何 兵,劉 剛,趙鵬濤,高 江,王 虹

(1.第二炮兵工程學(xué)院,陜西西安710025;2.第二炮兵青州士官學(xué)校,山東青州262500)

0 引言

頻率估計(jì)不僅在理論上,而且在實(shí)際應(yīng)用中,都有著非常重要的研究價(jià)值。利用信號(hào)FOA進(jìn)行定位是確定發(fā)射源位置的基本和主要手段,其定位精度直接與TOA和FOA估計(jì)的準(zhǔn)確度高度相關(guān),因此,尋求一種精度高、計(jì)算簡單、抗噪能力強(qiáng)的FOA估計(jì)算法一直是信號(hào)處理領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題。

自從20世紀(jì)30年代以來,由于在戰(zhàn)爭中雷達(dá)和聲納技術(shù)的廣泛應(yīng)用,使人們開始注意到信號(hào)頻率估計(jì)問題研究的重要性,從20世紀(jì)60年代初,開始了更為廣泛的研究。1958年由Blackman和Turkey提出的取樣自相關(guān)法,是當(dāng)時(shí)的一種流行的計(jì)算功率譜的方法。1965年由Cooley和Turkey完善了著名的FFT算法,把離散傅里葉變換的計(jì)算量減少了2個(gè)數(shù)量級(jí),并且產(chǎn)生了一種稱為周期圖的譜估計(jì)方法,這種方法使譜估計(jì)由理論走向?qū)嵱谩?967年,Burg提出了最大熵譜估計(jì)方法。1968年,Parzen提出了自回歸譜估計(jì)方法。1973年,由Pisareko提出的諧波分解方法提供了可靠的頻率估計(jì)方法,而在1979年,Schmidt提出了譜估計(jì)的多信號(hào)分類算法,對(duì)于正弦波分量頻率估計(jì)很有效,自此以后,有關(guān)特征分解法的頻率估計(jì)有了廣泛的研究。Rife[1]提出了利用正弦信號(hào)FFT主瓣內(nèi)2條譜線的幅度的變化提高正弦信號(hào)的頻率和幅度估計(jì)精度的方法。Jian等進(jìn)一步研究了這種方法并提出了插值FFT正弦信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法,這種方法既保留了基于FFT的正弦信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法速度快的特點(diǎn)又提高了估計(jì)精度。Kay等人在文獻(xiàn)[2]提出了一種高精度的頻率估計(jì)方法,但受信噪比門限值影響。在文獻(xiàn)[3]中,比較給出了6種FOA估計(jì)方法的優(yōu)劣,FFT方法估計(jì)精度受到采樣點(diǎn)的限制,周期圖方法是無偏非零方差漸進(jìn)估計(jì)器估計(jì),最小方差法和歸一化最小方差法是無偏最小方差頻率估計(jì)器,Burg方法具有較高的頻率分辨率,但應(yīng)用于短時(shí)數(shù)據(jù),會(huì)出現(xiàn)虛假峰值,MUSIC算法具有較高的分辨率,但是計(jì)算量較大。同時(shí)文獻(xiàn)[4]用自相關(guān)函數(shù)和三階累計(jì)量相結(jié)合提出了非高斯有色噪聲中的正弦信號(hào)頻率估計(jì),該方法具有良好的頻率估計(jì)性能。文獻(xiàn)[5]提出了一種低信噪比下的正弦頻率估計(jì)算法。文獻(xiàn)[6]中提出了一種利用DFT頻譜的相位和頻率插值的綜合算法提高頻率測量精度的方法,但是存在相位模糊問題。齊國清等人在文獻(xiàn)[7]中分別提出了加窗插值FFT頻率估計(jì)方法和基于DFT相位的正弦波頻率估計(jì)方法,利用分段DFT消除了相位測量中的正周模糊問題,在信噪比大于6 dB,采樣點(diǎn)位1 024時(shí),頻率估計(jì)均方根誤差約為DFT頻率分辨率的1%。

總之,基于離散傅里葉變換DFT的頻率估計(jì)方法運(yùn)算速度快,但是估計(jì)精度受到信號(hào)時(shí)長的限制,一般只利用DFT實(shí)現(xiàn)頻率的粗測,而利用MUSIC算法,AR模型算法以及最大似然估計(jì)算法等現(xiàn)代譜估計(jì)方法,可以對(duì)正弦信號(hào)頻率進(jìn)行精確估計(jì),但是由于算法復(fù)雜,計(jì)算量大,難以實(shí)時(shí)處理而限制了進(jìn)一步應(yīng)用。針對(duì)通信信號(hào)瞬時(shí)到達(dá)頻率估計(jì)問題,在借鑒和參考上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,通過對(duì)比仿真,選擇了文獻(xiàn)[2]中的頻率估計(jì)方法作為單頻復(fù)正弦信號(hào)的頻率估計(jì)方法,然后提出了適用于數(shù)字調(diào)制信號(hào)瞬時(shí)到達(dá)頻率估計(jì)的分段Kay頻率估計(jì)方法,仿真結(jié)果顯示該方法能夠達(dá)到極高的估計(jì)精度,頻率估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差小于0.1 Hz。

1 信號(hào)模型描述

通常接收到的信號(hào)包括3個(gè)不同的部分:導(dǎo)頻段(Tone)、導(dǎo)頭段(Preamble)和數(shù)據(jù)段(Data)。導(dǎo)頻段是一段長度為T1的未調(diào)制純載波段,導(dǎo)頭段為一段固定長度為T2的已知數(shù)據(jù),其目的是為了進(jìn)行位同步。數(shù)據(jù)段為一段特別編碼的數(shù)據(jù),長度為T3,包含發(fā)射源的相關(guān)信息,例如信號(hào)種類、國家號(hào)碼等。

信號(hào)模型假設(shè)如下,信號(hào)的純載波段定義如下:s(t)=acos(2πfct+θ),此處a代表信號(hào)幅度,fc為信號(hào)載波頻率,θ是初始相位。數(shù)據(jù)段采用二相曼徹斯特編碼,在相位調(diào)制中,數(shù)據(jù)“0”和數(shù)據(jù)“1”分別由表示為:

則調(diào)制信號(hào)表示為:

式中,bk=±1是信號(hào)發(fā)射的數(shù)據(jù);Nb為信號(hào)長度,Tb為一個(gè)碼元周期,Tb=2.5 ms;Pman(t)表示編碼方式。編碼使得信號(hào)頻譜產(chǎn)生了較多的旁瓣,這對(duì)利用信號(hào)頻譜峰值最大值進(jìn)行頻率估計(jì)帶來干擾。信標(biāo)信號(hào)信息時(shí)長為440 ms,上行中心頻率為406MHz,碼速率為400 bps。

2 Kay頻率估計(jì)算法描述

假設(shè)接收的數(shù)據(jù)是一個(gè)有限的序列,即對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了截?cái)?相當(dāng)于對(duì)數(shù)據(jù)加了矩形窗。在利用FFT算法進(jìn)行頻率估計(jì)時(shí),存在著一個(gè)頻率分辨率的限制,其分辨率的大小與數(shù)據(jù)的長度存在著反比關(guān)系。為了克服上述問題的影響,這里采用了一種基于相位差分的新算法,即Kay方法[2],該方法能夠獲得最大似然估計(jì)器的估計(jì)性能,且計(jì)算量較小,算法描述如下。

假設(shè)信號(hào)的模型如下:

式中,A為信號(hào)的幅值;w0為信號(hào)的頻率;θ為信號(hào)的初始相位,為一確定的未知量;信號(hào)頻率w0為要求的估計(jì)量;噪聲為zn=z1n+jz2n,z1n,z2n分別為實(shí)的均值為0;方差為 σ2/2的高斯白噪聲(σ2是噪聲zn的方差),并且z1n,z2n之間是不相關(guān)的。假設(shè)信噪比比較大,從而式(1)可用式(2)代替:

用∠x表示信號(hào)的xt的瞬時(shí)相位,則n時(shí)刻的相位為:∠xn=ω0n+θ+un,相位差分為:

由式(3)可以看出,現(xiàn)在的問題轉(zhuǎn)化為估計(jì)一個(gè)色高斯隨機(jī)過程的均值 ω0。由式(3)可知,Δn是一個(gè)驅(qū)動(dòng)噪聲方差為σ2/2A2,系數(shù)為b0=1,b1=-1的實(shí)的滑動(dòng)平均(MA)過程。式(3)所表示的線性模型的最小方差無偏估計(jì)即等價(jià)于 ω0的最大似然估計(jì),并且可以通過最小化式(4)得到。

C是序列Δn的(N-1)×(N-1)的協(xié)方差矩陣式(4)的解為:

該估計(jì)器的方差為:

該估計(jì)器的方差達(dá)到了克拉美勞下界,是有效估計(jì)。

將Kay算法和其他幾種算法,比如頻率細(xì)化算法,Rife算法,修正FFT算法,MUSIC算法進(jìn)行對(duì)比。分別比較幾種算法隨信噪比的增加估計(jì)偏差的變化情況,隨載波頻率變化估計(jì)偏差的變化情況以及隨信號(hào)長度改變估計(jì)誤差的比較。仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。從圖1仿真結(jié)果可以看出,Kay算法的估計(jì)精度要好于其他算法;從圖2的仿真結(jié)果可以得出結(jié)論,Kay和頻率細(xì)化算法估計(jì)精度基本不受載波頻率變化的影響。通過綜合比較,Kay算法是一種性能優(yōu)良的單頻復(fù)正弦信號(hào)頻率估計(jì)方法。

圖1 隨信號(hào)信噪比變化估計(jì)誤差比較

圖2 隨信號(hào)載波頻率變化估計(jì)誤差比較

3 分段Kay頻率估計(jì)方法

通常對(duì)數(shù)字調(diào)制信號(hào)到達(dá)頻率估計(jì)要求估計(jì)的是信號(hào)在某個(gè)特定數(shù)據(jù)上升沿或下降沿處瞬時(shí)頻率,上述信號(hào)格式中的導(dǎo)頭段(一段固定長度已知數(shù)據(jù))就是為此而設(shè)計(jì)的。因此,問題轉(zhuǎn)化為對(duì)導(dǎo)頭段某比特上升沿或下降沿到達(dá)頻率的估計(jì)。

由于在一個(gè)信號(hào)周期內(nèi),相對(duì)位置的運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致多普勒頻移存在,信號(hào)頻率一直處在變化中,因此,利用單一復(fù)正弦頻率估計(jì)方法不可取。針對(duì)上述接收信號(hào)模型,通過計(jì)算,在30 ms內(nèi)多普勒頻移量很小,認(rèn)為在30 ms內(nèi)信號(hào)頻率為一常量,可視為一段單一復(fù)正弦頻率信號(hào)。因此,這里提出可將整個(gè)接收數(shù)據(jù)段劃分為時(shí)長為30 ms的子段,并且子段之間的數(shù)據(jù)有一定的重合,利用Kay算法估計(jì)各子段的頻率,然后對(duì)估計(jì)出的頻率進(jìn)行曲線擬合,得到信號(hào)的時(shí)頻分布圖,從而求出接收信號(hào)某比特下降沿處的瞬時(shí)頻率,稱該方法為分段Kay頻率估計(jì)方法。由于Kay算法存在著信噪比門限,因此,在頻率估計(jì)之前須對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行下變頻和濾波處理,以獲得Kay算法門限值以上的信噪比。

以上述接收信號(hào)為模型,假設(shè)經(jīng)過下變頻處理和濾波后的信號(hào)模型為:x(n)=Acos(2p(fc+a×t)t)+n(t),a=0.5,表示信號(hào)的頻率變化率,n(t)為噪聲,信號(hào)長度為440 ms,信噪比為6 dB,載波頻率為1 500Hz,估計(jì)其22 bit下降沿處的瞬時(shí)頻率,即信號(hào)時(shí)長為220ms處的頻率。通過計(jì)算機(jī)仿真,某次估計(jì)結(jié)果如圖3所示,圖3中實(shí)線是真實(shí)頻率變化,虛線是估計(jì)的頻率變化值,圖中間似星星的點(diǎn)是瞬時(shí)頻率估計(jì)值。從圖3中可見,估計(jì)誤差小于0.1 Hz。

圖3 基于分段Kay的頻率估計(jì)

通過對(duì)上述過程經(jīng)過100次的仿真計(jì)算,得到瞬時(shí)頻率估計(jì)偏差均值為0.043 4 Hz,標(biāo)準(zhǔn)差為0.025 5Hz,達(dá)到了高精度的頻率估計(jì)效果。

4 結(jié)束語

針對(duì)信號(hào)到達(dá)頻率估計(jì)這個(gè)傳統(tǒng)問題,設(shè)計(jì)了一般性的信號(hào)模型,針對(duì)該信號(hào),通過比較選擇了一種高精度的單頻信號(hào)頻率估計(jì)算法,并設(shè)計(jì)了信號(hào)到達(dá)頻率估計(jì)的高精度估計(jì)方法—分段Kay頻率估計(jì),最后通過仿真試驗(yàn),驗(yàn)證了頻率估計(jì)的偏差小于0.1 Hz,精度較高。該方法計(jì)算量小,容易實(shí)現(xiàn),具有極高的準(zhǔn)確度和穩(wěn)定性,具有較高的實(shí)用價(jià)值,對(duì)解決類似問題具有一定的借鑒意義。

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