萬(wàn)浪輝，余隕金，衛(wèi)亞?wèn)|

1)深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，深圳 518060;2)深圳大學(xué)計(jì)算凝聚態(tài)物理研究所，深圳 518060

電導(dǎo)漲落的自動(dòng)圖形算法及應(yīng)用

萬(wàn)浪輝1，2，余隕金1，2，衛(wèi)亞?wèn)|1，2

1)深圳大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，深圳 518060;2)深圳大學(xué)計(jì)算凝聚態(tài)物理研究所，深圳 518060

在隨機(jī)矩陣?yán)碚摽蚣芟?，發(fā)展了量子系統(tǒng)電導(dǎo)和自旋霍爾電導(dǎo)漲落的高階效應(yīng)的自動(dòng)圖形計(jì)算方法.計(jì)算了2端子混沌空腔中直至5階的電導(dǎo)漲落的解析表達(dá)式，給出隨機(jī)矩陣?yán)碚撓稻C自旋霍爾電導(dǎo)漲落的一般公式，發(fā)現(xiàn)在通道數(shù)目較多時(shí)，對(duì)正交系綜和幺正系綜，自旋霍爾電導(dǎo)存在普適的方差1/8.

凝聚態(tài)理論;量子輸運(yùn);電導(dǎo);統(tǒng)計(jì)漲落;圖形技術(shù)

電子傳輸?shù)臐q落行為是量子輸運(yùn)中的基本問(wèn)題，這種漲落主要源自熱噪聲和散粒噪聲 (shot noise)，其中散粒噪聲源于電荷的量子效應(yīng)，在零溫時(shí)也存在.與電導(dǎo)相比，散粒噪聲對(duì)電子-電子相互作用更敏感，通過(guò)對(duì)散粒噪聲的測(cè)量，可確定與輸運(yùn)相關(guān)的電荷和準(zhǔn)粒子的統(tǒng)計(jì)行為，考察介觀系統(tǒng)內(nèi)部電勢(shì)的分布和能量標(biāo)度［1］，對(duì)研究電子輸運(yùn)的量子噪聲有重要意義.目前研究量子輸運(yùn)中載流子統(tǒng)計(jì)行為的方法主要有:散射矩陣?yán)碚摚?］、隨機(jī)矩陣?yán)碚?(random matrix theory，RMT)［2］、非平衡格林函數(shù)近似［3］及基于 Serberg積分的方法［4-6］等.Brouwer和 Beenakker［7］基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摪l(fā)展了幺正群積分的圖形算法，該方法具有直觀、簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，不僅可用于2端子系統(tǒng)，還可用于多端子系統(tǒng)，如3端子［8］和4端子系統(tǒng)［9］.此外，圖形算法還可用于計(jì)算自旋流漲落的統(tǒng)計(jì)平均［9］.

隨著研究的深入，人們開(kāi)始關(guān)注漲落的非線性統(tǒng)計(jì)性質(zhì)［1，5-6］.Serberg 積分法可研究?jī)啥擞美硐?/p>

導(dǎo)線連接的混沌空腔中電導(dǎo)漲落的高階統(tǒng)計(jì)平均，文獻(xiàn) ［6］給出電導(dǎo)漲落的4階系綜平均的解析表達(dá)式.應(yīng)用圖形算法研究漲落的高階非線性統(tǒng)計(jì)平均時(shí)，由于圖形多，很難手工計(jì)算全部圖形，通常僅在通道數(shù)目很大的極限條件下進(jìn)行近似計(jì)算［2，7］.本研究結(jié)合圖形計(jì)算技術(shù)和Mathematica軟件的符號(hào)計(jì)算功能，實(shí)現(xiàn)圖形技術(shù)的自動(dòng)計(jì)算，可用于解析計(jì)算漲落高階統(tǒng)計(jì)平均.應(yīng)用自動(dòng)圖形算法，我們研究混沌空腔中的量子輸運(yùn)特性，得到電導(dǎo)漲落的高階非線性統(tǒng)計(jì)平均的解析表達(dá)式，并首次給出隨機(jī)矩陣?yán)碚撓稻C自旋霍爾電導(dǎo)漲落的一般公式，發(fā)現(xiàn)對(duì)于存在自旋流的正交系綜或幺正系綜，當(dāng)通道數(shù)量很多時(shí)，自旋霍爾電導(dǎo)存在普適的方差1/8.

1 圖形計(jì)算方法

為便于討論，首先介紹圖形計(jì)算技術(shù)［7］.將關(guān)于N×N幺正矩陣U的函數(shù)f(U)在幺正群U(N)上的積分看作系統(tǒng)平均，并表示為

為計(jì)算式 (1)積分，定義圖1中的圖形規(guī)則.用粗點(diǎn)線代表矩陣元Uab或;第1 個(gè)下標(biāo)(a或α)用黑點(diǎn)表示;第2個(gè)下標(biāo)(b或β)用白點(diǎn)表示;矩陣元Aij用第1個(gè)下標(biāo)指向第2個(gè)下標(biāo)的粗實(shí)線表示;求和下標(biāo)用點(diǎn)與點(diǎn)間的實(shí)線表示.

圖1 Uab、、Aij和及 δab的圖形替換規(guī)則Fig.1 Substitution rules for the unitary matrices Uaband，the fixed matrix Aand the Kronecker delta ij

采用上述規(guī)則后，函數(shù)f(U)=Tr［AUBU?］可表示成圖2.

圖2 f(U)=Tr［AUBU?］的圖形表示Fig.2 Diagrammatic representation of the function f(U)=Tr［AUBU?］

根據(jù)隨機(jī)矩陣?yán)碚摚?0］，依據(jù)對(duì)稱(chēng)性的不同，系綜一般可分為幺正系綜 (circular unitary ensemble，CUE)、正交系綜 (circular orthogonal ensemble，COE)和對(duì)偶系綜 (circular symplectic ensemble，CSE).以下我們將詳細(xì)敘述3種系綜平均的圖形計(jì)算技術(shù).

1.1 CUE(β=2)

若時(shí)間反演被破壞，則系統(tǒng)的哈密頓量是幺正的，稱(chēng)為幺正系綜，用β=2表征，其計(jì)算步驟為

①根據(jù)圖1替換規(guī)則畫(huà)出表達(dá)式的圖形.

②將圖中U和U*間相同顏色的點(diǎn)用細(xì)實(shí)線連接.找出所有可能的連接方式，每種連接方式對(duì)應(yīng)1個(gè)圖.

③將每個(gè)圖中所有粗實(shí)線和細(xì)實(shí)線構(gòu)成的回路 (T回路)等效為所有回路所遇到的矩陣乘積的跡.若查找回路時(shí)粗線的方向與回路的方向相反，則與該粗線對(duì)應(yīng)的矩陣轉(zhuǎn)置;若圖中有多個(gè)T回路，則將這些T回路對(duì)應(yīng)的矩陣的跡相乘.

④查找圖中由虛線和細(xì)實(shí)線構(gòu)成的回路 (U回路)，記每個(gè)回路中點(diǎn)線數(shù)目的一半為ck，則每個(gè)圖中 U 回路所構(gòu)成的系數(shù)Vc1，c2，…，ck相當(dāng)于該圖的權(quán)重.Vc1，c2，…，ck的值和計(jì)算方法見(jiàn)文獻(xiàn) ［7］.

⑤將每個(gè)圖的權(quán)重乘以T回路對(duì)應(yīng)的矩陣的跡，全部圖形相加即得最后結(jié)果＜f(U)＞.

1.2 COE(β=1)

當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性和自旋翻轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性時(shí)，系統(tǒng)的哈密頓量可用正交矩陣來(lái)表示，該系統(tǒng)稱(chēng)為正交系綜，用β=1表征，其計(jì)算步驟與CUE類(lèi)似，不同之處在于將CUE第②步中“將圖中U和U*間相同顏色的點(diǎn)用細(xì)實(shí)現(xiàn)連接”改為“將圖中U和U*間的點(diǎn)用細(xì)實(shí)線連接”，即允許黑點(diǎn)和白點(diǎn)連接，其余不變.

1.3 CSE(β=4)

保持時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性，但自旋對(duì)稱(chēng)性被破壞時(shí)稱(chēng)為對(duì)偶系綜，用β=4表征，其計(jì)算步驟為

①先構(gòu)造＜f(?U)＞，方法是分別將f(U)中的四元數(shù)矩陣的復(fù)共軛，厄米共軛和對(duì)偶換成復(fù)數(shù)矩陣的復(fù)共軛，厄米共軛和轉(zhuǎn)置.并將＜f(?U)＞中的每次求跡Tr替換為-1/2Tr.

②按COE法求＜f(?U)＞.

③＜f(U)＞可通過(guò)將＜f(?U)＞中的復(fù)數(shù)矩陣的復(fù)共軛、厄米共軛和對(duì)偶換成四元數(shù)矩陣的復(fù)共軛、厄米共軛和對(duì)偶;同時(shí)，將求跡Tr換為-2Tr，N換成-2N.

2 自動(dòng)圖形計(jì)算技術(shù)

理論上圖形計(jì)算技術(shù)可用于研究漲落的高階非線性性質(zhì)，但實(shí)際上隨著漲落階數(shù)的增加，圖形數(shù)量激增.表1給出了圖形數(shù)量與統(tǒng)計(jì)量間的關(guān)系.由表1可見(jiàn)，對(duì)于電導(dǎo)的3階系綜平均，COE/CSE圖形數(shù)量已達(dá)720個(gè)，手工難以計(jì)算.對(duì)于電導(dǎo)的高階非線性統(tǒng)計(jì)平均，通常僅在通道數(shù)N很大時(shí)進(jìn)行近似計(jì)算［2，7］.

表1 圖形數(shù)量與統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系Table 1 The relationship between the number of figures and the statistics quantity

Mathematica［11］是Wolfram公司開(kāi)發(fā)的可進(jìn)行符號(hào)、數(shù)值和圖形運(yùn)算的通用數(shù)學(xué)軟件.由于圖形計(jì)算技術(shù)在構(gòu)造圖形和尋找T回路及U回路時(shí)具有很強(qiáng)的規(guī)律性，因而可結(jié)合Mathematica軟件的符號(hào)運(yùn)算功能實(shí)現(xiàn)圖形的自動(dòng)計(jì)算.

自動(dòng)圖形計(jì)算方法可描述為:設(shè)輸運(yùn)系統(tǒng)電導(dǎo)為G/G0=Tr［AUBU?］［1，7］，其中G0=2e2/h.將該式按圖1規(guī)則轉(zhuǎn)換為圖形后，上下各有1個(gè)黑點(diǎn)和白點(diǎn).若求n個(gè)該類(lèi)矩陣乘積的系綜平均，上下就各有n個(gè)黑點(diǎn)和白點(diǎn).為此，我們首先定義4個(gè)Mathematica 的集合:dbs=Table［db［i］，{i，1，n}］、dws=Table［dw［i］，{i，1，n}］、ubs=Table［ub［i］，{i，1，n}］和uws=Table［uw［i］，{i，1，n}］.它們分別對(duì)應(yīng)圖形中Uab黑點(diǎn)和白點(diǎn)的集合，U*αβ黑點(diǎn)和白點(diǎn)的集合.然后定義fixDashCons=Join［Table［{ub［i］，uw［i］}，{i，1，n}］、Table［{db［i］，dw［i］}，{i，1，n}］］、fixSolidCons=Join［Table［{ub［i］，db［i］}，{i，1，n}］，Table［{dw［i］，uw［i］}，{i，1，n}］］.其中，fixDashCons表示所有U和U*的矩陣元的集合，即圖1中代表U和U*的點(diǎn)線集合;fixSolidCons表示所有A和B矩陣元的集合，即圖1中粗實(shí)線的集合.

我們以CUE為例說(shuō)明自動(dòng)圖形計(jì)算的步驟.

①固定圖形的白點(diǎn)和黑點(diǎn)不動(dòng)，按照式(1)將U*αβ黑點(diǎn)和白點(diǎn)的集合合并.

②將Uab的黑點(diǎn)和白點(diǎn)分別進(jìn)行排列組合，按式 (2)和式 (3)將排列得到每個(gè)黑點(diǎn)的組合分別與白點(diǎn)的組合合并.

其中，fun［src_List］:=Join［#，src［［2］］］＆/@src［［1］］.

③將①中黑白點(diǎn)分別與②中每個(gè)集合中對(duì)應(yīng)位置處的黑白點(diǎn)相連，得到所有可能圖形的組合為

④將集合fixSolidCon分別與cons中的每種組合合并，尋找其中的 T回路，見(jiàn)式 (5)和式(6);將集合fixDashCons分別與cons中的每種組合合并，尋找其中的U回路，見(jiàn)式 (7)和式 (8)

其中，F(xiàn)indChain為尋找回路的函數(shù)，限于篇幅，本文僅介紹其思想:由于集合Tcons和Ucons中的每個(gè)元素都有兩個(gè)成員{a，b}，視為a到b的1條連線，以集合的第1個(gè)元素為連線起點(diǎn)，反復(fù)利用連線的另一端點(diǎn)查找另一條連線所對(duì)應(yīng)的元素，直至連線的另一端點(diǎn)和起點(diǎn)重合，記錄查到的端點(diǎn)順序;在查找過(guò)程中，刪除每次找到的連線所對(duì)應(yīng)的集合元素，找到1個(gè)T回路或U回路后，重新設(shè)置起點(diǎn)查找，直至集合為空.

⑤利用式 (9)和式 (10)將找到的T回路和U回路轉(zhuǎn)換為表達(dá)式和權(quán)重系數(shù)，利用式 (11)將兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)元素相乘相加即得到最后結(jié)果.

本研究采用Mathematica軟件的非對(duì)易乘來(lái)表示矩陣的乘積.對(duì)于COE，只需將步驟②修改為將黑白點(diǎn)先合并后排列組合，如式 (14)

對(duì)于CSE，計(jì)算方法與COE相似，只需在最后進(jìn)行相應(yīng)的系數(shù)替換.

3 自動(dòng)圖形計(jì)算技術(shù)的應(yīng)用

首先，討論自動(dòng)圖形計(jì)算技術(shù)在二端子混沌空腔中的應(yīng)用.設(shè)兩個(gè)理想電極連接的彈道式混沌空腔系統(tǒng)的電導(dǎo)為G/G0=Tr［C1SC2S?］;(C1)ij=δij(i＜N1)，其他元素為零;C2=1-C1，Nα為α端可能的通道數(shù).應(yīng)用圖形計(jì)算技術(shù)，結(jié)合Tr［Cα］=Nα，Tr［CαCβ］=δαβNα，可算出其電導(dǎo)和電導(dǎo)的方差［12-13］分別為

值得注意的是，當(dāng)N1=N2時(shí)，式 (18)為零.

另外，自動(dòng)圖形積分技術(shù)還可用于計(jì)算多端子電導(dǎo)及自旋霍爾電導(dǎo)的統(tǒng)計(jì)漲落.考慮由4個(gè)理想電極連接的彈道式混沌空腔，設(shè)每個(gè)端子的通道數(shù)為Ni(i=1、2、3、4).通過(guò)調(diào)節(jié)4端的電壓，使得3、4兩端電流為零，但自旋流不為零.定義，其中

σμ為泡利矩陣.當(dāng)μ=0時(shí)，為從導(dǎo)線i到導(dǎo)線j電流的透射幾率.當(dāng)μ=z時(shí)，為從i到j(luò)自旋流的透射幾率.應(yīng)用圖形自動(dòng)計(jì)算技術(shù)，結(jié)合，可得到3 端和4端自旋流透射幾率的方差為

當(dāng)Nj(j=1、2、3、4)很大時(shí)，式 (19)存在普適方差.當(dāng)β=4時(shí)，方差為1/32，結(jié)果與文獻(xiàn) ［9，14］一致;當(dāng)β=1、2時(shí)，同樣存在普適方差1/8.

結(jié) 語(yǔ)

本研究發(fā)展了圖形技術(shù)的自動(dòng)計(jì)算方法，該方法不僅可用于計(jì)算電導(dǎo)漲落的非線性統(tǒng)計(jì)平均，且可用于計(jì)算多端子情形下電導(dǎo)的非線性漲落的統(tǒng)計(jì)平均和自旋流漲落的非線性統(tǒng)計(jì)平均.作者應(yīng)用該方法研究了混沌空腔中的量子輸運(yùn)特性，得到了高階電導(dǎo)漲落非線性統(tǒng)計(jì)平均的解析表達(dá)式，首次給出了隨機(jī)矩陣?yán)碚撓稻C自旋霍爾電導(dǎo)漲落的一般公式.發(fā)現(xiàn)對(duì)于β=1、2的系綜，自旋霍爾電導(dǎo)存在普適的方差1/8.

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Automatic diagram calculation method and its applications for the fluctuations of conductance?

WAN Lang-hui1，2，YU Yun-jin1，2，and WEI Ya-dong1，2

1)College of Physics Science and Technology Shenzhen University Shenzhen 518060 P.R.China

2)The Institute of Computational Condensed Matter Physics，Shenzhen 518060 P.R.China

Based on random-matrix theory，an automatic diagram calculation method for the higher order fluctuations of conductance and spin-Hall conductance was developed.The conductance fluctuations were calculated analytically up to the fifth order in the quantum system of the chaotic cavity connected with two ideal leads.The general formula for spin-Hall conductance fluctuations in random-matrix theory ensemble was reported for the first time.In the limits of large channel numbers，the universal spin-hall fluctuations variance was found to be 1/8 in circular orthogonal ensemble and circular unitary ensemble.

condensed matter theory;quantum transport;electric conductance;statistics fluctuation;diagram technique

O 488;O 469

A

1000-2618(2011)04-0330-05

2011-03-21;

2011-05-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目 (10947018，11074171)

萬(wàn)浪輝 (1974-)，男 (漢族)，江西省南昌市人，深圳大學(xué)副教授、博士.E-mail:wanlh@szu.edu.cn

Abstract:1000-2618(2011)04-0334-EA

? This work was supported by the National Natural Science Foundation of China(10947018，11074171).

【中文責(zé)編:英 子;英文責(zé)編:雨 辰】