FFT處理，此時(shí)分辨率提高了d倍，然后進(jìn)行頻率調(diào)整，將譜線移至實(shí)際頻率處即可得到細(xì)化的頻譜。

仿真實(shí)驗(yàn)假設(shè)采樣頻率fs=100MHz，采樣間隔Ts=1/fs，信號幅度A=2.0、噪聲為正態(tài)分布隨機(jī)噪聲，方差為0.4，信噪比SNR=10dB，信號采樣時(shí)間t=1μs，信號頻率 f=30.123MHz，頻帶中心 fa=30MHz，細(xì)化倍數(shù)為 d=10，Zoom-FFT分析帶寬為25MHz～35MHz，用基帶FFT和ZFFT法進(jìn)行頻率估計(jì)，仿真結(jié)果見圖5和圖6所示。圖中橫坐標(biāo)表示頻率軸，縱坐標(biāo)表示幅值。用功率加權(quán)求平均的方法進(jìn)行頻譜校正，做100次Monte-carlo實(shí)驗(yàn)得到仿真結(jié)果:FFT方法估計(jì)結(jié)果=30.215MHz，同真值比較，誤差為Δ=0.092MHz;ZFFT方法頻率估計(jì)為，誤差為

由FFT與ZFFT頻率估計(jì)對比實(shí)驗(yàn)可以看出，ZFFT方法頻率估計(jì)在信號主瓣內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)明顯多于FFT方法，這些意味著頻譜分辨率更高，頻率估計(jì)精度更大。

4 總結(jié)

頻譜校正算法可以很好的修正由獲取最大譜線位置不準(zhǔn)確所帶來的頻率估計(jì)誤差。本文的主要工作是:首先，通過實(shí)驗(yàn)對基于FFT分析的單譜線、雙譜線和功率加權(quán)等頻譜校正方法進(jìn)行對比，得出功率加權(quán)算法優(yōu)于單譜線法和雙譜線法，這是因?yàn)楣β始訖?quán)法利用了更多的譜線信息;其次，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了延長觀測時(shí)間利于頻率估計(jì)以及采樣頻率與信號頻率之間的關(guān)系;最后，針對短持續(xù)時(shí)間信號觀測時(shí)間有限的特點(diǎn)，介紹了一種行之有效的頻譜細(xì)化方法，并通過仿真實(shí)驗(yàn)與FFT方法作對比，證明了ZFFT算法估計(jì)效果優(yōu)于FFT算法。

［1］陸光華，彭學(xué)愚，張林讓，毛用才.隨機(jī)信號處理［M］.西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2003.

［2］王洪先，王玉軍，王宏偉.寬帶自相關(guān)接收機(jī)中的一種頻率估計(jì)方法［J］.火控雷達(dá)技術(shù)，2011，40(1):52-54.

［3］李天昀，葛臨東.基于ZFFT和Chirp-Z的頻譜細(xì)化分析中能量泄露的研究［J］.電子對抗技術(shù)，2003，18(5):11-15.

［4］STEVE KAY.A Fast and Accurate Single Frequency Estimator［J］.IEEE TRANS.ON ACOUSTICS，1989，37(12):1987-1989.

［5］王紀(jì)強(qiáng)，歐攀，張春熹，林志立.基于頻偏校正的頻率估計(jì)算法誤差分析［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，36(7):849-852.

［6］王力，張冰，徐偉.基于MATLAB復(fù)調(diào)制ZOOMFFT算法的分析和實(shí)現(xiàn)［J］.艦船電子工程，2006，4:119-121.

［7］丁康，潘成灝，李巍華.ZFFT與Chirp-Z變換細(xì)化選帶的頻譜分析對比［J］.振動與沖擊，2006，25(6):9-12.