張 麗

(黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)文理學(xué)院,大慶163319)

0 引言

非線性微分方程周期邊值問題在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域中具有深刻實(shí)際的背景,其正解存在性研究無論在理論上還是在應(yīng)用中都有非常重要的意義。關(guān)于含參數(shù)二階非線性周期邊值問題,一些作者對正解存在性也有過研究,例如文[1—6]。本文借鑒了文獻(xiàn)[7—8]的結(jié)論,采用范數(shù)形式的錐不動點(diǎn)定理研究了一類含雙參數(shù)二階非線性周期邊值正解存在性。

1 問題假設(shè)與主要定理

本部分研究二階非線性周期邊值問題

正解的存在性,其中 α＜0,0＜4β-α2＜1。

假設(shè)如下:

定理1 假設(shè)或者成立,則邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解。

從定理1,可得如下

推論1 若方程(1)滿足及以下情形之一:

則邊值問題(1)至少存在一個(gè)正解。

引理1[8]若r(t)是線性周期邊值問題

的解,則(1)的解為

其中

引理2 線性周期邊值問題(1)的解r(t)形式如下

證明:其特征方程 λ2+α λ+β=0

Δ=α2-4β,當(dāng) α＜0,0 ＜4β-α2＜1時(shí),

且有

將邊值條件 r(0)=r(2π),r′(0)-r′(2π)=1帶入式(5)和式(6)

得到:

由克萊姆法則得:

由引理1可知問題(1)等價(jià)于下述的積分方程

其中

易知G(t,s)＞0。

引理3 對任意的成立0＜m ≤G(t,s)≤M,

其中

定義映射

其中

容易知道 ?u∈K,

引理4 Φ:K→K是全連續(xù)算子。

再證 Φ是連續(xù)算子。

2 主要定理的證明

設(shè)E是Banach空間,K?E是E中的一個(gè)閉錐,Ω是E中的開集,其邊界記為。令是全連續(xù)算子,若定義不動點(diǎn)指數(shù)若則Φ在K ∩Ω上有一個(gè)不動點(diǎn)[8]。

引理5[8]令 Φ:K →K是全連續(xù)算子,若 μ Φ u ≠u,?u ∈ ?Kr,0＜μ≤1,則有 i(Φ,Kr,K)=1。

引理6[8]令Φ:K →K是全連續(xù)算子,若滿足以下2個(gè)條件:

則有i(Φ,Kr,K)=0。

證明定理1:

情形(1):

反證法:若 ?u0∈ ?Kr,0＜μ0≤1,使

由算子 Φ定義知,u0(t)滿足下式

由上式及邊值條件,可得

由引理5,有

另一方面:

可得:

由引理6(1)知成立下式。

再利用反證法 ?u0∈ ?KR,μ0≥1使 μ0Φ u0=u0,可得:

由K?E的定義知

綜上,則有

證畢。

3 結(jié)語

本文研究了一類二階非線性周期邊值問題在雙參數(shù)在某種取值范圍下,構(gòu)造給出了該問題的兩種形式Green函數(shù),通過Green函數(shù)的性質(zhì),進(jìn)而將該邊值問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的積分方程,在適當(dāng)?shù)目臻g上定義映射,再將積分方程轉(zhuǎn)化為算子方程,利用錐不動點(diǎn)指數(shù)定理,給出了此問題存在正解的充分條件,并證明了正解的存在性。

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