馮培娟,劉曉娜,謝旋
摘要 本文運用山路引理研究了一類滿足Costa非二次型條件的六階半線性微分方程同宿軌道解的存在性,其中。
關(guān)鍵詞 山路引理;同宿軌道解;Costa非二次型條件
中圖分類號O175 文獻標識碼A 文章編號 1674-6708(2011)43-0119-02
Existence of Homoclinic Solutions of a Class of Semilinear Sixth-Order Differential Equations
with Costa nonquadratic Potentials
Abstract In this paper we apply Mountain-Pass Theorem to study the existence of homoclinic solution for a class of semilinear sixth-order differential equations with Costa nonquadratic potentials
Where
KeywordsMountain-Pass Theorem; Homoclinic Solution; Costa nonquadratic Potentials
0 引言
近30多年來, 變分理論飛速發(fā)展,新定理新方法的給出不僅豐富了臨界點理論,而且解決了越來越多的微分方程的邊值問題.運用臨界點理論對非線性常微分方程同宿軌道解的存在性研究已經(jīng)有很長的歷史,例如文獻[1]和文獻[2]分別用山路引理和Brezis-Nirenberg型山路引理研究了一類六階非線性微分方程同宿軌道解的存在性。
本文主要應(yīng)用山路引理研究一類滿足Costa非二次型條件的六階半線性微分方程(*)
同宿軌道解的存在性,其中
假設(shè),,并且滿足下列條件:
1),對于一致成立;
2)存在,,使得。
2 主要結(jié)果
定理1在上述假設(shè)下,方程(*)至少存在一條非平凡的同宿軌道解。
在本文中,我們將用到山路引理證明定理1。
(山路引理)設(shè)X是實Banach空間,,I滿足(P.S.)條件,且滿足:
1)存在, ,使得;
2)存在, 使得。
那么I有一個臨界值,
方程(*)的弱解為泛函的臨界點,且,,進一步,由標準法此即為方程(*)的同宿軌道解。
并且,
定義Sobolev空間上的范數(shù)為
令,,則
引理1若滿足條件(1)(2),則存在, ,使得。
證明:由Sobolev嵌入定理,存在常數(shù)使得
由得,當(dāng)時,有
所以
(?。?/p>
引理2若滿足條件(1)(2),存在, 使得。
證明:取,則在任一非空開集上
引理3 若滿足條件(2),則I滿足Ceramic條件,即對,只要有界,,則至少有一個收斂子列。
證明:設(shè)滿足有界,且
從而所以I滿足Ceramic條件。
由引理1,2,3可知,泛函滿足山路引理的條件,從而其至少有一個非平凡的臨近點。
綜上可得,方程(*)至少存在一條非平凡的同宿軌道。
參考文獻
[1]G.Caginalp,P.C. Fife.Higher order phase field models and detailed anisotropy,Phys.Rev,B 34 (1986),4940-4943.
[2]Gyulov,Gheorghe Morosanu and S.Tersian.Existence for a semi-linear sixth-order ODE,J.Math.Anal.Appl. 321(2006)86-98.
[3]李成岳.變分法與哈密頓系統(tǒng)同宿軌道和異宿軌道引論[M].北京:科學(xué)技術(shù)文獻出版社,2006.
注:“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”