白宗文，張威虎，周美麗

（延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，陜西 延安 716000）

數(shù)字圖像修復(fù)是指用一定的算法來對指定區(qū)域缺損數(shù)據(jù)進(jìn)行填充的過程，包括受損圖像恢復(fù)，剔除或者取代圖像中指定部分，達(dá)到圖像復(fù)原或者接近原圖像的視覺效果。本文提出的修復(fù)模型首先需要對圖象進(jìn)行分解，將其分解成紋理部分和結(jié)構(gòu)部分，結(jié)構(gòu)部分采用文獻(xiàn)[1]提出的CDD模型進(jìn)行修復(fù)，紋理部分以分形維度作為相似度度量函數(shù)進(jìn)行修復(fù)，達(dá)到了很好的修復(fù)效果。

1 圖像分解

文獻(xiàn)[2]給出了一種圖像分解方法。圖像分解有兩個關(guān)鍵要素，第一是針對圖像噪聲和恢復(fù)的整體變分最小化，第二是描述紋理或者噪聲的空間振蕩函數(shù)。

設(shè) I：R2→IR 是一幅給定的目標(biāo)圖像，I∈L2（R2）。 I是包含圖像u或者是一幅紋理圖像，則u是圖像I簡單近似圖像。

引入另外一個函數(shù)v，u和I的關(guān)系由簡單線性模型表示成：

I（x，y）=u（x，y）+v（x，y）

從圖像I重構(gòu)u的問題其實是按照如下關(guān)系，對一個空間有界變分函數(shù)BV（R2）最小化

其中λ＞0是一個調(diào)節(jié)參數(shù)，能量的第二項是保真項，而第一項是調(diào)節(jié)項，用來去除噪聲或者一些細(xì)節(jié)，而保持重要特征或者尖銳邊緣。

文獻(xiàn)[3]證明了當(dāng)λ較小時，模型將消除圖像中的紋理。為了能夠從圖像I中提取出u∈BV和v作為振蕩函數(shù)，Meyer提出使用不同的空間函數(shù)，在某種程度上說是雙BV空間。他引入了以下定義。

定義1：設(shè)G表示構(gòu)成所有通用函數(shù) v（x，y）屬于 Banach空間，其可以寫成

文獻(xiàn)[3]Meyer指出：如果v分量表示紋理或者噪聲，則v∈G，并給出了如下圖像恢復(fù)模型inf{E（u）=

這種模型可以用于結(jié)構(gòu)和紋理分解。下面是一種最小化方法：

其中λ，u＞0是可調(diào)參數(shù)，并且p→∞，第一項確保u∈BV（R2），第二項保證滿足 I≈u+div（g1， g2），第三項是 G 的范式v=div（g1， g2）。 當(dāng) p→∞，λ→∞，則就是 Meyer提出的模型。

令0＜p＜10，實驗結(jié)果表明效果非常接近。然而p=1時，計算速度快，所以這里令p=1，則可以給出歐拉-拉格朗日方程形式為：

根據(jù)以上模型，可以從一幅給定的紋理圖像I中分離出分量 v 和分量 u。 這里 u 是圖像的近似骨架（結(jié)構(gòu)），v=div（g1，g2）表示圖像的紋理或者噪聲。

2 圖像結(jié)構(gòu)部分修復(fù)

按照以上算法將圖像分解成了結(jié)構(gòu)部分和紋理部分，根據(jù)各部分圖像的不同特征，對于結(jié)構(gòu)部分采用CDD（Curvature-Drive Diffusions），這是一種典型基于PDE的修復(fù)模型[1]，是對TV模型的一種改進(jìn)，主要是為了克服TV模型中的視覺不連續(xù)問題，由于這種模型傳導(dǎo)系數(shù)系數(shù)依賴于曲率，因此我們稱之為曲率驅(qū)動擴(kuò)散。在文獻(xiàn) [1]給出的TV模型當(dāng)中，擴(kuò)散強(qiáng)度僅依賴等照度的對比度和強(qiáng)度，這反映在傳導(dǎo)系數(shù)的表達(dá)式

因此，傳輸強(qiáng)度并不依賴于等照度線強(qiáng)度的幾何信息。對于平面曲線，其幾何特性通過曲率尺度反映。

這樣，當(dāng)?shù)日斩染€具有更大曲率的時候得到的擴(kuò)散更強(qiáng)，當(dāng)?shù)日斩染€伸出的時候擴(kuò)散自然消失。當(dāng)選擇 g（∞）=∞則擴(kuò)散過于強(qiáng)烈，選擇 g（0）=0 則擴(kuò)散過弱，如果 g（0）≠a≠0。則CDD模型退化成TV模型修復(fù)的二階方程。這樣又可能出現(xiàn)不連通。因此，需要通過實驗來確定該值的選擇。

于是，令

像素點X處的曲率k是由該點的等照度線的曲率可以由下式給定

u=u0，X∈λ，其他

這里修復(fù)域D從數(shù)學(xué)上理解為開集，并不包含其邊界，u0為圖像的已知部分。當(dāng)求解時域匹配方程時，則初始條件可以是任何合理猜測，也就是任意 u（X，0）只要滿足 u（X，0）=u0（X），x∈Ω∈即可。

因此，CDD等照度修復(fù)模型又可以表示成

因為其和梯度相反所以是穩(wěn)定的，可以將圖像函數(shù)u看作某種特定粒子的強(qiáng)度函數(shù)。原始圖像的已知部分可看作通過邊界條件約束的恒定場源。

大多數(shù)情況下，原始圖像的已知部分u0是含有噪聲的，因為噪聲將會通過邊界進(jìn)入修復(fù)區(qū)域，所以CDD修復(fù)方案對噪聲很敏感。為了保證CDD修復(fù)效果，需要對圖像做降噪處理。而本文采用經(jīng)分解后，結(jié)構(gòu)部分相當(dāng)于已經(jīng)進(jìn)行了降噪處理。曲率驅(qū)動擴(kuò)散的流動場為：

3 紋理部分修復(fù)

對于紋理圖像經(jīng)常采用紋理合成的方法進(jìn)行修復(fù)，但目前沒有很好的相似性度量函數(shù)，大部分采用的是顏色平方差的和（sum of squared difference，簡稱 SSD），該度量函數(shù)不符合人的視覺特性。紋理是物體表面不規(guī)則程度的一種度量，而圖像的分形維數(shù)正好反映這種變化，它與人類視覺系統(tǒng)對圖像紋理粗度的感知是一致的，因此本文提出一種以分形維度作為相似性度量函數(shù)的方法，用來實現(xiàn)紋理部分修復(fù)。

修復(fù)順序是本算法的關(guān)鍵，文獻(xiàn)[5]基于等照度線和樣本的方法，對邊界點進(jìn)行優(yōu)先級計算。給定一個點p∈?Ω，定義p的優(yōu)先級 P（p）=c（p）D（p）， 并有

本文在紋理匹配時根據(jù)圖像修復(fù)得到分形維度（FD）。對于Ψp中的每一個未知像素，以圖像修復(fù)的結(jié)果作為它的已知值，并與Ψq（Pq∈Ψq，q∈I-Ω，Ψq中的每一個點為已知）中的點進(jìn)行比較， FD（Ψp，Ψq）=FP-Fq（?p∈φp，?p∈φq）。 尋找與Ψp間最小的FD，Ψq對Ψp進(jìn)行紋理填充。

4 數(shù)值分析

對于（2）式求解，設(shè)迭代的初始條件為：u0=f，g01=

令 ui，j=u（ih，jh）， fi，j=f（ih，jh），g1，i，j=g1（ih，jh），g2，i，j=g2（ih，jh），其中 h＞0，表示步長，（ih，jh），表示離散點。 對于 0≤i，j≤M，為了能夠簡單的表示， 引入記號 H由以上符號定義，可以將離散的方程表示如下：

經(jīng)推導(dǎo)最終可得

通過（13）式可以計算出分量u和v，參數(shù)選擇如下，通常h=1，迭代次數(shù) n=100，p=1。

對（7）式的求解采用中心差分法，以下迭代算法如下：

其中 Δt為時間步長，（n）表示在 nΔt的采樣，接下來進(jìn)行時域離散化。

隨著時間步長的增長，圖像函數(shù)u能夠穩(wěn)定的收斂于最終的結(jié)果。通常用來解決大尺度圖像。因此有必要研究如何提高速度。

本文采用了的一項簡單的技術(shù)就是在使用CDD時間匹配的開始就用一個好的初始值u（u，0）。首先運行TV模型，其輸出結(jié)果作為好的初始猜測饋入到CDD修復(fù)過程中。由于TV修復(fù)模型是二階的，時間匹配步驟可以比三階的CDD更大，輸出收斂更快。對于TV修復(fù)模型，除了時間匹配方法，Chan和Shen通過線性化和放寬技術(shù)也直接解出其穩(wěn)態(tài)方程解。

分形維度計算采用文獻(xiàn)[6]給出的公式：

5 結(jié) 論

本節(jié)給出采用本文提出的先分解成結(jié)構(gòu)和紋理，然后分別采用BSCB修復(fù)模型和以形維度的相似度數(shù)的紋理部分修復(fù)，圖1中（a）為原始圖像，圖像分解時參數(shù)選擇為：h=1，迭代次數(shù) n=100，p=1，（b）和（c）分別表示受損圖像的結(jié)構(gòu)部分和分，實驗表明這種方法實現(xiàn)分解效果明顯，所得（c）的紋理圖像紋理性非常明顯，接近標(biāo)準(zhǔn)性紋理。采用BSCB算法修復(fù)結(jié)構(gòu)部分迭代次數(shù) n=100，結(jié)果如（d）所示。（e）是以分形維度作為相似度度量函數(shù)的修復(fù)結(jié)果，圖（f）表示f=u+v，即合成結(jié)果。

圖1 圖像修復(fù)Fig.1 Image restoration

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