雷 鳴，陳新美

（長沙理工大學數(shù)學與計算科學學院，長沙410114）

保險業(yè)是經(jīng)營風險的特殊金融服務行業(yè)，同時自身的經(jīng)營又面臨風險。再保險是一種分散保險公司風險的有效方法，而破產(chǎn)概率又是度量風險的重要指標。根據(jù)保險公司的實際情況建立有再保險因素的風險模型，研究再保險對破產(chǎn)概率的影響是保險數(shù)學中的一個重要的研究課題。文獻[1]對經(jīng)典模型加以推廣，得到帶稀疏過程的風險模型

式中：u——u＞0是初始準備金；

c0——c0＞0是保單的平均保費；

M（t）——是到時刻t為止保險公司售出的保單數(shù)，且是參數(shù)為λ的齊次Poisson過程；

N（t）——是到時刻t為止保險公司理賠的保單數(shù)，N（t）是M（t）的p－稀疏過程（0＜p＜1）。

本文對模型（1）加以推廣并考慮變破產(chǎn)下限的問題。

1 模型描述

給定一完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P），所有涉及的隨機過程和隨機變量都定義在此概率空間上，考慮風險模型：

式中：u——初始準備金；

c0——每張保單的平均保費；

M（t）——到時刻t為止保險公司售出的保單數(shù)；

N（t）——到時刻t為止保險公司理賠的保單數(shù)；

Xi—— 第i次的索賠額，且｛Xi，i＝1，2，…｝是非負獨立同分布的隨機變量序列，設其分布函數(shù)為F（x）；

f（t）—— 變破產(chǎn)下限，f（t）是非負的；

β——再保險比例。

假設｛M（t），t≥0｝是參數(shù)為λ的齊次Poisson過程，｛N（t），t≥0｝是｛M（t），t≥0｝的p－稀疏過程，其中0＜p＜1，不妨記｛N（t），t≥0｝這一過程為｛M（t，p），t≥0｝，這里為了方便計算我們假設f（t）是線性的，記

2 預備引理

引理1 盈利過程｛S（t），t≥0｝具有以下性質：

（1）｛S（t），t≥0｝具有平穩(wěn)獨立增量性；

（2）為了保證保險公司的穩(wěn)定經(jīng)營，我們假設E[S（t）]＞0。

引理2為Ft的鞅，其中

3 主要結果

定義1 破產(chǎn)時刻；破產(chǎn)概率Ψ（u）＝P｛Tu＜ ∞｝。

定理1 破產(chǎn)概率滿足不等式：Ψ（u）≤e－ruH（r），其 中

證明：設t0＜∞為一常數(shù)，由于Tu是破產(chǎn)時刻，則t0∧Tu為有界停時，根據(jù)引理和停時定理可得：

從而

而

所以

PF0（Tu≤t0）≤（pm（r）＋1）－1]＋λf（t）｝｝兩邊取期望且令t0→∞得：Ψ（u）≤e－ru·H（r）

由于假設f（t）為線性，這里討論f（t）的具體形式。

定理2 當f（t）＝a＋bt時，U（t）＝u－a－

（1）破產(chǎn)概率滿足等式：

（2）破產(chǎn)概率滿足不等式：

其中R 為關于r 的方程λ[e－rc0（1－β）·（pm（r）＋1）－1]＋rb＝0的解。

定理2的證明與文獻[6]定理2證明類似。

[1]陳珊萍，王過京，王振羽.稀疏過程在保險公司破產(chǎn)問題中的應用[J].數(shù)學統(tǒng)計與管理，2001，20（5）：26－30.

[2]陳占斌，劉再明.稀疏過程在破產(chǎn)問題中的應用[J].數(shù)學理論與應用，2005，25（1）：35－38.

[3]馬學思，劉次華.變破產(chǎn)下限風險模型的破產(chǎn)概率[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2007，26（3）：440－443.

[4]王變，張馨方.變破產(chǎn)下限風險再保險模型的破產(chǎn)概率[J].現(xiàn)代商貿工業(yè)，2010，（8）：137.

[5]鄧永錄，梁之舜.隨機點過程及其應用[M].北京：科學出版社，1998：1－115.

[6]張馨方，成軍祥，王濤.變破產(chǎn)下限雙Poisson風險模型的破產(chǎn)概率[J].現(xiàn)代商貿工業(yè)，2010，（7）：154.

[7]錢敏平，龔光魯.隨機過程論[M].北京：北京大學出版社，1997：411－415.

[8]張茂軍，南江霞，夏尊銓.隨機過程論[J].高校應用數(shù)學學報，2007，22（4）：411－415.

[9]花俊，陳新美.稀疏過程在變破產(chǎn)下限風險模型中的應用[J].長春工程學院院報：自然科學版，2011，12（1）：142－144.