李初曄 王衛(wèi)朝 馬 巖

北京航空制造工程研究所,北京,100024

0 引言

完整的結構優(yōu)化設計過程包括尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化幾個不同階段和層次。尺寸優(yōu)化是在保證零件拓撲結構不變的前提下優(yōu)化截面面積、筋板厚度等參數(shù);形狀優(yōu)化是在保證設計域內(nèi)的拓撲結構關系保持不變條件下,尋求最理想的邊界和幾何形狀;拓撲優(yōu)化可以在給定的設計空間中確定最優(yōu)的材料分布,設計最優(yōu)的零件幾何、框架、加強筋布局,減少非關鍵區(qū)域的材料分布。連續(xù)體結構的拓撲優(yōu)化包括結構邊界形狀的優(yōu)化,通過去除材料,可在結構內(nèi)部形成孔洞,拓撲優(yōu)化比形狀優(yōu)化具有更大的自由度和開放性,而且不局限于參數(shù)形式,因此拓撲優(yōu)化是高層次的優(yōu)化,難度也最大,被公認為是結構優(yōu)化領域最具挑戰(zhàn)性的研究課題之一[1-2]。

從尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化到拓撲優(yōu)化的這一過程提供了新產(chǎn)品在設計中的優(yōu)化策略：①首先根據(jù)產(chǎn)品的工作范圍確定設計空間,選擇能完全覆蓋零件設計區(qū)間的簡單初始形狀進行無參數(shù)化的拓撲優(yōu)化,根據(jù)各截面的優(yōu)化結果組合產(chǎn)生最佳的輪廓形狀和孔洞分布模型;②根據(jù)拓撲優(yōu)化結果修改零件初始結構,并進行參數(shù)化定義,產(chǎn)生拓撲優(yōu)化結構;③在設計目標約束下采用尺寸優(yōu)化對拓撲優(yōu)化結構的設計參數(shù)進行調整;④根據(jù)尺寸優(yōu)化結果對拓撲優(yōu)化結構進行修改,產(chǎn)生最終優(yōu)化結構零件。

本文采用一種基于參數(shù)靈敏度的振蕩優(yōu)化方法,通過令所研究結構的質量上下波動,在變形極小化目標控制下使結構參數(shù)不斷發(fā)生變化,最終得到質量不變、性能更優(yōu)的新結構,通過與有限元分析軟件結合,這一過程很容易通過程序實現(xiàn),而且能夠快速收斂。

1 變量定義及有限元模型參數(shù)化

圖1所示為高速銑床的橫梁結構,外觀的七面體結構是通過拓撲形狀優(yōu)化產(chǎn)生的,在結構細化階段,通過參數(shù)優(yōu)化確定最佳尺寸組合,使在滑板銑頭組合重力和切削力作用下變形最小,并具有較高的初階固有頻率。

在方案設計階段,橫梁的外觀尺寸L、W、H是根據(jù)加工零件特點初步確定的參數(shù),H 1、W1在拓撲優(yōu)化階段可以初步確定其與 H、W的比例,H1、W1可以作為確定量,也可作為優(yōu)化變量來定義?？刂平Y構的變量分為形狀變量和厚度變量,通稱為結構參數(shù)。

圖1 橫梁外觀和尺寸變量

形狀 變量為 H1、W1、KX 、n,厚度 變量為C1～C7。

要對結構進行性能優(yōu)化,將有限元模型參數(shù)化是首要前提,因為只有帶參數(shù)的結構模型才能通過參數(shù)提取,分析參數(shù)變化對目標的影響,最終達到參數(shù)優(yōu)化的目的。

2 變量對結構性能的靈敏度分析

結構參數(shù)變化對質量、變形、應力和頻率等性能參數(shù)皆有影響,但不同部位的形狀和尺寸參數(shù)對結構性能的影響程度不同[3],通過單變量改變結構參數(shù)的大小,總結歸納對結構整體性能的重要程度,為書寫方便將參數(shù)用x1～x11表示。

橫梁最大變形U為結構參數(shù)的函數(shù),U=u(x 1,x2,…,x 11),任意一組變量增量d x1,d x2,…,d x11引起的最大變形改變量d U可以表達為

其中,?u/?xi為對變量xi求偏導數(shù),稱為變量 xi對函數(shù)U的靈敏度,記為ξi。如果要分析某一變量(如xk對函數(shù)U的影響),應將其余的變量固定,因此上式中除了d xk外,其他變量的增量均為0,式(1)變?yōu)?/p>

得到xk的靈敏度

對于復雜的結構,不可能寫出變形與變量之間的函數(shù)關系式,因此式(2)只有理論意義。有限元分析為我們提供了求解靈敏度的工具,比如要求解變量xk對結構變形的靈敏度,先計算出變量為xk時的變形量u1,再計算出xk增加一個單位(d xk=1)時的變形量u2,則

u1、u2可以通過兩次有限元計算得到,靈敏度為“正”表明函數(shù)隨該變量的增大而增大,靈敏度為“負”表明函數(shù)隨該變量的增大而減小。

表1的數(shù)據(jù)反映了變量對優(yōu)化目標的影響程度,通過靈敏度分析,得到以下四點結論：

(1)變量對變形的影響程度從大到小依次是：x8(-),x11(-),x4(-),x10(-),x7(-),x3(-),x9(-),x6(-),x5(-),x1(-),x2(+)。各變量后面的“-”號表示增大該變量變形減小,“+”號表示增大該變量變形增加。

(2)變量對結構應力的影響程度從大到小依次是：x11(+),x4(-),x8(-),x5(+),x7(-),x9(-),x10(+),x6(+),x2(+),x 1(+),x3(-)。各變量后面的“-”號表示增大該變量應力減小,“+”號表示增大該變量應力增加。

表1 各變量靈敏度綜合一覽表

(3)變量對結構質量的影響程度從大到小依次是：x11(+),x10(+),x5(+),x4(+),x7(+),x8(+),x6(+),x9(+),x3(+),x2(+),x 1(+)。各變量后面的“+”號表示增大該變量質量增加。

(4)變量對結構頻率的影響程度從大到小依次是：x11(+),x10(+),x3(+),x8(-),x 7(-),x4(-),x9(+),x6(+),x5(+),x1(+),x2(+)。各變量后面的“-”號表示增大該變量頻率減小,“+”號表示增大該變量頻率增加。

圖2 變量對優(yōu)化目標的影響綜合

結構優(yōu)化的目的是：減小變形(提高靜剛度),增大固有頻率(提高動剛度),減小結構質量[4-5],如果某變量的改變同時能實現(xiàn)上面三個目標,那么此變量在優(yōu)化過程中為優(yōu)先調整的變量,但從圖2所示的變量對優(yōu)化目標的影響綜合來看,一個變量最多能使兩個目標情況變好,但同時會使另一個目標變壞 ,比如增大 x1、x3、x5 、x6、x 9、x10、x11會達到減小變形、提高頻率的目的,但會使質量增加;減小 x4、x 7、x8會達到提高頻率、降低質量的目的,但會使變形增加,結構優(yōu)化過程就要使各目標合理地達到平衡。從控制變形提高結構靜剛度方面考慮,應采取的措施是：減小 x2,增加x8、x11 、x4、x 10、x7、x3、x9 、x6、x5、x1,變量的增減幅度與該變量對變形的靈敏度有關,靈敏度大的改變幅度大些,假設采用線性增減規(guī)律：

通過變換式(1)可得

得到

因此,若已知變形控制量d U,通過上式可得到變量的允許改變量,對結構頻率和質量的控制采用同樣的方法進行分析。圖3反映了結構變形、質量和頻率變化時各變量的變化趨勢。

圖3 變量的變化趨勢分析

3 單位質量的靈敏度分析

僅分析變量對目標的靈敏度似乎不能準確定義參數(shù)對目標函數(shù)的影響程度,因為某個變量對變形的靈敏度可能較大,但如果對質量的靈敏度同樣很大,則該變量對控制變形不一定是關鍵變量,因為它本質上是通過增加結構質量來達到控制變形的目的的?；谶@方面的考慮,定義變量xi的形質靈敏度Γi為變形靈敏度(ξi)和質量靈敏度(ζi)的比值

同理,定義變量xi的頻質靈敏度Ψi為頻率靈敏度λi和質量靈敏度ζi的比值：

變量xi的形質靈敏度的意義是：xi代表的部分結構單位質量的改變對變形產(chǎn)生的影響,因此形質靈敏度反映了單位質量的材料增減對變形的影響程度,比變形靈敏度指標更能揭示變量對變形的影響。為減小結構變形,假設變量按形質靈敏度的大小采用線性增減規(guī)律：

經(jīng)變換式(1)可改寫為

得到

因此基于形質靈敏度又定義了一組變量增量d x1,d x2,…,d x11,表2的分析數(shù)據(jù)表明,同樣使結構變形減小25%,采用形質靈敏度定義的變量增量使結構質量由2.803t增加到3.184t,增加了13.6%,采用變形靈敏度定義的變量增量使結構質量增加到3.371t,增加了20.2%,因此形質靈敏度用于結構性能優(yōu)化更有效率?；谛钨|靈敏度和變形靈敏度,當變形減小25%時各變量的變化趨勢分析圖如圖4所示,變量x11為橫梁中間加強筋個數(shù),為離散變量,計算時四舍五入取整數(shù)。

表2 采用兩種靈敏度指標控制變形綜合一覽表

4 基于變量靈敏度的結構優(yōu)化

圖4 兩種靈敏度指標下變量的變化趨勢

結構優(yōu)化大多以控制變形為主,過程表現(xiàn)為在不增加結構質量的前提下,使變形極小化[6-7]。變量的形質靈敏度在減小質量和減小變形方面具有更高效率,對于一組初始變量x1,x2,…,xn,變形和質量的函數(shù)為

結構變量的形質靈敏度、變形靈敏度和質量靈敏度分別為 Γi、ξi、ζi,質量增量為

第一步先使質量增加d m,為限制變形的增加,變量按形質靈敏度的大小采用線性增減規(guī)律：

式(6)可改寫為

得到

將這一步得到的增量組記為daxi：

變形增量

第二步使質量減小d m,恢復到原始水平,為限制變形的增加,變量按形質靈敏度的大小采用線性反比增減規(guī)律：

式(6)可改寫為

得到變量增量

變形增量：

經(jīng)過兩步變換,結構質量保持不變,結構參數(shù)變?yōu)?/p>

結構變形為

表3 7次振蕩循環(huán)變量和目標信息綜合一覽表

圖5 7次振蕩循環(huán)下變量的變化趨勢分析

5 基于參數(shù)靈敏度優(yōu)化程序的一些驗證模型

5.1 驗證模型1

對于二元函數(shù)

變量的初始值x1=15,x2=-3。

在函數(shù)T保持不變的前提下,計算函數(shù)U的極值。

初始變量下函數(shù) T的初值為

函數(shù)U的初值為

設定的函數(shù)T振蕩百分比為1%,經(jīng)過93次循環(huán)優(yōu)化計算,得到當x1=-0.68,x2=4.84時函數(shù)U取得極小值,此時T=9,U=99.69。

5.2 驗證模型2

設定變量的初始值：x1=8,x2=13,x3=22。

在S保持不變的前提下計算函數(shù)V

圖6 驗證模型2圖例

由于結構參數(shù)隨質量變化采用不同的增減規(guī)律,所以daxi+dbxi不等于0,經(jīng)過參數(shù)變換產(chǎn)生新的結構,與原始結構相比,結構質量未變但變形已經(jīng)減小。

下一個循環(huán)是將得到的新結構作為初始結構,計算產(chǎn)生新的形質靈敏度Γi、變形靈敏度ξi和質量靈敏度ζi指標,進行同樣的兩步操作,當兩次循環(huán)得到的變形差小于預先設定的收斂精度時計算終止。這一優(yōu)化方法通過令質量上下波動,在變形極小化目標控制下使結構參數(shù)不斷發(fā)生變化,最終產(chǎn)生質量不變、性能更優(yōu)的新結構,因此可稱為振蕩循環(huán)優(yōu)化。表3中的數(shù)據(jù)經(jīng)過7次振蕩循環(huán),橫梁結構質量未發(fā)生變化,但最大變形從0.032 07mm減小到0.021 58mm,優(yōu)化效果非常明顯,圖5所示為各變量在優(yōu)化過程中的變化趨勢曲線,從圖5中看出,變量 x1、x3、x5變化最劇烈。的極值。函數(shù)S的初值S0=1132。函數(shù)V的初值V0=2288。

設定函數(shù)S振蕩百分比為2%,經(jīng)過25次循環(huán)優(yōu)化計算得到,當 x1=13.62、x2=13.65、x3=13.90時,函數(shù)V取得極大值,此時S=1130,V=2584。

將面積和體積函數(shù)反過來,即在體積不變條件下求表面積的極值時,循環(huán)振蕩的次數(shù)處于不確定狀態(tài),可見在體積一定的條件下表面積的極值會趨向無窮大。

5.3 驗證模型3

如圖7所示,從O點等角度發(fā)出n條線段,連接端點a1,a2,…,an構成封閉圖形,第i個三角形的信息如下：

頂點角

圖7 驗證模型3圖例

底邊長

面積

整個封閉圖形面積

整個封閉圖形邊長

因此,我們構造了兩個函數(shù)S、P?，F(xiàn)在來計算：在保證封閉圖形長度P不變的前提下,尋求面積函數(shù)S的極值條件。

假設n=10,則圖形的控制變量為r1、r2、…、r10共10個,設定變量的初始值為：r 1=8,r2=8,r3=9,r4=11,r5=10,r6=9,r7=9,r8=10,r9=11,r10=9。

函數(shù)P的初值為

函數(shù)S的初值為

設定的函數(shù)P振蕩百分比為0.1%,經(jīng)過67次循環(huán)優(yōu)化計算,當 r1=9.17、r2=9.18、r 3=9.34 、r4=9.58 、r5=9.82 、r 6=9.96 、r 7=9.94 、r8=9.78、r9=9.53、r10=9.30時函數(shù)S 取得極大值,此時 P=59.11,S=268.85。

對于外凸多邊形,在邊長總和給定的條件下,當ri相等時面積存在極大值：

因此,r i=9.567,面積的極大值為S=269。優(yōu)化解與理論解的誤差為0.06%。

6 結束語

優(yōu)化技術的廣泛采用讓設計具有了更大的創(chuàng)造性,對提高產(chǎn)品性能、創(chuàng)新設計思路、降低產(chǎn)品的價格有巨大作用,并且使CAE應用達到一個新的高度。振蕩循環(huán)優(yōu)化方法易于編程實現(xiàn),可以應用于各種參數(shù)化有限元分析領域,筆者最早將其應用于多連桿機構的優(yōu)化設計中,相信該方法是對其他優(yōu)化方法的一個有益拓展和補充?；趨?shù)靈敏度的快速優(yōu)化算法,經(jīng)一些數(shù)學模型和實際工程應用檢驗,分析結果是可信的,因此本課題從理論上是可行的。

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