邵毅敏，肖會芳

(1.重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044;2.長沙理工大學 汽車與機械工程學院，長沙 410004)

在動力系統(tǒng)中，存在著眾多界面，這些界面承擔著動力耦合、能量傳遞的重要作用。但是，由于其不確定性，導致對其的數(shù)學描述異常困難。同時，通過機械加工處理的實際工程結(jié)構(gòu)表面，也并非絕對光滑，而是具有不同程度的粗糙度。振動與能量經(jīng)過這些粗糙界面時，具有怎樣的傳遞與損耗行為，對描述動力系統(tǒng)的振動特性與能量特性至關(guān)重要，也是研究較少的難題。

有關(guān)振動與能量在多界面?zhèn)鬟f的研究集中在多層復合材料結(jié)構(gòu)［1－5］。這些研究大多假設(shè)多層復合材料結(jié)構(gòu)在界面處是連續(xù)的，這與動力系統(tǒng)的非連續(xù)界面存在本質(zhì)區(qū)別，因此對多層復合材料結(jié)構(gòu)連續(xù)界面的描述并不適用于動力系統(tǒng)的非連續(xù)界面。而有關(guān)非連續(xù)－粗糙多界面振動、能量的傳遞與損耗特性的研究極少，需要開展其研究。

本文建立了“單層絕對光滑金屬板－剛性平面”模型和“單層粗糙金屬板－剛性平面”模型，采用有限元方法，對加載與卸載過程中，具有不同界面形態(tài)，不同塑性材料特性和界面摩擦的單層模型界面的能量損耗進行計算分析，集中研究了單一界面上，由塑性變形和界面摩擦引起的能量損耗特性。其中，三維粗糙表面由修正的兩參數(shù) Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)生成［6］。本文所采用的有限元計算方法的有效性，擬采用與Hertz接觸理論［7］的結(jié)果對比進行驗證。

1 “單層金屬板－剛性平面”界面模型

1.1 模型描述

研究單一界面上能量損耗特性的“單層金屬板－剛性平面”模型示意圖如圖1所示。圖1(a)和圖1(b)中，金屬板與剛性平面的接觸面分別為絕對光滑平面和具有一定表面形貌的粗糙表面。

圖1 “單層金屬板－剛性平面”模型示意圖Fig.1 Sketch diagram of“single metal panel－rigid plane”model

金屬板與剛性平面之間的接觸為彈－塑性接觸。文獻［8］對彈塑性接觸過程中，塑性區(qū)域的發(fā)展過程進行了詳細的描述。與文獻［8］的方法一致，在本文的研究中，塑性區(qū)域的發(fā)展過程通過金屬板塑性材料的硬化準則來描述。通過采用不同的硬化準則來研究材料屬性對界面能量損耗的影響。

圖2為具有不同硬化準則的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，圖2(b)所示的線性應(yīng)變硬化應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系為:

圖2(c)所示的非線性應(yīng)變硬化應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系為:

不同材料卸載時的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系均為線彈性。

圖2 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系Fig.2 Stress strain relationships，(a)elastic(EL)，(b)linear hardening law(LH)，(c)nonlinear hardening law(NLH)，and(d)elastic－perfectly plastic(EPP)

對圖1所示的模型，在金屬板上進行位移載荷的加載和卸載，求取界面處的接觸力，繪制加載和卸載過程的力－位移曲線，曲線形成封閉區(qū)域的面積即為界面上的能量損失。

圖1(b)中，具有表面形貌的三維粗糙表面由修正的兩參數(shù)Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)生成，

其中:L為樣本長度，G為分形粗糙度，D為表面分形尺度(2＜D ＜3)，Ls為截斷長度，γ (γ ＞1)為縮放參數(shù)，M為生成分形表面的脊線數(shù)量，n是頻率因子，nmax=int.［log(L/Ls)/logγ］，Φm，n是［0，2π］內(nèi)的隨機相位。表面的粗糙程度通過尺度獨立的分形參數(shù)D和G控制。根據(jù)實驗測試結(jié)果，D 的范圍為［2.3，2.7］，G 的范圍為［1.36e－13，1.36e－10］m。文獻［6］對 Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)進行了詳細介紹。圖3是在Matlab7.0中用式(3)所示的兩參數(shù) Weierstrass－Mandelbrot函數(shù)生成的三維粗糙表面，各參數(shù)分別為 D=2.4，G=1.36e－10m，L=9e－7m，Ls=1.5e－7m，M=10和γ =1.5。

圖3 三維粗糙表面Fig.3 A sample Weierstrass－Mandelbrot surface

1.2 有限元計算模型

本文采用商用有限元軟件進行模型的求解計算。圖4是分析計算的有限元模型。三維金屬板用SOLID185單元離散，SOLID185單元的每個節(jié)點具有3個方向的平動自由度。金屬板與剛性平面之間建立接觸對，接觸對通過點－面接觸單元對TARGE170和CONTA175識別。接觸單元CONTA175覆蓋在金屬板的接觸表面，用來描述變形體的邊界條件，并與目標單元TARGE170進行接觸。剛性表面進行全約束，金屬板的上表面節(jié)點僅具有Z方向的自由度。位移載荷通過兩個載荷步施加在金屬板的上表面節(jié)點，第一個載荷步為加載過程，第二個載荷步為卸載過程。通過求取剛性平面的反力，獲得金屬板與剛性平面之間的接觸力。繪制加載和卸載過程的位移－接觸力曲線，曲線形成的封閉區(qū)域的面積即為界面處的能量損失。計算過程中，每個載荷步包含多個載荷子步，使得位移載荷被逐漸施加在金屬板上，從而使金屬板與剛性平面緩慢地接觸和分離，最大載荷步和最小載荷步分別設(shè)置為400和50。接觸算法采用Augmented Lagrangian算法。力的收斂準則設(shè)為0.001。

圖4 有限元計算模型Fig.4 A sample of finite element mesh of rough solid and rigid plane，(a)smooth interface，(b)rough surface interface

2 有限元計算方法有效性的驗證

采用限元方法模擬Hertz接觸與Hertz理論計算結(jié)果對比的方法，檢驗本文所采用的有限元計算方法處理接觸問題的有效性。Hertz接觸關(guān)系的示意圖如圖5所示，兩個半徑分別為R1和R2的三維長圓柱體進行無摩擦接觸。建立Hertz接觸的有限元模型的方法、離散圓柱體的單元類型、識別界面接觸的接觸單元類型以及接觸算法與本文1.2節(jié)建立界面接觸的有限元模型保持一致。通過有限元計算求解接觸半寬b和接觸變形量d，并與Hertz接觸理論計算結(jié)果對比［7］。對比結(jié)果如表1所示。從表中可以看出，有限元計算結(jié)果與Hertz理論計算結(jié)果的誤差小于4%，說明本文所采用的有限元計算方法處理接觸問題是準確、可靠的。

圖5 Hertz接觸示意圖Fig.5 Sketch of the Hertz contact

表1 有限元和Hertz理論計算結(jié)果對比Tab.1 Results comparison between FEA and Hertz solution

3 計算結(jié)果與分析

表2是本文計算采用的材料參數(shù)。計算完成后，提取法向接觸力和變形量并無量綱化:fn=Fn/E’A0，δ=z/L，其中 A0為名義接觸面積(=L2，L為樣本長度)，E’為復合彈性模量(E’=E/(1－ν2)，E為彈性模量，ν為泊松比)，繪制位移－力曲線。

表2 材料參數(shù)Tab.2 Material parameters used in calculations

3.1 界面無摩擦

3.1.1 彈性材料

圖6為金屬板具有彈性材料屬性，界面無摩擦，最大法向位移δ=0.02時，加載和卸載過程的力－位移曲線。從圖中可以看出，加載和卸載的力－位移曲線完全重合，無能量損失。

3.1.2 彈塑性材料

3.1.2.1 接觸力－變形曲線

圖6 彈性材料，粗糙界面，加載與卸載的力－位移曲線Fig.6 Loading and unloading non－dimensional normal force vs.non－dimensional normal displacement of rough surface model with elastic material

圖7為具有不同界面形態(tài)的無摩擦界面，具有非線性應(yīng)變硬化材料特性，位移為 δ=0.02，加載后的等效塑性應(yīng)變。在光滑界面上(a)，塑性應(yīng)變在界面上呈比較規(guī)則的由內(nèi)向外的“環(huán)狀”分布。在接觸初始階段［圖(a)］，最大塑性應(yīng)變位于中心區(qū)域，由中心向邊界逐漸減小，最小塑性應(yīng)變位于四個角點。與光滑界面不同，在粗糙界面上(b)，接觸初始階段，實際接觸面僅為一些點和很小的面，面積遠小于整個粗糙面面積，在接觸點處發(fā)生應(yīng)力集中，其應(yīng)力值高于屈服應(yīng)力而產(chǎn)生塑性變形。

圖8為金屬板具有彈塑性材料屬性，界面無摩擦，不同界面形態(tài)［光滑界面(a)和粗糙界面(b)］，最大位移分別為 δ=0.02，0.04，0.06，0.08 和 0.1 時，加載和卸載過程的力－變形關(guān)系曲線。其中(ⅰ)為線性應(yīng)變硬化材料屬性，(ⅱ)為非線性應(yīng)變硬化材料，(ⅲ)為理想彈塑性材料。

圖7 不同界面形態(tài)，無摩擦，非線性應(yīng)變硬化材料，δ=0.02，加載后的等效塑性應(yīng)變Fig.7 Equivalent plastic strain of different frictionless interfaces for nonlinear hardening material with δ=0.02

圖8 界面無摩擦，不同界面(a)光滑界面(b)粗糙界面，不同材料屬性(ⅰ)線性應(yīng)變硬化(ⅱ)非線性應(yīng)變硬化(ⅲ)理想彈塑性，加載與卸載的力－變形關(guān)系曲線Fig.8 Plots of force vs.displacement for different interfaces of different material models(ⅰ)linear hardening;(ⅱ)nonlinear hardening;(ⅲ)elastic－perfectly plastic

圖8顯示，對彈塑性材料，加載曲線和卸載曲線并不重合，而存在一定的滯回面積。加載過程中，接觸力隨著位移呈非線性增加，界面處的接觸剛度為非線性剛度。對粗糙表面［圖(?。?(b)］，在初始接觸階段，剛度幾乎為0(曲線的斜率幾乎為0);隨著接觸過程的進行，接觸剛度逐漸增大(曲線的斜率逐漸增大);當位移增大到一定數(shù)值后，剛度幾乎保持不變(曲線的斜率為定值)。而對光滑表面(圖(?。?(a))，初始接觸階段的剛度為整個接觸過程中的最大;隨著接觸過程的進行，接觸剛度的變化與粗糙表面一致，也是逐漸增大(曲線的斜率逐漸增大);當位移增大到一定數(shù)值后，剛度幾乎保持不變(曲線的斜率為定值)。卸載過程中，接觸力隨著位移呈線性遞減。

加載過程中，在相同位移載荷下，線性應(yīng)變硬化材料(LH)的接觸力大于非線性應(yīng)變硬化材料(NLH)和理想彈塑性材料(EPP);非線性應(yīng)變硬化材料(NLH)的力－位移曲線形狀與理想彈塑性材料(EPP)幾乎一致，而接觸力大于理想彈塑性材料(EPP);同時，光滑界面的接觸力大于粗糙界面。卸載后，線性應(yīng)變硬化材料會發(fā)生一定的回彈，而非線性應(yīng)變硬化材料和理想彈塑性材料幾乎沒有回彈。加載曲線和卸載曲線形成的封閉區(qū)域的面積即為界面上的能量損失。

3.1.2.2 能量損耗－變形曲線

圖9 無摩擦，不同界面，不同材料屬性能量損耗－變形關(guān)系曲線Fig.9 Plots of energy loss vs.displacement for different interfaces of different material models

圖9為界面無摩擦時，不同材料屬性，不同界面形態(tài)，界面處的能量損耗隨位移的變化曲線。圖8顯示，界面形狀和位移載荷相同，金屬板具有線性應(yīng)變硬化材料屬性(LH)時，界面處的能量損耗最大;金屬板具有理想彈塑性材料屬性(EPP)時，界面處的能量損耗最小;光滑界面的能量損耗大于粗糙界面。

3.2 界面存在摩擦

實際中，界面處總會存在摩擦。本節(jié)研究界面存在摩擦時的金屬板的塑性應(yīng)變，力－變形曲線以及界面能量損耗特性。界面存在摩擦時的有限元計算模型與文2.2節(jié)相同，不同的是界面處增加了摩擦因子μ=0.2。金屬板的材料屬性為非線性應(yīng)變硬化材料(NLH)。

3.2.1 接觸力－變形曲線

圖10為界面存在摩擦，金屬板具有非線性應(yīng)變硬化材料屬性，光滑界面(a)和粗糙界面(b)，最大位移分別為 δ=0.02，0.04，0.06，0.08 和 0.1 時，加載和卸載過程的力－變形關(guān)系曲線。與圖8(ⅱ)界面無摩擦的曲線相比，界面存在摩擦時:力－位移曲線形狀一致，即界面的接觸剛度變化趨勢一致;在相同位移下，接觸力增大，界面處能量損耗增大。

圖10 界面有摩擦，界面具有非線性應(yīng)變硬化材料屬性，加載與卸載的力－變形曲線Fig.10 Plots of force vs.displacement for different interfaces with friction for nonlinear hardening material

3.2.2 能量損耗－變形曲線

圖11顯示了界面摩擦對界面處的能量損耗的影響。從圖中可以看出，界面材料、界面形態(tài)和載荷相同，界面存在摩擦時，界面的能量損耗增大。但與界面無摩擦相比，能量損耗——變形關(guān)系曲線的形狀基本一致，即在相同變形量內(nèi)，能量損耗增量相同。

圖11 有摩擦，不同界面，非線性應(yīng)變硬化材料屬性的能量損耗－變形關(guān)系曲線Fig.11 Plots of energy loss vs.displacement for different friction interfaces of nonlinear hardening material model

3.3 界面能量損耗表達式

為描述界面上的能量損耗與界面屬性的關(guān)系，包括界面形態(tài)、界面材料和界面摩擦，本文定義能量損耗因子U，其表達式為:

其中，U為無量綱界面能量損耗因子，δ為無量綱變形量;系數(shù)A，B，C是與界面屬性相關(guān)的參數(shù)，由界面材料，界面表面形態(tài)和界面摩擦等決定。對本文的界面模型，系數(shù)A，B，C如下表3所示。

4 結(jié)論

本文通過建立“單層絕對光滑金屬板－剛性平面”和“單層粗糙金屬板－剛性平面”的單界面模型，運用有限元方法，對具有不同界面形狀、不同塑性材料特性和界面摩擦的單層模型界面，在不同載荷作用下，加載和卸載過程中的塑性變形、接觸力以及由塑性變形和界面摩擦引起的能量損耗特性進行了研究，并建立了描述界面能量損耗特性的表達式，主要結(jié)論如下:

表3 能量損耗關(guān)系表達式系數(shù)表Tab.3 Coefficients of energy loss expression

(1)本文建立的能量損耗因子表達式可描述界面能量損耗與界面變形和界面屬性的關(guān)系。

(2)對具有不同彈塑性材料特性的不同形態(tài)界面，加載和卸載的接觸力－位移曲線均存在一定的滯回面積。加載過程中，接觸力隨著位移呈非線性增加，界面處的接觸剛度為非線性;卸載后，線性應(yīng)變硬化材料(LH)會發(fā)生一定的回彈，而非線性應(yīng)變硬化材料(NLH)和理想彈塑性材料(EPP)幾乎沒有回彈。

(3)變形相同時，線性應(yīng)變硬化材料(NL)的界面能量損耗因子最大，而理想彈塑性材料(EPP)的界面能量損耗因子最小;位移載荷和界面材料屬性相同時，光滑界面的能量損耗大于粗糙界面。

(4)摩擦增加了界面的接觸力和界面處的能量損耗，但并沒有改變力－變形曲線和能量損耗－變形曲線的形狀，即并沒有改變界面處的接觸剛度和能量損耗隨位移的變化趨勢。

下一步的研究將集中在振動和能量在多層疊加結(jié)構(gòu)的非連續(xù)粗糙多界面上的傳遞機理和損耗特性。

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