李 勇

混凝土材料性能的研究對于充分發(fā)揮材料強度、提高工程結(jié)構(gòu)的安全性都具有重要意義，其彈性模量是結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計中的重要參數(shù)，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種模型來預(yù)測彈性模量與混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)組分及相應(yīng)力學(xué)性能的關(guān)系，以達(dá)到對混凝土材料進行優(yōu)化設(shè)計的最終目的［1］。將細(xì)觀力學(xué)方法引入混凝土研究，既豐富了傳統(tǒng)研究以試驗為主的模式，也提供了進一步考慮混凝土內(nèi)部力學(xué)行為和破壞機理的新途徑。在預(yù)測混凝土性能時，視其為骨料和水泥砂漿基體組成的二相復(fù)合材料，采用ANSYS進行有限元分析，最后用細(xì)觀力學(xué)中的稀疏分布模型、Mori-Tanaka法、自洽法、廣義自洽法和微分法對數(shù)值混凝土模型的有效彈性模量進行預(yù)測。本文通過細(xì)觀力學(xué)方法預(yù)測結(jié)果與有限元數(shù)值試驗比較，研究了各細(xì)觀理論方法預(yù)測混凝土有效模量的適用性。

1 細(xì)觀力學(xué)方法介紹

求解復(fù)合材料有效性能的方法和模型很多。這些模型可以歸結(jié)為如下幾類:1)以復(fù)合材料代表體元為基礎(chǔ)的直接方法，它通過解析和數(shù)值方法求解細(xì)現(xiàn)場，然后再求出有效應(yīng)力(應(yīng)變)場，根據(jù)定義求出有效性能。2)以單一骨料理論為基礎(chǔ)的各種近似模型，包括自洽模型、廣義自洽模型、Mori-Tanaka方法、微分法等解析方法，以及利用上述模型構(gòu)造的各種數(shù)值方法，如自洽有限元法，M-T有限元法等，這類方法以其模型簡單和概念明確而被廣泛應(yīng)用。3)以變分原理為基礎(chǔ)的定界法，這類方法給出有效性能的極值(上限和下限)。

1)稀疏分布模型。這種方法認(rèn)為每個骨料在均勻基體中，不考慮其他骨料的影響。由于不考慮骨料之間的相互影響，則代表體積單元的有效性能可看作單個骨料情況時的簡單疊加，每個骨料的平均應(yīng)力可通過嵌在含基體材料的無界體里的單個骨料的均布應(yīng)力近似得到。對于顆粒增強的二相復(fù)合材料，即對由骨料和基體組成的二相復(fù)合材料［2］。

2)Mori-Tanaka方法。Mori和Tanaka在研究彌散硬化材料的加工硬化時，提出了求解材料內(nèi)部平均應(yīng)力的背應(yīng)力方法［3］，即Mori-Tanaka方法，也稱為有效場方法。此方法設(shè)復(fù)合材料代表體積單元里有很多骨料，在建立局部化關(guān)系時，將每個骨料嵌于一個無限大的基體之中，而基體所受遠(yuǎn)場應(yīng)力不是外部施加的應(yīng)變ε0，而是基體的平均應(yīng)變εM。因為每個骨料都被基體所包圍，通過基體的平均應(yīng)變εM而與鄰近的骨料和基體產(chǎn)生相互作用，就可合理地反映骨料之間的相互作用。

3)自洽法。自洽法也叫等效介質(zhì)方法，先后由 Hershey［4］，Kroner［5］提出用來研究多晶體材料的彈性性能，Hill［6］和 Budiansky［7］進一步將其發(fā)展應(yīng)用于復(fù)合材料的有效彈性模量的預(yù)測。為考慮其他骨料的影響，自洽法假定將骨料單獨嵌于彈性性能未知的等效介質(zhì)之中，且骨料周圍等效介質(zhì)的彈性常數(shù)恰好就是復(fù)合材料的彈性常數(shù)。

4)廣義自洽法。為更好地考慮基體與骨料之間的相互作用，Christensen和Lo［8］采用基于三相模型的廣義自洽方法來計算骨料的平均應(yīng)變。三相模型或廣義自洽模型是復(fù)合球體模型的推廣。三相模型假定半徑為a的顆粒被厚度為b－a的基體外殼包圍，顆粒材料的體積比為c2=(a/b)2。此外，與復(fù)合球體模型假定復(fù)合球體充滿整個復(fù)合材料代表性體積單元不同的是，三相模型假定復(fù)合球體鑲嵌在一個性質(zhì)待定的有效介質(zhì)之中。該法與自洽法非常相似，稱為廣義自洽法，但在三相模型中，每一個顆粒都被真實的基體材料包圍;而在自洽法中，顆粒與有效介質(zhì)而不是與基體材料接觸。

2 混凝土隨機骨料模型

混凝土骨料分為細(xì)骨料和粗骨料。骨料按粒徑分為小石、中石、大石、特大石，它們依次稱為一、二、三、四級配，當(dāng)混凝土配比中包含這4種級配時，稱為全級配混凝土。通常三級配骨料包含大石、中石、小石3個級配骨料，小于5mm的骨料按砂漿計。為使混凝土產(chǎn)生最優(yōu)化的結(jié)構(gòu)密度，常采用富勒曲線來確定各粒徑顆粒比例。富勒曲線是骨料在混凝土中的空間曲線，基于概率統(tǒng)計，Walraven將富勒級配曲線轉(zhuǎn)化為試件內(nèi)截面具有骨料直徑D＜D0的內(nèi)截圓出現(xiàn)的概率［9］。隨著計算機運行速度的提高，用有限元分析混凝土力學(xué)性能越來越受到重視［10］，而采用這種方法的前提就是建立數(shù)值混凝土模型。根據(jù)概率方法計算各粒徑骨料的顆粒數(shù)，并按蒙特卡羅方法生成隨機骨料模型，見圖1。

圖1 二相混凝土隨機骨料數(shù)值模型

在有限元商業(yè)軟件ANSYS中，對試件施加均勻應(yīng)力邊界條件，應(yīng)用頂面位移法求出復(fù)合體有效彈性模量。取砂漿和骨料的泊松比均為0.25，砂漿的彈性模量E0=1，圖2為骨料彈性模量E1=10時，混凝土有效彈性模量隨骨料體積分?jǐn)?shù)變化的有限元結(jié)果與理論結(jié)果的比較，以及骨料體積分?jǐn)?shù)為20%時，混凝土有效彈性模量隨骨料彈性模量增長的變化。從圖2中可以看出稀疏分布僅適用于夾雜體積比較小的情況，所以預(yù)測結(jié)果不正確，而其他各種理論方法以及FEM數(shù)值方法均能夠正確預(yù)測高夾雜體積比復(fù)合材料的有效性質(zhì)。

圖2 各細(xì)觀力學(xué)方法預(yù)測結(jié)果與有限元數(shù)值試驗結(jié)果比較

3 結(jié)語

本文計算了細(xì)觀力學(xué)預(yù)測二相復(fù)合材料的有效模量的多種方法和有限元方法的比較，比較了各種方法的適用性問題，并得出了一些結(jié)論，但是這些結(jié)論都是建立在一系列假定的基礎(chǔ)上的，考慮程度的精確性還需要進一步討論，因此，真正將細(xì)觀力學(xué)方法應(yīng)用于混凝土材料領(lǐng)域，需做的工作還很多。

［1］ 馬懷發(fā)，陳厚群，黎保琨.混凝土細(xì)觀力學(xué)研究進展及評述［J］.中國水利水電科學(xué)研究院學(xué)報，2004，2(2):124-130.

［2］ Li Shaofan.Micromechanics Graduate Course Notes(CE236)［M］.Berkeley:Department of Civil and Environmental Engineering，University of California，2003.

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［5］ Kroner E.Berechnung der elastischen Konstanten des Vielkristalls aus den Konstanten des Einkristalls［J］.Z Phys，1958(151):504-518.

［6］ Hill R.Theory of mechanics of fiber-strengthened materials(Ⅲ).Self-consistent model［J］.J Mech.PhysSolids，1965(13):189-198.

［7］ Budiansky B.On the elastic module of some heterogeneous materials［J］.J Mech.Phys Solids，1965，13(4):223-227.

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［9］ 高政國，劉光廷.二維混凝土隨機模型研究［J］.清華大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2003，43(5):710-714.

［10］ 杜成斌，孫立國.任意形狀混凝土骨料的數(shù)值模擬及其應(yīng)用［J］.水利學(xué)報，2006，37(6):662-667.