方冬云

（莆田學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 莆田 351100）

1 基本術(shù)語及符號［1］

圖論一個偶對G＝（V，E）來定義圖，其中V表示頂點的集合，E表示邊的集合，如果圖G中邊的兩個頂點是無序的，則稱圖G為無向圖。一般圖G＝（V，E）的頂點數(shù)用｜V｜表示，邊的數(shù)目用｜E｜表示，如果｜V｜和｜E｜都是有限的，則稱圖G是有限無向圖，如果圖G既沒有環(huán)也沒有兩條連桿連接同一對頂點，則稱圖是簡單圖，文中所研究的圖均指的是有限簡單無向圖。有限簡單無向圖G中的頂點u和v，若邊e＝uv∈E（G），則稱u和v相鄰，也稱u和v是e的端點，u和v分別與e相關(guān)聯(lián)，則稱u為圖G中的任一頂點，與頂點u關(guān)聯(lián)的邊數(shù)稱為u的度數(shù)，記作dG（u）。

如果有限簡單無向圖G能畫在曲面上，且除端點處之外任何兩條邊均不相交，則稱圖G被嵌入曲面上，如果圖G可以被嵌入在平面上，稱為是可平面圖，已經(jīng)被嵌入在平面上的圖稱為平面有限簡單無向圖。設(shè)u和v是圖的頂點，圖G的一條u－v途徑（鏈）是有限非空的頂點和邊交替序列W＝u0e1u2e3…un－1enun（u＝u0，v＝vn），其中與邊ei（1≤i≤n）相鄰的兩頂點ui－1和ui正好是ei的兩個端點，如果w上的頂點互不同的途徑稱為路記作Pi，u0，ui分別為Pi的起點和終點，起點和終點相同的路稱為圈。

圖G的一個k－染色是一個映射φ：V→｛1，…，k｝，使得φ（u）≠φ（v），其中uv∈E。這樣的映射稱圖G為k－可染。如果G有一個k－染色，令H是圖G的一個點導(dǎo)出子圖，φ是H 的一個k－染色，若G有一個k－染色φ，且滿足φ在H 上的限制正好是φ，則稱φ是φ在圖G上的一個延拓，或稱φ可以延拓到圖G上。

令C是圖G的一個圈，分別記圈C內(nèi)部和外部的點集為int（C）和ext（C）。顯然，Int（C）＝G－ext（C）和Ext（C）＝G－int（C）是圖G的兩個點導(dǎo)出子圖。連接一個圈上不相鄰兩點間的連線稱為弦，注意，在C內(nèi)部的C的弦屬于Ext（C）。若恒有int（C）≠Φ且ext（C）≠Φ，則稱C為分離圈。否則稱C是一個非分離的圈。

2 一些平面圖研究成果的簡介

平面有限簡單無向圖（簡稱平面圖）的點染色問題起源于著名的四色猜想，接著，人們試著對4－可選擇的平面圖作了一些特征刻畫，且關(guān)于2－可選擇這樣的問題，Erdos［2］等人已經(jīng)做了特征化的論述，因此，許多學(xué)者對平面圖3－可染（可選擇）問題做了一系列的討論與研究：

存在一個常數(shù)k＊，使得不包含｛4，5，…，K＊｝－圈的平面圖是3－可染的［3］；不包含｛4，5，…，9｝圈的平面圖是3－可染的［4］；每個不包含｛4，6，8.9｝－圈的平面圖是3－可選擇的［5］；每個不包含｛4，6，8｝－圈的平面圖是3－可染的［6］；每個不包含｛4，7，9｝－圈的平面圖是3－可染的［7］；每個不包含｛4，6，9｝－圈的平面圖是3－可染的［8］；根據(jù)這些研究的成果，進一步分析不包含｛4，8，9｝－圈的平面圖結(jié)構(gòu)性質(zhì)。

3 不包含｛4，8，9｝－圈平面圖結(jié)構(gòu)的性質(zhì)

要證明這7個性質(zhì)，需要介紹一個定義，即不包含｛4，8，9｝－圈平面圖G 的極小性：設(shè)f0為圖G中的一個i面，i∈｛3，5，6，7，10，11｝，G［V（f0）］有一個3－染色φ，但φ不可延拓到整個圖G上。

不包含｛4，8，9｝－圈平面圖G 具有如下性質(zhì)：

1）C0不含弦。即：若v∈V（C0），d（v）≥3，則v有且僅有兩個鄰點在C0上；

2）G是2－連通的，G中的任意面的邊界都是一個圈；

3）對任意v∈int（C0），d（v）≥3；

4）G不含長度為≤11的分離圈；

5）G中的內(nèi)部非分離6－圈不含弦，且不與3－圈相鄰；

6）G中沒有包含非三角弦的10－圈和11－圈；

7）G中的內(nèi)部非分離6－圈不與5－圈相鄰。

證明：

1）假若uv為C0上的一條弦。從G中刪去uv，得新圖記為G′，則 w（G′）≤w（G），σ（G′）＜σ（G）。顯然G′仍是一個連通的平面圖。則由G的極小性知，φ可延拓到G′上。由于φ是G［V（f0）］的一個3－染色，故φ（u）≠φ（v）。從而得到φ可延拓到G上，即圖G是3－可染的，與圖G的極小性矛盾。故C0不含弦。若v∈V（C0），d（v）≥3，則由C0不含弦，根據(jù)定義v有且僅有兩個鄰點在C0上。

2）假若圖G有一個割點v連接兩個塊B1和B2＝G－（V（B1）＼｛v｝）。顯然，塊Bi，i＝1，2，仍是不包含｛4，8，9｝－圈的連通平面圖，且w（Bi）≤w（G），σ（Bi）＜σ（G）。若C0是B1，B2的外部面邊界的并集，則由G的極小性知，C0的3－染色可分別延拓到B1和B2上，從而得到G的一個3－染色，與圖G的極小性矛盾。否則，若C0不是B1，B2的外部面邊界的并集，則C0?B2。由G的極小性知，C0的3－染色可延拓到B2上。若B1是3－可染的，適當交換B1中點的染色，使v在B1中的染色與其在B2中的一致，則可得到G的一個3－染色，與圖G的極性矛盾。下面我們只需證B1確實是3－可染的。

若B1不含6－圈，則由文獻［5］中所證明的每個不包含｛4，6，8，9｝－圈的平面圖是3－可選擇的，得B1是3－可染的；若B1至少包含一個6－圈C，由于圖G不含4－圈，8－圈，故C至多只有一條弦。故C有一個3－染色，由G的選取知，C的3－染色可分別延拓到B1中C的外部和內(nèi)部上，即B1是3－可染的。

3）假若v∈int（C0），d（v）≤2。記從圖G 中刪去頂點v得到的新圖為G′，則w（G′）≤w（G），且σ（G′）＜σ（G），G′仍為連通的平面圖。由G 的選擇，φ可延拓到G′上，由于d（v）≤2，故易對v染色，從而得到G的一個3－染色，與圖G的極小性矛盾。

4）假若G中存在這樣的分離圈Ci，｜Ci｜≤11。顯然，i?｛4，8，9｝，則由G 的極小性，φ可延拓到ext（Ci）上，i∈（3，5，6，7，10，11｝。由G 的極小性知，去掉Ci中的可能弦，可將φ在Ci上的限制延拓到int（Ci）上，從而G是3－可染的，與圖G的選擇矛盾。

5）假若G中有一個內(nèi)部的非分離6－圈C＝u0u1u2u3u4u5u0，且C含弦xy。由于G不含4－圈，故可設(shè)xy＝u1u5時：若v0是內(nèi)部點，則圈u1u0u5u1在圖中是一個分離的3－圈，與性質(zhì)4）結(jié)論矛盾；若u0不是內(nèi)部點，則u1u2u3u4u5u1在圖中是一個分離的5－圈，與性質(zhì)4）結(jié)論矛盾，故G中的內(nèi)部非分離6－圈不含弦。如圖1所示。

圖1 內(nèi)部含非分離6－圈的平面圖

由于圖G中的內(nèi)部非分離6－圈不含弦，所以G中與內(nèi)部非分離3－圈只可能是一般相鄰，設(shè)圖G中存在與內(nèi)部非分離的6－圈一般相鄰的3－圈，如圖2所示。

圖2 非分離6－圈與3－圈相鄰的平面圖

此時所得的新圖記為G′，刪去弦xy，適當調(diào)整染色，可使x，y染不同的顏色，則可得G是3－可染。由G的選取可知，φ可延拓到G′上，從而得到φ可延拓到G上。與圖G的極小性矛盾，故G中的內(nèi)部非分離6－圈不與3－圈相鄰。

6）假若圖G中有一個含非三角弦e的圈C11。由于圖G 中不含4－，8－，9－圈，故弦e只能把C分成一個C5和一個C6。如果int（C5）和int（C6）都是空集的話，那么去掉這條非三角弦，C0的染色φ可延拓到去掉弦后的新圖G′上，φ從而可延拓到圖G 上，與圖G的極性矛盾。如果int（C5）和int（C6）至少一個非空的話，則可得到分離的5－圈或分離的6－圈，與性質(zhì)4）結(jié)論矛盾。圖G中有一個含非三角弦e的圈10－圈的情形類似證明。

7）先證：若G中的內(nèi)部非分離6－圈與5－圈是相鄰的，也只可能是一般相鄰的。設(shè)C5＝xyv1v2v3x和非分離6－圈C6＝xyu1u2u3u4x是相鄰的，如圖3所示。

圖3 非分離6－圈與5－圈相鄰的平面圖

首先v1?V（C6）：若v1＝u1，y是內(nèi)部點，則xv3v2v1yx在圖中是一個分離的5－圈，與性質(zhì)4）結(jié)論矛盾；若y不是內(nèi)部點，則xv3v2u1u2u3u4x在圖中是一個分離的7－圈，與性質(zhì)4）結(jié)論矛盾；若v1∈｛u2，u3，u4｝，則與內(nèi)部非分離6－圈不含弦矛盾；由對稱性可知，v3?V（C6）；其次v2?V（C6）：若v2＝u1，則會產(chǎn)生一個4－圈u1yxv3u1，與不包含｛4，8，9｝－圈的平面圖條件矛盾；若v2＝u2，則會產(chǎn)生一個4－圈u2u1yv1u2，與不包含｛4，8，9｝－圈的平面圖條件矛盾；若v2＝u3，則會產(chǎn)生一個4－圈u2u4xv3u3，與不包含｛4，8，9｝－圈的平面圖條件矛盾；由對稱性得，v2≠u4。

但是內(nèi)部非分離6－圈與5－圈不可能是一般相鄰的，否則會產(chǎn)生一個含非三角弦的11－圈。

4 結(jié) 語

根據(jù)文獻［5］給出了定理：每個不包含｛4，6，8，9｝－圈的平面圖是3－可選擇的。嘗試將6－圈的條件去掉，研究不包含｛4，8，9｝－圈的平面圖結(jié)構(gòu)的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)為研究“每個不包含｛4，8，9｝－圈的平面圖是3－可染的”的命題提供了前提依據(jù)。

［1］J Yin，K Wu.Theory and its algorithm［M］.Hefei：China University of Science and Technology，2003.

［2］P Erdos，A L Rubin，H Taylor.Choosability in graphs［J］.Congr Numer，1979，26：125－157.

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［4］D P Sanders，Y Zhao.A note on the three coloring problem［J］.Graphs Combin，1995，11：92－94.

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