馮培娟,劉曉娜,謝旋

摘要 本文運用山路引理研究了一類滿足Costa非二次型條件的六階半線性微分方程同宿軌道解的存在性，其中。

關(guān)鍵詞 山路引理；同宿軌道解；Costa非二次型條件

中圖分類號O175 文獻(xiàn)標(biāo)識碼A 文章編號 1674-6708（2011）43-0119-02

Existence of Homoclinic Solutions of a Class of Semilinear Sixth-Order Differential Equations

with Costa nonquadratic Potentials

Abstract In this paper we apply Mountain-Pass Theorem to study the existence of homoclinic solution for a class of semilinear sixth-order differential equations with Costa nonquadratic potentials

Where

KeywordsMountain-Pass Theorem; Homoclinic Solution; Costa nonquadratic Potentials

0 引言

近30多年來， 變分理論飛速發(fā)展，新定理新方法的給出不僅豐富了臨界點理論，而且解決了越來越多的微分方程的邊值問題.運用臨界點理論對非線性常微分方程同宿軌道解的存在性研究已經(jīng)有很長的歷史，例如文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]分別用山路引理和Brezis-Nirenberg型山路引理研究了一類六階非線性微分方程同宿軌道解的存在性。

本文主要應(yīng)用山路引理研究一類滿足Costa非二次型條件的六階半線性微分方程（*）

同宿軌道解的存在性，其中

假設(shè)，，并且滿足下列條件：

1），對于一致成立；

2）存在，，使得。

2 主要結(jié)果

定理1在上述假設(shè)下，方程（*）至少存在一條非平凡的同宿軌道解。

在本文中，我們將用到山路引理證明定理1。

（山路引理）設(shè)X是實Banach空間，，I滿足（P.S.）條件，且滿足:

1）存在， ，使得；

2）存在， 使得。

那么I有一個臨界值，

方程（*）的弱解為泛函的臨界點，且，，進(jìn)一步，由標(biāo)準(zhǔn)法此即為方程（*）的同宿軌道解。

并且，

定義Sobolev空間上的范數(shù)為

令，，則

引理1若滿足條件（1）（2），則存在， ，使得。

證明：由Sobolev嵌入定理，存在常數(shù)使得

由得，當(dāng)時，有

所以

（取）

引理2若滿足條件（1）（2），存在， 使得。

證明：取，則在任一非空開集上

引理3 若滿足條件（2），則I滿足Ceramic條件，即對，只要有界，，則至少有一個收斂子列。

證明：設(shè)滿足有界，且

從而所以I滿足Ceramic條件。

由引理1，2，3可知，泛函滿足山路引理的條件，從而其至少有一個非平凡的臨近點。

綜上可得，方程（*）至少存在一條非平凡的同宿軌道。

參考文獻(xiàn)

[1]G.Caginalp，P.C. Fife.Higher order phase field models and detailed anisotropy，Phys.Rev，B 34 (1986)，4940-4943.

[2]Gyulov，Gheorghe Morosanu and S.Tersian.Existence for a semi-linear sixth-order ODE，J.Math.Anal.Appl. 321(2006)86-98.

[3]李成岳.變分法與哈密頓系統(tǒng)同宿軌道和異宿軌道引論[M].北京：科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2006.

注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”