丁學(xué)用 王玲玲

(海南大學(xué)三亞學(xué)院理工分院，海南 三亞 572022)

1. 引 言

布喇格反射器被廣泛應(yīng)用于自由電子激光、回旋自諧振脈塞和半導(dǎo)體激光器中[1]。布喇格反射器由于其在集成電路、光波以及微波器件中的廣泛應(yīng)用，受到科技工程界的關(guān)注[1-13]。布喇格結(jié)構(gòu)的周期性邊界條件的選頻特性所形成的禁帶或者通帶，可以用來(lái)制作反射器、濾波器、模式轉(zhuǎn)換器等器件。例如，作為反射器，它是布喇格諧振腔的重要組成部分，被廣泛應(yīng)用在回旋自諧振脈塞(Cyclotron Auto-resonance Maser,CARM)和工作在毫米、亞毫米波范圍內(nèi)的自由電子激光(Free Electron Laser,FEL)[2-4]。通常，布喇格反射器是由一段在圓柱波導(dǎo)的金屬壁上開(kāi)周期性正弦或矩形波紋槽構(gòu)成。近年來(lái)，由于同軸布喇格結(jié)構(gòu)比傳統(tǒng)的圓柱布喇格結(jié)構(gòu)具有優(yōu)越性，所以，越來(lái)越受到人們的重視[5-14]。對(duì)一種新型加坡度方式的同軸布喇格反射器進(jìn)行理論與電磁仿真軟件CST[15]數(shù)值模擬的比較研究，文中給出了理論編程和數(shù)值模擬比較結(jié)果，兩者吻合較好，并對(duì)新型坡度同軸布喇格反射器的頻率響應(yīng)特性進(jìn)行了理論研究。

2.理論模型

同軸布喇格反射器的結(jié)構(gòu)[10]如圖1所示，在縱向上呈周期性變化，其結(jié)構(gòu)外半徑Rout和內(nèi)半徑Rin可分別表示成關(guān)于縱向z變化的函數(shù)關(guān)系，且

Rout(z)=a0-loutcos(koutz+φout)

(1)

Rin(z)=b0-lincos(kinz+φin)

(2)

式中：kout=2π/pout；kin=2π/pin；a0、lout、φout、pout分別代表外導(dǎo)體壁的平均半徑、開(kāi)槽波紋深度、初始相位和波紋周期；b0、lin、φin、pin分別代表內(nèi)導(dǎo)體壁的平均半徑、開(kāi)槽波紋深度、初始相位和波紋周期。

圖1 同軸布喇格反射器的一般結(jié)構(gòu)剖面圖

對(duì)同軸布喇格結(jié)構(gòu)的外導(dǎo)體內(nèi)壁和內(nèi)導(dǎo)體外壁加坡度有兩種形式[16]：第1種形式是外壁加正坡度角、內(nèi)壁加負(fù)坡度角，其剖面結(jié)構(gòu)圖和三維模型結(jié)構(gòu)

(a)正圓錐形坡度

(b)倒圓錐形坡度圖2 坡度開(kāi)槽同軸布喇格反射器剖面圖

(a)正圓錐形坡度

(b)倒圓錐形坡度圖3 坡度開(kāi)槽同軸布喇格反射器三維模型圖

圖如圖2(a)、3(a)所示，稱(chēng)為正圓錐形坡度；第2種形式是外壁加負(fù)坡度角、內(nèi)壁加正坡度角，其剖面結(jié)構(gòu)圖和三維模型結(jié)構(gòu)圖如圖2(b)、3(b)所示，稱(chēng)為倒圓錐形坡度。內(nèi)外壁傾斜的坡度角分別用θout和θin表示。本文中所加坡度方式與文獻(xiàn)[16]不同，在文獻(xiàn)[16]中，是將外導(dǎo)體內(nèi)壁和內(nèi)導(dǎo)體外壁分別繞一固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，在旋轉(zhuǎn)點(diǎn)處極易形成奇點(diǎn)，會(huì)對(duì)布喇格反射器的性能有一定影響[17]，而且加坡度后公式推導(dǎo)繁瑣。在本文加坡度后的布喇格反射器中，其結(jié)構(gòu)外半徑Rout和內(nèi)半徑Rin可分別表示成關(guān)于縱向z變化的函數(shù)關(guān)系，且

Rout(z)=a0+tan(θout)z-

loutcos(koutz+φout)

(3)

Rin(z)=b0+tan(θin)z-

lincos(kinz+φin)

(4)

這為理論推導(dǎo)及軟件編程提供了公式依據(jù)，且本文中加坡度前后布喇格反射器的結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度L沒(méi)發(fā)生變化。

假設(shè)同軸布喇格反射器中存在N種模式，根據(jù)同軸布喇格反射器多模耦合理論[18]，其中第i模式(i=1，2，…，N)的沿z正方向傳播的波(簡(jiǎn)稱(chēng)正傳波)和沿z負(fù)方向傳播的波(簡(jiǎn)稱(chēng)反傳波)，由下述耦合方程決定。

(5)

(6)

3.理論仿真模擬比較研究

根據(jù)同軸布喇格反射器多模耦合理論[18]，利用一個(gè)中心頻率為15 GHz，工作模式為T(mén)E11的同軸布喇格反射器[19]，具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

文中采用的研究方法是利用Fortran軟件編程與CST軟件平臺(tái)進(jìn)行理論模擬與非線性數(shù)值模擬。利用CST軟件平臺(tái)時(shí)，經(jīng)過(guò)程序調(diào)試后，將軟件的Lower mesh limit(結(jié)構(gòu)線度上最低網(wǎng)格點(diǎn)數(shù))設(shè)為10，Mesh line ratio limit設(shè)為12，總網(wǎng)格數(shù)達(dá)到3346560；為了減小總網(wǎng)格數(shù)，縮短仿真時(shí)間，在結(jié)構(gòu)的XY平面設(shè)置了對(duì)稱(chēng)面(即磁對(duì)稱(chēng)面)，并假設(shè)結(jié)構(gòu)材料為理想導(dǎo)體[16]。

圖4給出了多模耦合理論Fortran軟件編程結(jié)果和CST軟件模擬結(jié)果的對(duì)比。在圖中布喇格反射器的內(nèi)導(dǎo)體外壁與外導(dǎo)體內(nèi)壁的波紋初始相位差分別為0，π/2和π。從圖中可以看出，無(wú)坡度的同軸布喇格反射器，多模耦合理論Fortran軟件編程與CST軟件模擬得到的結(jié)果吻合。且當(dāng)相位差為π時(shí)，同軸布喇格反射器獲得最佳頻率響應(yīng)，最大反射系數(shù)接近1。在接下來(lái)的研究中，只考慮同軸布喇格反射器的內(nèi)導(dǎo)體外壁與外導(dǎo)體內(nèi)壁的波紋初始相位差為π的情況。

表1 15GHz 同軸布喇格反射器具體參數(shù)

(a)

(b)

(c)圖4 坡度角θout=0，θin=0時(shí)，多模耦合理論(Fortran軟件編程)與CST軟件結(jié)果的比較，初始相位為(a)φout=0，φin=0，(b)φout=0，φin=π/2和(c)φout=0，φin=π，pout=pin。其余參數(shù)示表1

圖5中布喇格反射器的內(nèi)導(dǎo)體外壁與外導(dǎo)體內(nèi)壁波紋初始相位差為π且內(nèi)外導(dǎo)體壁分別加有坡度。從圖中可以看出，不管是正圓錐形坡度還是倒圓錐形坡度的同軸布喇格反射器，多模耦合理論Fortran軟件編程和CST軟件模擬得到的結(jié)果也同樣吻合，兩者存在些許偏差的原因可能是由于CST軟件的一些參數(shù)(最小網(wǎng)格步長(zhǎng)、最小網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)、網(wǎng)格數(shù)等)的設(shè)置對(duì)仿真性能的影響。

(a)

(b)圖5 (a)正圓錐形下坡度角θout=0.5°，θin=-0.5° 和(b)倒圓錐形下坡度角θout=-0.1°，θin=0.1°時(shí)多模耦合理論(Fortran軟件編程)與CST軟件結(jié)果的比較，初始相位為φout=0，φin=π，pout=pin。其余參數(shù)示表1

在研究的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)CST軟件仿真耗費(fèi)的資源遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于Fortran軟件理論編程計(jì)算，并且不易處理高次模式間的耦合問(wèn)題。理論編程計(jì)算整個(gè)過(guò)程耗時(shí)大約20分鐘，內(nèi)存占用較少，而CST軟件仿真用了四個(gè)多小時(shí)，內(nèi)存占用達(dá)到將近1 G，特別是高頻率、高階模式耦合時(shí)，CST需要增加很多網(wǎng)格，而多模耦合理論編寫(xiě)的程序可以容易的解決這個(gè)問(wèn)題。

4.坡度對(duì)頻率響應(yīng)的影響

采用表1中典型參數(shù)，對(duì)具有新型坡度的同軸布喇格結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)特性，進(jìn)行Frotran軟件編程模擬研究。

圖6和圖7是正圓錐形坡度和倒圓錐形坡度情況下所加不同坡度角時(shí)，反射系數(shù)和傳輸系數(shù)隨頻率的變化。從圖中可看出：當(dāng)對(duì)布喇格結(jié)構(gòu)加正圓錐坡度時(shí)，其帶寬隨著所加坡度角的增大而變窄；當(dāng)加倒圓錐形坡度時(shí)，其帶寬隨著所加坡度角的增大而變寬，而且加倒圓錐形坡度時(shí)，同軸布喇格反射器的頻率響應(yīng)受坡度角變化的影響較大。因此，如果需要獲得較窄的帶寬(例如用于布喇格反射器)，可采取正圓錐坡度形式；如果需要獲得較大的帶寬(例如用于布喇格濾波器)，則可采取倒圓錐形坡度形式。

(a)

(b)圖6 同軸布喇格結(jié)構(gòu)中TE11模的反射系數(shù)隨頻率的變化關(guān)系(Frotran軟件編程)，其中：(a)正圓錐形坡度下坡度角α=0°，0.3°，0.6°；(b)倒圓錐形坡度下坡度角α=0°，0.1°，0.2°，pout=pin，其余參數(shù)示表1

(a)

(b)圖7 同軸布喇格結(jié)構(gòu)中TE11模的傳輸系數(shù)隨頻率的變化關(guān)系，其中：(a)正圓錐形坡度下坡度角α=0°，0.3°，0.5°；(b)倒圓錐形坡度下坡度角α=0°，0.1°，0.15°，pout=pin，其余參數(shù)示表1

(a) 正圓錐形坡度

(b )倒圓錐形坡度圖8 加坡度后能量衰減比較，參數(shù)示圖6

圖8是正圓錐形坡度和倒圓錐形坡度情況下所加不同坡度角時(shí)，場(chǎng)能量隨時(shí)間的變化。從圖中可看出，相比無(wú)坡度情況，加正圓錐形坡度后，能量衰減較快，并且隨著坡度角的增大，能量衰減的速度也越快；加倒圓錐形坡度后，能量的衰減不是很明顯，此時(shí)能量衰減受坡度角影響也較小。

5.殘余旁瓣抑制

同樣可以采用加窗技術(shù)來(lái)抑制加新型坡度的同軸布喇格反射器的殘余旁瓣(residual side-lobes)現(xiàn)象[16]。設(shè)：

Rout(z)=a0+tan(θout)z-

loutW(z)cos(koutz+φout)

(7)

Rin(z)=b0+tan(θin)z-

linW(z)cos(kinz+φin)

(8)

式中,W(z)為窗函數(shù)。當(dāng)W(z)=1，對(duì)應(yīng)沒(méi)有加載窗函數(shù)的情況，式(7)和(8)回復(fù)到式(3)和(4)。常用的漢寧(Hanning)窗、漢明(Hamming)窗、高斯(Gauss)窗以及布拉克曼(Blackman)窗的效果，彼此差別不大[16]，本文僅討論加載漢明(Hamming)窗函數(shù)

W(z)=0.54-0.46cos(2πz/L)

(9)

圖9給出了新型坡度下具有正圓錐坡度反射器中坡度角α=0.3°時(shí)，不加窗和加載了漢明(Hamming)窗的對(duì)比。從圖9可看出，加載漢明(Hamming)窗后頻率響應(yīng)曲線的殘余旁瓣得到有效抑制。

圖9 正圓錐坡度角α=0.3°時(shí)加載漢明窗函數(shù)對(duì)反射系數(shù)的頻率響應(yīng)曲線殘余旁瓣的抑制作用(Fortran軟件編程)，此處所用其余參數(shù)與圖6相同

加窗技術(shù)不僅可以提高布喇格反射器的性能，也可以減少仿真時(shí)間。因?yàn)橛脮r(shí)域求解器求解時(shí)，傅立葉變換計(jì)算S參數(shù)要求時(shí)間信號(hào)完全衰減到零，否則就會(huì)引入截?cái)嗾`差。而布喇格反射器是高諧振器件，時(shí)間信號(hào)中可能會(huì)出現(xiàn)諧振，這使得信號(hào)的衰減非常緩慢，需要很長(zhǎng)的仿真時(shí)間進(jìn)行精確的傅立葉變換，而采用了加窗技術(shù)，在仿真時(shí)，瞬態(tài)場(chǎng)衰減到一定程度就會(huì)被傅立葉變換正確的截?cái)喽划a(chǎn)生很大的誤差，又可以平滑通帶。從圖10可以看到，加窗后能量的衰減非?？?，這樣仿真所需要的時(shí)間也大大的減小。

圖11是圖6所示的正圓錐坡度(a)和倒圓錐坡度(b)結(jié)構(gòu)在不同坡度角情況下，加載漢明(Hamming)窗后的效果。結(jié)果進(jìn)一步表明：在新型加坡度方式下的同軸布喇格反射器，無(wú)論是正圓錐還是倒圓錐坡度，窗函數(shù)技術(shù)都能有效抑制頻率響應(yīng)曲線的殘余旁瓣現(xiàn)象。

圖10 加窗后能量衰減比較

(a)

(b)圖11 對(duì)應(yīng)圖6(a)和(b)中參數(shù)，加載漢明(Hamming)窗函數(shù)后改善了的反射系數(shù)頻率響應(yīng)曲線

6.結(jié) 論

根據(jù)同軸布喇格反射器多模耦合理論，應(yīng)用Fortran軟件理論編程和電磁模擬軟件CST對(duì)工作頻率為15 GHz的同軸布喇格反射器進(jìn)行了比較研究，發(fā)現(xiàn)多模耦合理論Fortran軟件編程計(jì)算結(jié)果與CST軟件模擬結(jié)果基本一致；與3維電磁軟件相比，多模耦合理論編程容易，計(jì)算速度快，資源耗費(fèi)少。并通過(guò)所進(jìn)行的Fortran軟件編程模擬結(jié)果，新型加坡度方式的坡度同軸布喇格反射器具有如下兩個(gè)結(jié)論：

1) 具有正圓錐形坡度的同軸布喇格結(jié)構(gòu)的帶寬隨著所加坡度角的增大而變窄；具有倒圓錐形坡度的同軸布喇格結(jié)構(gòu)的帶寬隨著所加坡度角的增大而變寬。

2) 具有坡度的同軸布喇格反射器的頻率響應(yīng)殘余旁瓣現(xiàn)象，也可以通過(guò)采用窗函數(shù)技術(shù)得到有效抑制。而且加窗技術(shù)可以減少軟件模擬時(shí)間。

而且，新型加坡度方式的提出為以后研究坡度對(duì)高頻高階耦合模式下的同軸布喇格結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)影響的理論推導(dǎo)提供了必要的理論依據(jù)。

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