張?jiān)铝x，宋明順，韓之俊

（1.中國計(jì)量學(xué)院 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，杭州 310018；2.南京理工大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，南京 210094）

0 引言

20世紀(jì)60年代末期，Taguchi博士將質(zhì)量損失函數(shù)和他提出的信噪比（SN比）應(yīng)用到測(cè)量領(lǐng)域，逐漸形成一門新的學(xué)科《測(cè)量質(zhì)量工程學(xué)》[1]。測(cè)量質(zhì)量工程學(xué)在評(píng)價(jià)測(cè)量系統(tǒng)的優(yōu)劣、開發(fā)質(zhì)高價(jià)廉的測(cè)量系統(tǒng)、選擇和配備適宜的測(cè)量設(shè)備等方面有著廣泛的應(yīng)用。目前，在日本計(jì)量領(lǐng)域，以田口為代表的測(cè)量質(zhì)量工程學(xué)的思想和技術(shù)方法占據(jù)著主導(dǎo)地位。在日本計(jì)量管理協(xié)會(huì)，由于通商產(chǎn)業(yè)省的大力支持和宣傳，極力鼓勵(lì)和指導(dǎo)工程技術(shù)人員在實(shí)踐中加以應(yīng)用，現(xiàn)已取得了良好的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)效益。傳統(tǒng)評(píng)價(jià)測(cè)量質(zhì)量?jī)?yōu)劣的方法是用測(cè)量不確定度評(píng)定的方法進(jìn)行的[2][3]，在測(cè)量質(zhì)量工程學(xué)領(lǐng)域則用測(cè)量特性信噪比和測(cè)量誤差損失函數(shù)來表征測(cè)量質(zhì)量的優(yōu)劣。但在現(xiàn)有關(guān)于測(cè)量誤差損失函數(shù)的文獻(xiàn)中[4][5]，都是針對(duì)被測(cè)量為靜態(tài)即被測(cè)量固定不變的情況，對(duì)于動(dòng)態(tài)測(cè)量情況下的測(cè)量誤差損失函數(shù)沒有研究。本文在研究田口靜態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，研究了動(dòng)態(tài)測(cè)量的測(cè)量誤差損失函數(shù)。在實(shí)際的測(cè)量系統(tǒng)評(píng)價(jià)過程中，可能是測(cè)量幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)進(jìn)行的；還可能是在工作現(xiàn)場(chǎng)，工作人員隨機(jī)抽取幾個(gè)實(shí)物進(jìn)行測(cè)量質(zhì)量評(píng)價(jià)。本文將分為上述兩種情況進(jìn)行研究，并給出針對(duì)實(shí)際問題的應(yīng)用實(shí)例。

1 靜態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)

在測(cè)量質(zhì)量工程學(xué)中，使用測(cè)量誤差二次損失函數(shù)來表征測(cè)量質(zhì)量。設(shè)測(cè)量特性的真值為m，其測(cè)量結(jié)果為y，當(dāng)y≠m，則造成質(zhì)量損失，且|y-m|越大，E［L（y）］越大。 設(shè) L（y）在y=m處存在二階導(dǎo)數(shù)，按泰勒級(jí)數(shù)展開公式有：

不失一般性，若 y=m 時(shí)，L（y）=L（m）=0；又因?yàn)?L（y）在y=m時(shí)達(dá)到極小，故L′（m）=0；再略去二階以上的高階項(xiàng)，因此有：

該函數(shù)稱為測(cè)量誤差損失函數(shù)。對(duì)該函數(shù)兩邊求數(shù)學(xué)期望，則有：

稱 E［L（y）］為測(cè)量質(zhì)量水平。

當(dāng)進(jìn)行重復(fù)測(cè)量時(shí)，設(shè)被測(cè)量的真值仍然為m，測(cè)量觀測(cè)值分別為 y1，y2，…，yn，稱：

2 動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)設(shè)計(jì)

當(dāng)被測(cè)量為動(dòng)態(tài)特性時(shí)，其目標(biāo)值（即被測(cè)量真值）隨著被測(cè)量的變化而變化。設(shè)測(cè)量結(jié)果的測(cè)量特性值為y與被測(cè)量 M 之間存在線性關(guān)系，則有 y～N（α+βM，σ2），即：

其中，M 為被測(cè)量，ε～n（0，σ2）。

當(dāng)被測(cè)量變化時(shí)，測(cè)量結(jié)果的動(dòng)態(tài)特性值y會(huì)取一系列隨機(jī)值。對(duì)于動(dòng)態(tài)的測(cè)量特性，與靜態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)不同的是，目標(biāo)值m不是固定值，而是一個(gè)隨被測(cè)量變化而變化的目標(biāo)函數(shù)，即有：

與靜態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)相似，我們定義動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)為：

這里的損失系數(shù)K可以用相同的方法確定，當(dāng)知道測(cè)量特性值與目標(biāo)值偏離△時(shí)的損失為A元時(shí)，損失系數(shù)K=A/Δ2。但式（7）中的α，β，是未知常數(shù)，即使再給出一個(gè)被測(cè)量M得到一個(gè)測(cè)量特性值y也無法計(jì)算L（Y）。

對(duì)式（7）求數(shù)學(xué)期望，并將式（5）代入得：

簡(jiǎn)記為：

由此可見，確定動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差平均損失的關(guān)鍵是求出測(cè)量誤差方差的估計(jì)值σ^2。

2.1 測(cè)量幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)時(shí)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)

在實(shí)際衡量測(cè)量誤差大小時(shí)，有時(shí)是用一些標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)測(cè)量若干次來評(píng)價(jià)測(cè)量質(zhì)量特性。

設(shè)有 k 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì) M1，M2，…，Mk，稱 M 為被測(cè)量（信號(hào)因子），M1，M2，…，Mk為 M 的 k 個(gè)水平，對(duì)每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)，進(jìn)行r0次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如表1所示。

表1 測(cè)量結(jié)果數(shù)據(jù)表

在表1中，Ti為標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)為Mi時(shí)重復(fù)測(cè)量ro次所得測(cè)量特性值之和，T表示所有kr0次測(cè)量的測(cè)量特性值之和。根據(jù)最小二乘法原理，測(cè)量誤差損失函數(shù)的確定步驟為：

（1）求 α，β 的估計(jì)值

（2）進(jìn)行波動(dòng)平方和分解

總波動(dòng)平方和ST為：

其自由度為：

信號(hào)M引起的波動(dòng)平方和Sβ為：

相應(yīng)自由度為：

測(cè)量誤差引起的波動(dòng)平方和Se為：

2.1 測(cè)量幾個(gè)實(shí)物時(shí)動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)

在工作現(xiàn)場(chǎng)有時(shí)是測(cè)量幾個(gè)實(shí)物來評(píng)價(jià)測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量質(zhì)量的。設(shè)在工作現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)抽取k個(gè)實(shí)物，其未知的真值分別用M1，M2，…，Mk表示，對(duì)每個(gè)實(shí)物進(jìn)行r0次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量，測(cè)量結(jié)果表與表1基本致，只是測(cè)量實(shí)物時(shí)信號(hào)因子M未知。此時(shí)，Ti為實(shí)物Mi時(shí)重復(fù)測(cè)量r0次所得測(cè)量特性值之和，T表示所有kr0次測(cè)量的測(cè)量結(jié)果之和。

與測(cè)量幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)相比，除了真值未知外，按照最小二乘法原理，只有信號(hào)M引起的波動(dòng)平方和計(jì)算公式不同，其他計(jì)算過程基本一致。測(cè)量幾個(gè)實(shí)物時(shí)，實(shí)物M引起的波動(dòng)平方和計(jì)算公式為：

（4）求動(dòng)態(tài)測(cè)量的測(cè)量誤差損失函數(shù)

對(duì)于動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差損失的數(shù)學(xué)期望可以由式（8）得：

將式（17）代入式（18）得動(dòng)態(tài)測(cè)量的測(cè)量誤差損失函數(shù)的估計(jì)式為：

相應(yīng)自由度為：

（3）求測(cè)量誤差方差的估計(jì)值

此時(shí)，測(cè)量誤差引起的波動(dòng)平方和Se為：

相應(yīng)自由度為：fe=k（r0-1）

則測(cè)量誤差方差的估計(jì)值為：

于是未知信號(hào)因子時(shí)測(cè)量誤差損失函數(shù)的估計(jì)式為：

3 例證

三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x是一種常用測(cè)量工具，主要用于測(cè)量復(fù)雜形狀表面輪廓尺寸。為研究某三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x的測(cè)量性能，工程師選擇了五種標(biāo)準(zhǔn)零件：M1=10mm，M2=15mm，M3=20mm，M4=25mm，M5=30mm。每種標(biāo)準(zhǔn)零件測(cè)量3次，測(cè)量結(jié)果如表2所示。

表2 三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)量數(shù)據(jù)表

設(shè)該三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x的最大允許誤差 （即容差△）為0.020mm，測(cè)量誤差超出最大允許誤差時(shí)的損失為20元，試確定該三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x的測(cè)量誤差損失函數(shù)。

解：（1）計(jì)算 α，β 的估計(jì)值

于是：

（2）進(jìn)行波動(dòng)平方和分解

總波動(dòng)平方和ST為：

其自由度為：

f總=kr0-1=5×3-1=14

信號(hào)M引起的波動(dòng)平方和Sβ為：

相應(yīng)自由度為：

fβ=1

測(cè)量誤差引起的波動(dòng)平方和Se為：

相應(yīng)自由度為：

fe=kr0-2=5×3-2=13

（3）求測(cè)量誤差方差的估計(jì)值

（4）求動(dòng)態(tài)測(cè)量的測(cè)量誤差損失函數(shù)

由于Δ=0.02mm，A=20元，則損失函數(shù)的系數(shù)為K=

由（19）式計(jì)算測(cè)量誤差損失的估計(jì)值為：

計(jì)算結(jié)果表明，上述15次測(cè)量的平均測(cè)量誤差損失為1.028元。

現(xiàn)在假定被測(cè)量是工作現(xiàn)場(chǎng)隨機(jī)抽取的實(shí)物進(jìn)行測(cè)量，其余條件和測(cè)量結(jié)果完全一致。測(cè)量誤差損失函數(shù)的計(jì)算步驟中被測(cè)量M引起的波動(dòng)平方和為：

自由度：fM=4

測(cè)量誤差引起的波動(dòng)平方和為：

Se=ST-SM=749.8302769-749.8300303=0.0002466

相應(yīng)自由度為：

則測(cè)量誤差方差的估計(jì)值為：

損失系數(shù)的確定方法與測(cè)量幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)一致，K=50000。

于是測(cè)量幾個(gè)實(shí)物時(shí)測(cè)量誤差損失的估計(jì)值為：

計(jì)算結(jié)果表明，如果我們用實(shí)物去測(cè)量，造成的損失要比用已知信號(hào)因子測(cè)量時(shí)大些。

4 結(jié)束語

傳統(tǒng)測(cè)量系統(tǒng)分析經(jīng)常用隨機(jī)測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差或測(cè)量結(jié)果不確定度來表征測(cè)量質(zhì)量的優(yōu)劣。在田口創(chuàng)建的測(cè)量質(zhì)量工程學(xué)理論中，用測(cè)量誤差損失函數(shù)和測(cè)量特性的SN比加以描述。但現(xiàn)有的測(cè)量誤差損失函數(shù)只是針對(duì)被測(cè)量是固定值的情況。實(shí)踐中被測(cè)量往往是動(dòng)態(tài)變化的。本章在研究靜態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)，詳細(xì)介紹了確定動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差損失函數(shù)的步驟，包括測(cè)量幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)和測(cè)量實(shí)物時(shí)測(cè)量誤差損失函數(shù)的確定方法，并通過具體實(shí)際問題進(jìn)行了應(yīng)用舉例。

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