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        異方差混合轉(zhuǎn)移分布模型的譜分析

        2011-05-18 08:06:02朱文剛楊芝艷
        統(tǒng)計與決策 2011年14期
        關(guān)鍵詞:模型

        朱文剛,楊芝艷

        (南京工程學(xué)院 基礎(chǔ)部,南京 211167)

        0 引言

        平穩(wěn)過程{yt,t=0,±1,…}的譜表示本質(zhì)上是將{yt}分解為互不相關(guān)隨機(jī)系數(shù)正弦分量之和。與平穩(wěn)過程{yt}的譜分解相應(yīng)的是其自協(xié)方差函數(shù)也可以分解為正弦分量之和。確定性函數(shù)的Fourier表示是與平穩(wěn)過程譜分解類似而又為讀者更為熟悉的內(nèi)容。時間序列的“頻域”分析就是以這兩類譜表示為工具對平穩(wěn)序列進(jìn)行分析?;谧詤f(xié)方差函數(shù)時間序列的“時域”分析為研究時間序列提供了另一種方法,但頻域分析方法往往對某些實際應(yīng)用更具有啟發(fā)性,所以我們有必要研究時間序列的頻域。近年來,相關(guān)工作被國內(nèi)外眾多的學(xué)者廣泛的研究[1~6],本文將討論的異方差混合轉(zhuǎn)移分布模型譜分析由于其序列之間的顯式表達(dá)式在一般情況下是非線性的,故其譜密度通過定義難以獲得,所以筆者擬采取基于Herglotz定理的思想求譜密度。

        1 模型引入

        Berchtold(2003)引入的K個成分的異方差混合轉(zhuǎn)移分布模型定義如下:

        記作 F(yt|h-1)~HMTD(k;p1,…qk)。 這里 F(yt|ht-1)是給定歷史ht-1的條件下jh,yt的條件分布函數(shù),ht是至?xí)r刻 t時的所有信息。Φ(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù),αk表示第k個成份的權(quán)重,滿足

        2 主要公式的推導(dǎo)及定理的證明

        引理1[11]設(shè)k階線性差分方程

        其中 α1, …,αk是實數(shù),αk≠0,T 是端點(diǎn)為整數(shù)的子區(qū)間。 上述方程簡記為:A(β)ht=0。 其中 A(β)=1+α1β+…+αkβk,β為推移算子。 (2)的通解為:

        其中 CIn由初始條件 h0,h1,…,hk-1決定,ξl-t,l=1,2,…,j是 A(z)=1+α1z+…+αkzk的相異零點(diǎn),rl是 ξl的重數(shù)。

        其中:μkt=φk0+φk1yt-1+…φkpkyt-pk

        證明:作變換 x=(yt-ukt)/σkt,我們有

        證畢。

        假定序列是平穩(wěn)的,且不妨設(shè) E(yt)=0,則 φk0=0。 又由于Andre Berchtold等人所做的是參數(shù)估計,而這里做的是譜分析,不存在過度擬合的問題,所以我們可以對階進(jìn)行統(tǒng)一處理。 令 p=max(p1,p2,…,pk),q=max(q1,q2,…,pk)所以模型(1)便轉(zhuǎn)化為模型:

        對某些不足p階的成分令其后面一些回歸系數(shù)為零即可。

        定理1在模型(1*)下,其自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為:

        其中:γ-h=γh

        證明:令 h>0,則

        證畢。

        引理3[11](Horglotz)定義在整數(shù)集上的復(fù)值函數(shù)是非負(fù)定函數(shù)的充分必要條件是對任何h=0,±1,…,有(λ),其中 F(.)是(π,-π)上的右連續(xù)非降有界函數(shù),F(xiàn) (-π)=0.稱函數(shù) F 為 γ(.)的譜分布函數(shù),進(jìn)而如果dv,則稱 f為 γ(.)的譜密度。

        引理4[11]定義在整數(shù)集上的復(fù)值函數(shù) γ(.)是一平穩(wěn)過程{yt,t=0,±1,…}的自協(xié)方差函數(shù)的充分必要條件是對任何h=0,±1,…,有其中F是右連續(xù)、非降、[-π,π]上的有界函數(shù),F(-π)=0。

        引理5[11]定義在整數(shù)集上的絕對可和的復(fù)值函數(shù)γ(.)是一平穩(wěn)過程 {yt,t=0,±1,…}的自協(xié)方差函數(shù)的充分必要條件是:對任何 λ∈[π,-π],有f(λ)其中 f是 γ(.)的譜密度。

        若我們能從上述定理中的遞推公式中解出,并對它輔以絕對可和,即的約束,則我們可以由引理5得到

        一般來說,這種表達(dá)式不能通過一步獲得,從而我們提出“三步算法”,在講三步算法之前,我們首先對(5)、(6)式按次序重新整理。 由(5)、(6)式得到:

        三步算法:

        第一步:在(7)式中分別令 h=1,2,…p-1 得到 p-1個方程,這些方程聯(lián)立(8)可得p個方程組成的線性方程組,從這個線性方程組中可求得初始條件:γ0,γ1,…γp-1。

        第二步:差分方程(7)式所對應(yīng)的特征方程為:

        可以求得其 p 個根 ξ1,ξ2…ξp,重根按重數(shù)計算.結(jié)合初始條件由引理1可得

        第三步:代入公式

        h=0

        下面我們針對幾種特殊的情形來導(dǎo)出譜密度的具體表達(dá)式。

        情形 1:若 k=1,p=q=1。

        第一步:遞推公式為

        第二步:差分方程(9)所對應(yīng)的特征方程為1-φ11z=0,其根為 ξ=1/φ11(單根)。

        所以 γh=C10ξ-h其中 C10由初始條件決定.令 h=0 得 γ0=,所以

        第三步:計算的表達(dá)式

        情形 2:若 k=K,p=q=1。

        同上,可計算出

        其中:A=α1φ11+α2φ21+…+αkφk1,

        一般來說,平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)只滿足引理(4)的結(jié)論,為了使它也滿足引理(5)的結(jié)論,即要求(11)式也成立的話,還必須要求γh絕對可和,即要求即要求 2即要求

        這兩式顯然成立,因為它們恰好對應(yīng)模型一階、二階平穩(wěn)條件,

        從上可以看出:(1)在這種特定的情況下,模型若是寬平穩(wěn)(即:一階、二階平穩(wěn)的,則自協(xié)方差函數(shù)必定是絕對可和的,則譜密度函數(shù)必然存在;(2)混合模型中的某些成分可以是單位根過程(非平穩(wěn)的),但它們的混合可以是平穩(wěn)的;(3)當(dāng)k=1時,將回到第(1)種情形;(4)金融時間序列中,有許多模型服從單位根過程,當(dāng)然混合了單位根過程的混合模型也必然有其實際背景[8]。

        代入(13)式得

        則(14)式變?yōu)椋?/p>

        若 A2+4B=0,則 ξ1=ξ2(重根)。

        所以此時可設(shè)通解為:γh=C10ξ1-h+C11ξ1-h=(C10+C11h)ξ1-h。 由初始條件 γ0,γ1知:C10=γ0,C11=γ1ξ1-γ0。所以:γh=[γ0+h(γ1ξ1-γ0)]ξ1-,從而

        3 結(jié)論

        本文已討論了一類新的時間序列(HMTD)模型的譜分析問題,這類模型是MAR(mixture autoregressive)模型[2]的推廣,而MAR模型又是AR(autoregressive)模型的推廣,考慮實際問題的復(fù)雜性,對它的譜分析不僅有理論上的價值,而且有實際上的需要。

        [1]Le,N.D.,R.D.Martin,A.E.Raftery.Modeling Flat Stretches[J].Bursts,and Outliers in Time Series Using Mixture Transition Distri Bution Models,1996,(91),

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