王國治

(華南理工大學 金融工程研究中心，廣東 廣州 510006)

關于市場長期相關的問題，人們已針對不同的資產進行了研究，包括：股票指數(shù)、利率[1-2]、政府債券、匯率[3]。這些研究中運用了多種方法，大多數(shù)文獻在解釋長期相關是根據長期相關的特征參數(shù)即Hurst指數(shù)H和臨界值0.5進行比較。但是，作為最普遍應用的Hurst指數(shù)H估計技術的重要部分，由于存在短期記憶效應所導致的偏差，如：在基礎過程中的ARIMA和 (G)ARCH模型中的偏差現(xiàn)象，因此將這種解釋長期相關的方法未經充分討論就運用到長期相關的研究中是很成問題的。而且，短期相關和長期相關在投資組合選擇、期權定價和風險管理這些重要的金融研究領域中有著不同的含義，所以對這兩種類型的相關進行區(qū)分具有非常重要的意義。為處理這個問題，文章通過運用經典的和修正過的重標極差方法[4-5]結合具有預白和后黑的moving block bootsrap方法(以后簡稱MBB)對非長期相關的假設檢驗構建置信區(qū)間[6]，集中檢驗滬市A股上證指數(shù)的收益率和波動率的長期相關。數(shù)據集包括了1999-2009上證指數(shù)的數(shù)據。

一、長期相關

二、經典和修正的重標極差方法

重標極差分析(R/S)是最早的Hurst指數(shù)估計方法并由H.E.Hurst在1951年提出并由Mandelbrot和Wallis進行了修正。在這個分析過程中，將時長為T的連續(xù)收益率時間序列劃分為N個相鄰的時長為v的子時間間隔，即Nv=T。每個子時間間隔其統(tǒng)計特征的重標極差可以通過Ri/Si給出。這里Ri是相應統(tǒng)計特征的一個范圍，Si是相應的收益率標準差。對每個時間子間隔都進行這樣的處理[11]。重標極差可以寫為

(R/S)v≈cvH

(1)

這里v是可以變動的而c是常量。上式在雙對數(shù)坐標里顯示出乘冪尺度[12]。為了揭示尺度變換，對上式兩邊取對數(shù)并運用普通ols估計出H。用探測周期的V統(tǒng)計量對Hurst指數(shù)進行平穩(wěn)性檢驗，V統(tǒng)計量可以定義為

(2)

對于一個獨立過程其收斂的分布定義為[4，5，11]

(3)

對于非長期相關過程，V若隨著標度v的增加而遞增或遞減，那么V就分別是恒定的持續(xù)性或反持續(xù)性。這就是經典的R/S分析，因為具有短期記憶效應，Lo[5]提出了修正的重標極差分析M-R/S。它和經典方法的區(qū)別主要在于運用了修正過的標準差，這個標準差是通過從所選的從第一個子時間間隔到滯后的時間間隔ξ的原始時間序列中，運用原始時間序列的自相關協(xié)方差得出的，如下式

(4)

這樣，R/S分析只是M-R/S分析當ξ=0的特殊情形。對于修正的重標極差估計來說，正確選擇滯后非常關鍵[13-14]。Lo[5]根據原始序列ρ(1)的一階自回歸系數(shù)給出了最優(yōu)滯后值。由下式給出(下式中的[.]是向下取整算符)

(5)

這可得到關于設定標度v的修正的重標極差估計量，并構建V統(tǒng)計量，從分布FV由非長期相關的虛擬假設得出臨界值，將V統(tǒng)計量和臨界值進行比較。

三、研究方法

Bootstrap方法用來處理小樣本的統(tǒng)計特性。其基本含義就是將原始序列進行重整并對一個具體參數(shù)或統(tǒng)計量進行重復估計。通過序列重整，雖然原始序列的分布特性保持不變，但可能存在的相關關系會遭到扭曲[15]。由bootsrap方法估計出的置信區(qū)間進行假設檢驗。因為簡單的bootstrap對時間序列的整理將短期相關和長期相關都消除了。因此，這種方法無法達成我們研究長期相關的目的。Srinivas和Srinivasan[6]給出了一個修正的bootstrap方法，即MBB，該方法保留了短期相關的特性但缺少長期相關。

四、數(shù)據

通過對上證指數(shù)收益率和波動率運用經典的和修正的重標極差分析法。設Ps，t是上證指數(shù)在t的收盤價，t=0，…，Ns這里Ns是上證指數(shù)的時間序列長度。上證指數(shù)在時間t的連續(xù)收益率可以表示為rs，t=log(Ps，t/Ps，t-1)其中t=1，…Ns。用收益率的絕對值來測度，對于上證指數(shù)在時間t的收益率測度表示為|rs，t︱，檢驗區(qū)間從1999/5/4～2009/5/14?；窘y(tǒng)計描述由表1給出。從回報率的偏度和峰度來看不遵循正態(tài)分布。圖1Q-Q概率圖顯示了這些特性。相對基于標準正態(tài)分布的方法[12]，從基本的統(tǒng)計分析結果可以看到運用boostrap方法構建置信區(qū)間的重要性并避免很多方法對不同分布所具有的敏感性。

表1 上證指數(shù)收益率的統(tǒng)計描述

圖1 上證指數(shù)的柱狀圖和QQ圖

五、結果和討論

表2給出由式(5)給出的最優(yōu)滯后ξ*，對于收益率來說，最優(yōu)滯后為4。對于波動率最優(yōu)滯后的估計值為10。從滯后的估計可看出一方面上證指數(shù)的收益率不存在長期相關，另一方面波動率存在長期相關，這和一些關于新興市場不夠成熟效率不高導致存在持續(xù)性特征的研究相抵觸[16]，但絕大多數(shù)研究都沒有考慮要檢驗時間序列的統(tǒng)計特征，而是僅將Hurst指數(shù)H或V統(tǒng)計量和相應的臨界值進行比較。因此這些結果應重新檢測時間序列的統(tǒng)計特征和可能的短期相關。

表2 V統(tǒng)計量和boostrap方法的置信區(qū)間

圖2比較了分別由bootstrap和Lo[6]的方法得出的置信區(qū)間，其中Lo的方法只在滯后值選擇正確時才是正確的。

從圖2中可以看出，基于時間序列的收益率對所有檢測的滯后值ξ來說，由bootstrap所得的置信區(qū)間和由Lo方法所得置信區(qū)間很接近，因為即使當ξ=0是這種情況也存在，所以短期相關或完全沒有或者非常弱，并且經典R/S的估計是無偏的。對于波動率，兩種方法所得置信區(qū)間直到滯后值在8和9之間才沒有出現(xiàn)明顯的沖突。對于較小滯后值，由于boostrap的臨界值遠大于Lo方法所得，那么最優(yōu)滯后值就非(5)的結果而是當兩種方法所得置信區(qū)間相等時為最優(yōu)滯后值。運用R/S和M-R/S都得到拒絕收益率長期相關和接受波動率長期相關的假設檢驗的結果。這樣看來，對于假設檢驗用MBB比用M-R/S可給出更重要信息。從所得結果可看到，如果正確的選擇AR(1)，上證指數(shù)波動率不僅是短期相關而且也是長期相關。因為收益率沒有發(fā)現(xiàn)有長期相關，ARFIMA模型就不適用。不過，波動率存在的短期和長期相關意味著運用諸如FIGARCH模型會比簡單GARCH模型得到更好結果。波動率持續(xù)性顯示外在沖擊幅度以雙曲衰減，比一般GARCH模型隱含的衰減幅度要慢。

圖2 收益率(左)和波動率(右)的V統(tǒng)計量的估計值

六、結論

本文研究了1999 到2009上證指數(shù)收益率和波動率長期相關的存在問題。我們選擇經典的和修正過的重標極差方法根據V統(tǒng)計量來檢驗長期相關。為避免潛在的短期相關，分布敏感性，異方差和趨勢這些復雜情況，運用具有預白和后黑的MBB方法構建假設檢驗的置信區(qū)間。顯示上證指數(shù)的收益率不存在顯著的長期相關而波動率存在顯著的長期相關，并同時存在顯著的短期相關。另外，我們討論了從修正重標極差方法中找出最優(yōu)滯后值的可能性。對于收益率來說所得結果和已有的一些認為中國股票市場具有持續(xù)性的研究相抵觸。[16]這些研究大多數(shù)沒有運用置信區(qū)間或只基于標準正態(tài)分布的置信區(qū)間。因此，研究的結果需要從新檢驗和從新進行解釋。

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