趙 黎，張 燕，石介沛，祝 捷

（1.西安工業(yè)大學 電子信息工程學院，陜西 西安 710032；2.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院 電氣工程系，陜西 咸陽 712000；3.蘭州軍區(qū) 68026部隊，甘肅 蘭州 730000）

OFDM系統(tǒng)相對于單載波系統(tǒng)而言，具有頻譜利用率高、抗干擾能力強的優(yōu)點，但是由于OFDM系統(tǒng)采用多個頻譜互相混疊的正交子載波進行調(diào)制，因此其對同步誤差比單載波系統(tǒng)更加敏感，即OFDM的高頻譜利用率和傳輸可靠性均是以子載波間的正交性為基礎(chǔ)的，當接收端與發(fā)送端存在頻偏時，子載波間的正交性就會遭到破壞，導致嚴重的子載波間干擾，從而對系統(tǒng)造成非常嚴重的影響［1］。

為了能夠有效地消除符號間干擾，幾乎所有OFDM符號都會引入循環(huán)前綴［2］。由OFDM符號的結(jié)構(gòu)可以看出，插入循環(huán)前綴后，每對間隔為N的樣值之間都存在相關(guān)性，因此可以利用該相關(guān)特性進行載波頻率偏差的估計。因此本文利用循環(huán)前綴對有用數(shù)據(jù)重復(fù)的幀結(jié)構(gòu)，按照最大似然準則來完成載波頻率偏差的估計。

1 載波頻偏對OFDM系統(tǒng)的影響

在OFDM系統(tǒng)中，收發(fā)端均有各自的本地晶振，由于發(fā)射機和接收機晶體振蕩器的不同步造成子載波頻率發(fā)生偏移，OFDM各子載波之間的正交性受到破壞，引起嚴重的載波間干擾，使解調(diào)性能急劇惡化［3-4］。圖1給出了載波頻偏對OFDM系統(tǒng)影響的示意圖，當接收端和發(fā)射端采樣頻率一致，即不存在載波頻偏時，如圖1(a)所示，各個子載波間就不會存在干擾；如果存在載波頻偏，信號的采樣點就會出現(xiàn)偏離，采樣的幅度下降，子載波之間就會存在相互干擾。假設(shè)發(fā)射端調(diào)制載波與接收端解調(diào)載波之間的絕對頻偏為，f 為發(fā)射端調(diào)制載波的頻率，為接收端解調(diào)載波的頻率，T為一個OFDM符號的持續(xù)時間。通常載波頻偏表示為時域上接收信號的相位旋轉(zhuǎn)，所以當存在頻率偏移ε=時，接收到的時域信號為：

圖1 載波頻偏對OFDM系統(tǒng)影響的示意圖Fig1 Influences caused by frequency offset

其中 w（n）表示噪聲，ε1為整數(shù)頻偏，ε2為小數(shù)頻偏。

上式中第一項為有用信號，Ik為頻偏ε引起的載波間干擾ICI：

由式（3）可以發(fā)現(xiàn)，當系統(tǒng)僅存在整數(shù)倍頻偏時，Ik=0，Rk=Sk-ε1Hk-ε1+Wk，即整數(shù)倍頻偏只會引起接收信號在頻域內(nèi)發(fā)生偏移，并不會破壞子載波之間的正交性，頻率采樣點偏移了ε1個子載波位置，使映射到OFDM頻譜內(nèi)的數(shù)據(jù)符號循環(huán)移位。當系統(tǒng)存在小數(shù)頻偏時，有用信號的幅度衰減了相位偏移了 πε2（1-1/N），同時子載波的正交性遭到了破壞，引起了ICI，使信噪比降低。

由以上分析可以看出，載波頻率偏差的影響主要有兩種［5］：1）使系統(tǒng)信噪比下降，衰減了有用信號；2）帶來了嚴重的載波間干擾。

2 基于最大似然的頻偏估計

基于循環(huán)前綴的ML（Maximum Likelihood ML）估計算法，即最大似然估計算法，是Van de Beek等提出的一種用于OFDM系統(tǒng)的同步算法，它是利用循環(huán)前綴對有用數(shù)據(jù)重復(fù)的幀結(jié)構(gòu)，按照最大似然準則來完成載波頻率偏差估計的方法[6]。

對于含有N個子載波，循環(huán)前綴長度為L的OFDM系統(tǒng)中，每個OFDM符號的實際長度為N+L個樣值。經(jīng)過信道傳輸后，接收到存在定時偏差和頻率偏差的時域信號可表示為：

其中d是符號定時同步點，即OFDM符號的起始位置。Δfc表示相對頻偏，η（n）為均值為零的高斯白噪聲。如圖2所示為包含2N+L個樣值的符號r（n），該符號中包含一個完整的N+L個樣值的OFDM符號，圖中集合I中的元素與集合I′相同。

圖2 帶有循環(huán)前綴的OFDM符號結(jié)構(gòu)圖Fig.2 OFDM symbol with cyclic prefix

設(shè) f（r|d，Δfc）為給定符號起始時間 d和頻率偏差 Δfc條件下，2N+L個抽樣點的聯(lián)合條件概率密度函數(shù)，則對數(shù)似然函數(shù) Λ（d，Δfc）被定義為概率密度函數(shù) f（r|d，Δfc）的對數(shù)，即：

最大似然估計是要估計出使對數(shù)似然函數(shù)Λ（d，Δfc）取得最大值時d和Δfc的取值，由于乘積項是對所有2N+L個樣值點求乘積，因此與符號起始時間d無關(guān)；假設(shè)信源為獨立等概分布，則r（n）的實部和虛部相互獨立，所以值與頻率偏差Δfc也無關(guān)。因此省去項并不會影響對d和 f（r（n））的估計。 所以，上式可簡化為：

根據(jù)圖2定義的OFDM符號結(jié)構(gòu)，上式可簡化為：

其中ρ表示r（n）和r（n+N）之間的相關(guān)系數(shù)的幅度，由SNR 確定。 c1和 c2都是常數(shù)，并且 c1，c2＞0，因此其取值不會對最大似然判決產(chǎn)生影響，式(7)可簡化為：

定義：

∠γ（d）表示復(fù)數(shù) γ（d）的輻角。 γ（m）表示連續(xù) L 個相距為N的樣值對之間的相關(guān)值之和，式(8)的第一項為γ（m）的加權(quán)模值，其中權(quán)值由頻率偏差來決定，第二項是獨立于頻率偏差的能量項，取決于相關(guān)系數(shù)ρ。

最大似然算法要同時估計符號定時同步位置和載波頻率偏差，因此對數(shù)似然函數(shù)的最大化過程應(yīng)該分兩步來實現(xiàn)，即

當符號起始時間d已知的情況下，要實現(xiàn)（8）的最大化，必須使其中的 cos項為 1，即 2π△fc+∠γ（d）=2nπ，n 為整數(shù)，對其進行計算可以得到頻率偏差△fc的最大似然估計值為：

通常，載波頻率偏差應(yīng)該在一個較小的范圍內(nèi)，故取n=0，所以，

第二步，估計定時偏差，令式（8）中的cos項為1，則定時偏差d的最大似然函數(shù)為：

在利用最大似然算法進行符號定時和載波頻率聯(lián)合估計時，首先將接收信號的2N+L個抽樣點存儲在緩存器里，分別按（9）、（10）式計算 γ（m）和 φ（m），然后按（15）、（16）式作估計。

3 仿真分析

為了驗證ML算法對載波頻偏估計的性能，本文采用Monte Carlo方法對其進行了仿真驗證，仿真參數(shù)為：子載波數(shù)N=1 024，保護間隔長度L=24，載波頻率偏差△f=0.25，SNR=15 dB。圖3（a）為根據(jù)式（15）確定的符號定時同步位置的示意圖，可以看出當最大似然函數(shù)值達到最大的時候恰好是一個符號的起始位置，圖3（b）為在此位置上，根據(jù)式（16）得到的載波頻率偏差的最大似然估計值，由圖中可以看出，在符號起始位置處所估計出的載波頻偏恰好等于0.25，即基于ML的估計算法可以很好地對系統(tǒng)載波頻偏進行估計。

圖3 最大似然估計聯(lián)合確定符號定時與載波頻率偏差的示意圖Fig.3 Diagram of determining timing and frequency offset using ML algorithm

4 結(jié)束語

由于OFDM各子信道帶寬較小，其對載波頻偏的敏感程度非常高，因此需要非常精確的載波同步。本文首先分析了載波頻偏對OFDM系統(tǒng)的影響，然后根據(jù)OFDM符號的特殊結(jié)構(gòu)，采用最大似然估計算法對OFDM系統(tǒng)頻率偏差進行了有效的估計，最后通過Monte Carlo方法對其進行了仿真驗證，結(jié)果表明最大似然算法可以有效的估計出載波頻率偏差的大小。

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