羅紅艷

(蘇州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇蘇州215104)

0 引言

小波變換理論與方法因其獨(dú)特的時(空)—頻多尺度分析技術(shù)，近年來在圖像處理領(lǐng)域已得到廣泛的應(yīng)用。然而，由一維小波拓展為二維小波雖然能有效表示含“點(diǎn)奇異”的二維函數(shù)，但對于含“線奇異”的信號，雖然在逼近性能上要優(yōu)于三角基，卻也不能達(dá)到理想的最優(yōu)逼近階。

為了有效克服小波變換在圖像去噪［1］方面的不足，人們將目光轉(zhuǎn)向了新型奇異性分析工具。脊波(Ridgelet)變換、曲波(Curvelet)變換和輪廓(Contourlet)變換正是為解決二維或更高維奇異性而出現(xiàn)的新型分析工具。遺憾的是Randon變換的存在決定了脊波和曲波的計算復(fù)雜度和冗余度都很高，大大限制了其在圖像去噪領(lǐng)域的應(yīng)用。輪廓變換［2］是M.N.Do和Martin Vetterli提出的一種“真”二維圖像表示方法，它不但具有小波分析的多尺度、時頻局部化和臨界采樣特性，而且還具有多方向性和各向異性，能有效地捕獲到自然圖像中的輪廓，并對其進(jìn)行稀疏表示，從而提供了一種快速的、結(jié)構(gòu)化的分解采樣信號方法，很好地克服了小波變換的缺陷，是近年來圖像增強(qiáng)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。

然而，輪廓變換是在離散域內(nèi)進(jìn)行的，采樣操作使其喪失了平移不變性，從而導(dǎo)致圖像去噪時奇異點(diǎn)周圍存在偽吉布斯(Gibbs)現(xiàn)象。以非下采樣金字塔分解及非下采樣方向?yàn)V波器組為基礎(chǔ)，Cunha等人改進(jìn)了Contourlet變換，提出了非下采樣 Contourlet變換(Nonsubsampled Contourle Transform，NSCT變換)［3］。與輪廓變換相比，NSCT不僅具有完全平移不變性、而且具有良好的頻率選擇性和正則性，非常適合圖像去噪與恢復(fù)。

本文以非下采樣輪廓變換為基礎(chǔ)，提出了一種新的圖像去噪方法，首先對含噪圖像進(jìn)行非下采樣輪廓變換，然后采用自適應(yīng)閾值對變換系數(shù)進(jìn)行處理，最后重構(gòu)回原圖像。

1 非下采樣NSCT變換

輪廓變換是通過塔形方向?yàn)V波器組(PDFB)把圖像分解成各個尺度上的帶通方向子帶，主要由兩個步驟實(shí)現(xiàn):子帶分解和方向變換。首先，用Laplacian(LP)金字塔分解對圖像進(jìn)行多尺度分解，以“捕獲”奇異點(diǎn)，然后由方向?yàn)V波器組(DFB)將分布在同方向上的奇異點(diǎn)合成為一個系數(shù)。非下采樣Contourlet變換(NSCT，nonsubsampled contourlet transform)是 Contourlet變換去掉了下采樣部分，構(gòu)造相應(yīng)的分級和各種方向?yàn)V波器得到的。圖1為NSCT總體結(jié)構(gòu)圖，由非下采樣金字塔濾波器組將圖像分解為低頻部分和高頻部分，然后由非下采樣方向?yàn)V波器組將高頻部分分解為若干個方向。顯然，非下采NSCT變換是一種完全時不變、多尺度、多方向的擴(kuò)展，能快速實(shí)現(xiàn)。在濾波器的設(shè)計問題上受到的限制比contourlet變換要少，這使得我們在子波分解時能具有更好的頻率選擇性。NSCT已經(jīng)被證實(shí)在進(jìn)行圖像去噪和增強(qiáng)時十分有效。

圖1 NSCT結(jié)構(gòu)圖(a)非下采樣濾波器 (b)理想頻率

1.1 非下采樣金字塔濾波器組

非下采樣金字塔結(jié)構(gòu)是通過多級迭代的方式實(shí)現(xiàn)的。首先提供滿足下列完全重建條件一組基本的低通、高通濾波器組

其中:H0(z)為低通分解濾波器，H1(z)為高通分解濾波器;G0(z)為低通重建濾波器，G1(z)為高通重建濾波器。

2 基于非下采樣輪廓變換的自適應(yīng)閾值圖像去噪

圖像增強(qiáng)技術(shù)通常有兩種方法:空間域法和頻率域法。使用NSCT對圖像進(jìn)行增強(qiáng)處理顯然屬于后者。

在圖像去噪中，一般假設(shè)原始圖像被均值為零、方差為σ2的加性平穩(wěn)高斯白噪聲所污染，則含噪聲圖像在非下采樣輪廓變換域可表示為:

其中，s(i，j)和ε(i，j)分別表示原始圖像和噪聲的非下采樣輪廓變換系數(shù)。

閾值去噪是一種實(shí)現(xiàn)簡單而效果較好的非線性去噪方法，其優(yōu)點(diǎn)是噪聲可以得到很好的抑制，且反映原始特征的尖峰點(diǎn)得到很好保留。最早的閾值去噪方法是Donoho提出的VisuShrink方法，又稱為通用閾值去噪法。該方法認(rèn)為，信號對應(yīng)的小波系數(shù)包含有信號的重要信息，其幅值較大，但數(shù)目較少，而噪聲對應(yīng)的小波系數(shù)是一致分布的，個數(shù)較多，但幅值小。

基于這一思想，Donoho等人提出軟閾值和硬閾值去噪方法［4］。即尋找一合適的數(shù)T作為閾值，把低于T的小波系數(shù)設(shè)為零，而對高于T的系數(shù)，則予以保留或進(jìn)行收縮，從而得到估計小波系數(shù)，然后進(jìn)行重構(gòu)。

VisuShrink閾值公式如下:

其中N代表信號的長度，σ代表高斯噪聲方差。

在頻率域，弱邊緣和噪聲都表現(xiàn)為較小的變換系數(shù)。所以，圖像增強(qiáng)算法中好的閾值和增強(qiáng)函數(shù)必須在增強(qiáng)弱邊緣的同時，對噪聲進(jìn)行有效地抑制。如果對不同尺度不同方向上的變換系數(shù)采用同樣的閾值，那么對一處噪聲的抑制可能會對另一處的噪聲進(jìn)行了增強(qiáng)［5］。為了避免這種情況，本文采用變換系數(shù)自適應(yīng)地確定閾值。

設(shè)定閾值Tkl與變換系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差成正比，即

本文提出的自適應(yīng)增強(qiáng)算法可以在不同尺度和不同方向上自適應(yīng)地選取不同的閾值，對弱邊緣進(jìn)行放大，同時遏制噪聲，具體算法步驟為:

(1)對待處理圖像進(jìn)行N層NSCT變換，得到不同尺度不同方向上的變換系數(shù)。

(2)對不同的變換系數(shù)，根據(jù)公式確定閾值T，使用硬閾值方法對系數(shù)進(jìn)行處理，即小于T的系數(shù)置零。

(3)對處理后的變換系數(shù)進(jìn)行反變換，實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

選取512×512×8bit標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像Barbara疊加均值為零的白噪聲進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。高斯白噪聲方差為40，并與小波域去噪方法、輪廓變換域去噪方法進(jìn)行了對比。實(shí)驗(yàn)中，小波域去噪采用了“db8”小波對圖像進(jìn)行三層小波分解;輪廓變換域去噪選擇了“9－7”塔式分解和方向?yàn)V波器組進(jìn)行三層分解，方向數(shù)分別為4，8，8;非下采樣輪廓變換域去噪所采用的分解級數(shù)為三級，方向數(shù)分別為4，8，8。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖2。

圖2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 總結(jié)

通過以上理論分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證可以看出，采用NSCT去噪取得了較好的效果。去噪后，運(yùn)用小波變換圖像偏暗，對比度差，而CT去噪后輪廓變得不夠清晰，這是因?yàn)槠洳痪哂衅揭撇蛔冃?，產(chǎn)生了偽吉布斯現(xiàn)象。

［1］Donoho D L.De-noising by Soft-thresholding ［J］.IEEE Trans.on Inform.Theory，1995，41(3):613 －627.

［2］Do M N，Vetterli M.The Contourlet Transform:Anefficient Directional Multiresolution Image Representation［J］.IEEE Trans.on Image Processing，2005，14(12):2091 －2106.

［3］Cunha A L，Zhou J，Do M N.The Nonsubsampled Contourlet Transform:Theory，Design and Applications［J］.IEEE Trans.on Image Processing，2006，15(10):3089 －3101.

［4］Do M N.Contourlet Toolbox［OL］.http://www.ifp.uiuc.edu/～ minhdo/software/.2007，10.

［5］Sendur L，Selesnick I W.Bivariate Shrinkage Functions for Wavelet-based Denoising Exploiting Interscale Dependency［J］.IEEE Trans.on Signal Proc.，2002，50(11):2744－2756.