魏克湘，孟 光，張文明

(1.湖南工程學(xué)院 機(jī)械系，湖南 湘潭 411101;2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

電流變夾層結(jié)構(gòu)由于能在外加電場的作用下，快速可逆的調(diào)節(jié)自身的阻尼和剛度，在結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制中獲得了廣泛的關(guān)注。自20世紀(jì)80年代Gandhi等［1］最早開始對(duì)電流變自適應(yīng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究以來，已有許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的理論和實(shí)驗(yàn)研究［2－5］。但在以往的研究中，一般都是針對(duì)靜態(tài)梁或板進(jìn)行的，有關(guān)電流變材料應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)柔性梁振動(dòng)控制的研究報(bào)道還較為少見。在先前的研究中［6－8］，我們將電流變夾層結(jié)構(gòu)推廣應(yīng)用到旋轉(zhuǎn)柔性機(jī)械臂的振動(dòng)控制，對(duì)電流變夾層結(jié)構(gòu)梁在定速和周期變速運(yùn)動(dòng)條件下的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)可以通過控制作用于電流變夾層結(jié)構(gòu)梁上的電場強(qiáng)度來調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)柔性梁的振動(dòng)特性，提高結(jié)構(gòu)的動(dòng)力穩(wěn)定性。

對(duì)于柔性機(jī)械臂等旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，除了結(jié)構(gòu)本身的運(yùn)動(dòng)外，其支撐往往也是運(yùn)動(dòng)的。同時(shí)，在對(duì)作大范圍運(yùn)動(dòng)彈性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為研究中，通常也可以將其簡化為一個(gè)受定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與基礎(chǔ)激勵(lì)聯(lián)合作用的系統(tǒng)來近似模擬［9，10］。故研究基礎(chǔ)激勵(lì)作用下定軸轉(zhuǎn)動(dòng)柔性梁的動(dòng)力學(xué)行為具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值，許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究［11－14］，但一般都是針對(duì) Euler梁或Bernoulli梁進(jìn)行的，而對(duì)復(fù)合材料或夾層結(jié)構(gòu)梁的分析還較少涉及。

本文將對(duì)基礎(chǔ)激勵(lì)作用下旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)電流變夾層梁的動(dòng)力學(xué)特性和振動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。首先利用多尺度法建立受基礎(chǔ)激勵(lì)作用的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)電流變夾層梁的一次近似方程，得到系統(tǒng)可能發(fā)生參激共振失穩(wěn)的條件。然后通過對(duì)勻速旋轉(zhuǎn)電流變夾層梁在不同激勵(lì)參數(shù)、控制電場和旋轉(zhuǎn)速度時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)特性的分析，探討受電場控制的電流變夾層梁在基礎(chǔ)激勵(lì)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)聯(lián)合作用下的動(dòng)力學(xué)特性和振動(dòng)穩(wěn)定性。

1 動(dòng)力學(xué)建模

圖1為一受基礎(chǔ)激勵(lì)作用的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)電流變夾層梁結(jié)構(gòu)示意圖，其中坐標(biāo)系XYZ為固定參考系，X1Y1Z1為固結(jié)在中心剛體上的浮動(dòng)基。假設(shè)電流變夾層梁隨中心剛體一起繞O1點(diǎn)作角速度為θ·的定軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，中心剛體受基礎(chǔ)激勵(lì)的作用在固定坐標(biāo)系OXY中作直線(往復(fù))運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律在X方向和Y方向分別為x(t)與y(t)。

圖1 受基礎(chǔ)激勵(lì)作用的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)電流變夾層梁Fig.1 A rotating sandwich beam embedded with ER fluids subjected to base excitation

設(shè)中心剛體在運(yùn)動(dòng)起始位置時(shí)O1點(diǎn)與靜止坐標(biāo)系原點(diǎn)O重合，且假設(shè)梁只在面內(nèi)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，則可得到中心剛體在慣性參考系中的線速度和角速度分別為。將上述關(guān)系式代入文獻(xiàn)［10］中的式(3.15)及式(3.16)～(3.40)中，得到非慣性系下基礎(chǔ)激勵(lì)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)聯(lián)合作用時(shí)電流變夾層梁的動(dòng)力學(xué)控制方程為:

其中:

上列各式中，ρk、Ak、Ek、Ik(k=1，2，3)分別為夾層梁中各層的材料密度、橫截面面積、彈性模量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;G2為電流變材料的儲(chǔ)能模量，η2為電流變材料的損耗因子;L為梁的長度，n為有限元單元個(gè)數(shù)，Li=L/n為單元長度，r為中心剛體的半徑，xi代表梁的固支點(diǎn)到第i個(gè)單元左邊節(jié)點(diǎn)的距離;ζ=x/Li，下標(biāo)(，x)表示對(duì) x 求導(dǎo);N1、N2、N3和N4為對(duì)應(yīng)單元節(jié)點(diǎn)位移的形函數(shù)矩陣，且:

Bi為由梁單元編號(hào)決定的布爾(Boole)指示矩陣:

假設(shè)剛性轉(zhuǎn)軸中心O1沿X方向的直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)=0，沿Y方向的直線運(yùn)動(dòng)位移，其中y0及分別為簡諧激勵(lì)位移的幅值及其角頻率，故基礎(chǔ)激勵(lì)的速度和加速度分別為。若只考慮梁作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則式(1)可以簡化為如下形式:

引入線性變換ξ=Φq，Φ為上式派生系統(tǒng)的正則振型矩陣，利用振型矩陣的正交關(guān)系，對(duì)式(5)中的質(zhì)量和剛度矩陣解耦，得到:

其中:

2 一次近似展開

假設(shè)剛性轉(zhuǎn)軸中心的加速度并不大，將陀螺效應(yīng)矩陣C，即式(6)中的矩陣B1也表示為小量參數(shù)的函數(shù)，則式(6)可表達(dá)為:

采用多尺度法將解展開為:

代入式(8)，對(duì)其進(jìn)行一次近似展開并令ε0及ε1前的系數(shù)為零，得到:

式(10)的解可寫成:

式中cc代表前項(xiàng)的共軛。將其代入式(11)，經(jīng)整理得:

上式中的指數(shù)項(xiàng)不僅包括系統(tǒng)的固有頻率ωp和ωq，還含有梁的轉(zhuǎn)動(dòng)頻率。當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)頻率～ω滿足:

時(shí)，式(13)的右邊將出現(xiàn)永年項(xiàng)，系統(tǒng)可能發(fā)生參激振動(dòng)失穩(wěn)現(xiàn)象［15，16］。

3 參激振動(dòng)響應(yīng)

我們可以對(duì)式(5)采用Runge-Kutta方法直接計(jì)算其在基礎(chǔ)激勵(lì)頻率～ω滿足式(14)中的條件時(shí)的振動(dòng)時(shí)域響應(yīng)特性，來分析各種結(jié)構(gòu)和外加控制參數(shù)對(duì)受基礎(chǔ)激勵(lì)作用的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)電流變夾層梁在發(fā)生參激共振時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性和振動(dòng)穩(wěn)定性的影響規(guī)律。梁的基本參數(shù)設(shè)定為:長度L=300 mm，寬度b=20 mm，表面彈性層的厚度h1=h3=0.5 mm，電流變材料層的厚度h2=2 mm;表面層材料的質(zhì)量密度ρ1=ρ3=2800 kg/m3，彈性模量E1=E3=70×109Pa;電流變液的質(zhì)量密度ρ2=1400 kg/m3，儲(chǔ)能模量 G'=1500 E，損耗因子 η2=0.27E+3.73，其中E為外加電場強(qiáng)度。

首先我們討論受電場作用的轉(zhuǎn)動(dòng)梁在不同基礎(chǔ)激勵(lì)幅值下的參激振動(dòng)響應(yīng)特性。假設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)速度=500 r/min，外加電場強(qiáng)度E=1 kV/mm，(0)=0，q(0)=0，考慮基礎(chǔ)激勵(lì)頻率及時(shí)，對(duì)應(yīng)不同激勵(lì)幅值y0的梁端點(diǎn)的橫向振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程及其相圖如圖2～圖4所示，從圖中我們可以得到以下結(jié)論:

(1)當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)的幅值很小時(shí)，由于在電場作用下，夾層梁中的電流變材料具有粘彈性阻尼材料的特性，系統(tǒng)存在耗散力，梁的振動(dòng)幅值先隨時(shí)間衰減，而后在平衡點(diǎn)附近作微幅周期運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)存在穩(wěn)定的周期解，如圖2(a)所示。

(2)在一定的取值范圍內(nèi)，增大基礎(chǔ)激勵(lì)的幅值，僅僅改變振動(dòng)響應(yīng)幅值的大小，而對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)特性不會(huì)產(chǎn)生影響，如圖2(b)所示。

(3)當(dāng)激勵(lì)幅值增大到某一值后，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)將發(fā)生變化。系統(tǒng)除作高頻微幅周期振動(dòng)外，還存在一個(gè)低頻的周期運(yùn)動(dòng)。但整體振動(dòng)幅值是在有限范圍內(nèi)變化，系統(tǒng)還是穩(wěn)定的，如圖2(c)所示。

(4)繼續(xù)增大激勵(lì)幅值，系統(tǒng)將進(jìn)入不穩(wěn)定狀態(tài)，出現(xiàn)參激共振失穩(wěn)現(xiàn)象。如圖2(d)、圖3(b)和圖4(b)所示，此時(shí)梁的振動(dòng)幅值隨時(shí)間無限增大，系統(tǒng)失穩(wěn)。

圖2 第一階主參激共振時(shí)的響應(yīng)特性:E=1 kV/mm，=500 r/minFig 2 Response of the first principal resonance at E=1 kV/mm and=500 r/min

(5)系統(tǒng)的第二階主參激共振和第一、二階組合參激共振具有與第一階主參激共振情況下基本相同的特性，即隨著激勵(lì)幅值的增大，系統(tǒng)將由作有限幅值的穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)逐步過渡到不穩(wěn)定狀態(tài)。只不過系統(tǒng)發(fā)生參激共振失穩(wěn)的臨界激勵(lì)幅值顯著減小，且在第二階主參激共振時(shí)達(dá)到最低。如圖3(b)和4(b)所示，當(dāng)激勵(lì)頻率和時(shí)，出現(xiàn)不穩(wěn)定解的臨界激勵(lì)幅值分別為y0=0.135與y0=0.16，而在時(shí)，對(duì)應(yīng)的y0=1.0。

圖3 第二階主參激共振時(shí)的響應(yīng)特性:E=1 kV/mm，=500 r/minFig 3 Response of the second principal resonance at E=1 kV/mm and =500 r/min

圖4 前兩階組合參激共振時(shí)的響應(yīng)特性:E=1 kV/mm，=500 r/minFig 4 Response of the first two combination resonance at E=1 kV/mm and=500 r/min

改變外加電場強(qiáng)度的大小(E=2 kV/mm)，得到梁在激勵(lì)頻率時(shí)的計(jì)算結(jié)果如圖5所示。由我們前面的研究［6，7］已知，當(dāng)作用于電流變夾層梁上的外加電場強(qiáng)度增大時(shí)，梁的剛度和阻尼損耗因子將增加，梁的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性增強(qiáng)。故在大的外加電場作用下，受基礎(chǔ)激勵(lì)作用的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)電流變夾層梁也將具有更佳的抗參激共振能力。如當(dāng)基礎(chǔ)激勵(lì)幅值y0=1.0時(shí)，系統(tǒng)在E=1 kV/mm條件下是不穩(wěn)定的(圖2d)，但當(dāng)電場強(qiáng)度增大到E=2 kV/mm時(shí)，系統(tǒng)過渡到了穩(wěn)定狀態(tài)(圖5b)。說明增大電流變夾層結(jié)構(gòu)上的外加電場，能提高系統(tǒng)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定的臨界激勵(lì)幅值，增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。

圖5 第一階主參激共振時(shí)的響應(yīng)特性:E=2 kV/mm，=500 r/minFig 5 Response of the first principal resonance at E=2 kV/mm and=500 r/min

圖6 旋轉(zhuǎn)速度對(duì)第一階主參激共振響應(yīng)的影響:y0=1.5，E=1 kV/mmFig.6 Effect of rotating speed on response of the first principal resonance at y0=1.5 and E=1 kV/mm

圖6為旋轉(zhuǎn)速度對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)特性的影響，其中外加電場強(qiáng)度E=1 kV/mm，基礎(chǔ)激勵(lì)幅值y0=1.1，激勵(lì)頻率=ω1+。圖6(a)、圖6(b)分別為旋轉(zhuǎn)速度=0和=200 r/min時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程曲線和對(duì)應(yīng)的相圖。由圖可見，在旋轉(zhuǎn)速度=0時(shí)，系統(tǒng)是作有限周期運(yùn)動(dòng)的;而在=200 r/min時(shí)，振幅隨時(shí)間無限增大，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。故轉(zhuǎn)動(dòng)速度的提高會(huì)加大系統(tǒng)的振動(dòng)幅度，降低系統(tǒng)的參激振動(dòng)穩(wěn)定性。

4 結(jié)論

本文對(duì)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)電流變夾層梁在基礎(chǔ)激勵(lì)作用下的動(dòng)力學(xué)特性和參激振動(dòng)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。采用一次近似展開方法分析了受基礎(chǔ)激勵(lì)作用的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)電流變夾層梁可能發(fā)生參激振動(dòng)失穩(wěn)的條件。通過對(duì)電場作用下勻轉(zhuǎn)速電流變夾層梁在不同激勵(lì)參數(shù)、控制電場和旋轉(zhuǎn)速度時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間歷程曲線和對(duì)應(yīng)相圖的數(shù)值分析，探討了電場作用下電流變夾層梁受基礎(chǔ)激勵(lì)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)聯(lián)合作用時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)特性和穩(wěn)定性。分析結(jié)果表明，在一定的條件下，可以通過控制作用于電流變夾層梁的電場強(qiáng)度來改變系統(tǒng)出現(xiàn)運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定的臨界激勵(lì)幅值，提高結(jié)構(gòu)的動(dòng)力穩(wěn)定性。

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