陳金光 黃永強(qiáng)

0 引言

隨著我國基本建設(shè)的快速發(fā)展，高層建筑和對地基有特殊要求的建筑物日益增多，在基礎(chǔ)工程設(shè)計(jì)與施工方面積累了不少成功的經(jīng)驗(yàn)。但也有不少失敗的教訓(xùn)，例如上海展覽中心館、北京大學(xué)汽輪機(jī)基座等造成了大量的損失和重復(fù)施工。這些事例充分表明，對基礎(chǔ)工程必須慎重對待?；谇叭舜罅康难芯砍晒?，針對非均勻地基，建議了一種基于層狀材料Kelvin基本解的數(shù)值方法，并計(jì)算了均勻地基和非均勻地基在圓形荷載作用下的應(yīng)力和位移場，為工程應(yīng)用提供了參考。

1 基于廣義Kelvin基本解的層狀地基的分析方法

1.1 層狀材料廣義Kelvin基本解

下面概述一下層狀材料的廣義Kelvin基本解［1］，詳細(xì)的推導(dǎo)和分析可在原文中找到。廣義Kelvin基本解是關(guān)于無限域?qū)訝畈牧现屑泻奢d作用下的位移和應(yīng)力場。無限域中，材料的層數(shù)為任意數(shù)，層狀材料上下分別與半無限均勻介質(zhì)完全粘結(jié)。任何連接在一起的層狀材料的交界面為完全粘結(jié)。該基本解一個(gè)顯著的特點(diǎn)是:對于層數(shù)任意的層狀材料，能獲得閉合解，且具有很高的計(jì)算精度。

1.2 求解非均勻地基應(yīng)力位移場的基本方程

對于非均勻地基，可以采用廣義Kelvin基本解來分析?？梢约僭O(shè)第0層的彈性模量為一很小的值，比如E0=1×10－15MPa。這樣就可以采用類似Mindlin解分析半無限域的方法來分析非均勻地基的情形，如圖1所示。

半無限域內(nèi)非均勻地基任意一點(diǎn)的應(yīng)力可由下式計(jì)算:

半無限域內(nèi)非均勻地基任意一點(diǎn)的位移可由下式計(jì)算:

如果加載區(qū)域S不規(guī)則或荷載不均勻，不能采用簡單的積分辦法?？刹捎妙愃七吔缭x散的方法求解，可將整個(gè)加載區(qū)域S離散成m個(gè)單元，則:

采用8節(jié)點(diǎn)等參單元，并引入起插值函數(shù)，則半無限域內(nèi)任意一點(diǎn)在整體坐標(biāo)下的位移可用局部坐標(biāo)系表示為:

其中，n為第n個(gè)單元;l為等參單元的第l個(gè)節(jié)點(diǎn);N為等參單元的差值函數(shù);ξ為局部坐標(biāo)矢量;J為雅可比矩陣。

2 均布荷載作用下均勻地基算例驗(yàn)證

2.1 計(jì)算模型建立

下面利用編寫的Fortran程序，分析一個(gè)存在已知解的例子，以驗(yàn)證本文計(jì)算方法的精確性。

圖2為圓形加載區(qū)域的單元?jiǎng)澐旨安糠诌吔缬?jì)算節(jié)點(diǎn)，共劃分了64個(gè)單元，209個(gè)節(jié)點(diǎn)，半徑為100cm，其上作用著大小為fz=1.0MPa的均布荷載，其彈性模量為 E=850 kg/cm2，泊松比μ =0.25。

計(jì)算過程中，沿r軸共取了35個(gè)邊界點(diǎn)，每個(gè)邊界點(diǎn)正下方對應(yīng)著5個(gè)計(jì)算節(jié)點(diǎn)。圖2中每一條曲線表示每一個(gè)深度上各計(jì)算節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力或位移值。

2.2 數(shù)值解與理論解之誤差分析

豎向位移ur(r=0處)利用本文方法所求出的數(shù)值解與參考文獻(xiàn)［3］［4］的理論值所作的對比，并且計(jì)算了其相對誤差，其中最小誤差2.00376%，出現(xiàn)在z=10cm處;最大誤差為3.23616%，出現(xiàn)在z=300cm處。

豎向應(yīng)力σz的數(shù)值解與參考文獻(xiàn)［4］中理論值的對比，其中最小誤差為0.01824%，出現(xiàn)在r=0，深度z=900cm處;最大誤差為11.5693%，出現(xiàn)在r=120cm，深度z=10cm處。整體上看，相對誤差主要集中在1.0%～4.0%之間。

徑向應(yīng)力σr的數(shù)值解與參考文獻(xiàn)［3］［4］的理論值的對比，其最小誤差為0.00422%，出現(xiàn)在r=40cm，z=70cm處;最大誤差為9.7561%，出現(xiàn)在r=100cm，z=70cm處。

2.3 應(yīng)力與位移數(shù)值解曲線圖

由圖3可知，σz值在加載邊界(r=1 m)處發(fā)生突變，其數(shù)值在圓形加載區(qū)域內(nèi)部隨深度的增加而逐漸減小;在圓形加載區(qū)域外，σz應(yīng)力值隨深度的增加而增加;從徑向看，σz值從圓心處沿徑向減小，在r=200cm處曲線走勢開始平緩并逐漸趨于0。

豎向位移uz的數(shù)值曲線基本與豎向應(yīng)力σz的數(shù)值曲線走勢相同(見圖4)。其值隨深度的增加而減小并逐漸趨于0。

圖5形象的反映了隨深度變化σr值的變化規(guī)律。在加載邊界(r=1 m)附近，曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)。隨著深度的增加，圓形區(qū)域內(nèi)的σr值越來越小，r=0處σr值的變化速率較快。從徑向看，當(dāng)一定的深度，圓形r=0處的σr值最大，沿徑向逐漸減小，在加載區(qū)域邊界迅速較小，之后曲線走勢平緩;隨深度的進(jìn)一步增大，圓心處的σr值開始小于附近區(qū)域的σr值，在加載區(qū)域邊界σr值達(dá)到最大，隨后σr值沿徑向逐漸減小。深度z=70cm處的σr曲線形象的反映了隨深度增加，σr值沿徑向的變化規(guī)律。

通過上述三曲線我們可以發(fā)現(xiàn)，在圓形加載邊界(r=1 m)處，應(yīng)力和位移發(fā)生突變，加載區(qū)域邊界是曲線變化與走勢的分界點(diǎn)。

3 圓形荷載下非均勻地基應(yīng)力和位移場分析

某一地層情況如下:第一層厚h1=100cm，彈性模量E1=687 kg/cm2，泊松比 v1=0.3;第二層厚 h2=75cm，E2=845 kg/cm2，v2=0.35;第三層 h3=125cm，E3=961 kg/cm2，v3=0.35。其上作用著圓形均布荷載Fz=1MPa，荷載半徑r=100cm。

計(jì)算過程中沿徑向取了r=0cm，50cm，100cm，150cm，200cm，250cm，計(jì)算了各深度處的 uz，σz，σr值，以期發(fā)現(xiàn)對工程有指導(dǎo)作用的信息。

從圖6可以看出，豎向位移uz隨深度的增加逐漸減小，曲線變化趨勢基本與均勻地基的情況相似;從徑向看，在荷載區(qū)域，位移值沿徑向逐漸減小，在加載區(qū)域內(nèi)，位移值區(qū)間較大，在加載區(qū)域邊界處，曲線的走勢開始變化，位移值區(qū)間縮小。

從圖7可以看出，豎向應(yīng)力σz在加載區(qū)域內(nèi)，隨深度的增加而減小;在加載區(qū)域外，隨深度的增加而先增大后減小。另外，應(yīng)力值沿徑向逐漸減小，在加載邊界r=100cm，應(yīng)力值在徑向產(chǎn)生突變。

從圖8中可以看到，在層與層的分界面(z=1.0 m和z=1.75 m)上，徑向(水平)應(yīng)力值σr將發(fā)生明顯的跳躍現(xiàn)象。在邊坡工程上應(yīng)該考慮應(yīng)力值在水平方向的突然跳躍，尤其對于多層夯實(shí)高路堤或土邊坡，水平方向應(yīng)力值在層間的跳躍現(xiàn)象可能成為影響穩(wěn)定性的因素。

4 結(jié)語

由以上計(jì)算分析可見，用本文的計(jì)算方法所得出的結(jié)果與理論值之間的誤差可以被控制在一個(gè)較小的范圍內(nèi)。采用基于層狀材料基本解，在整個(gè)加載面上積分來計(jì)算給定點(diǎn)的位移和應(yīng)力，這種方法可以較精確的計(jì)算數(shù)值解。本文用該計(jì)算方法僅計(jì)算了圓形荷載的應(yīng)力和位移分布情況，復(fù)雜荷載和復(fù)雜邊界下的應(yīng)力和位移也可以由本文的計(jì)算方法得到。

對于層狀地基，豎向的應(yīng)力和位移值的變化趨勢與均勻地基的情況相似，但水平方向的應(yīng)力值受到層狀特性的影響。在邊坡等工程上應(yīng)該考慮應(yīng)力值在水平方向的突然跳躍，尤其對于多層夯實(shí)高路堤或土邊坡，水平方向應(yīng)力值在層間的跳躍現(xiàn)象可能成為影響穩(wěn)定性的因素。

［1］ Yue Z Q.On generalized Kelvin solutions in multilayered elastic medium［J］.Journal of Elasticity，1995(40):1-43.

［2］ 王煥定，焦兆平.有限單元法基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2002:117-120.

［3］ Poulos HG，Davis EH.巖土力學(xué)彈性解［M］.孫幼蘭，譯.北京:中國礦業(yè)大學(xué)出版社，1986:60-79.

［4］ 趙明華.土力學(xué)與基礎(chǔ)工程［M］.武漢:武漢理工大學(xué)出版社，2008:50-56.