張 旺，王黎莉，伍 洋

（1.中國電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北石家莊050081;2.中國交通通信信息中心，北京100011）

0 引言

天線陣列的綜合是指在給定天線輻射方向圖，或給定天線的性能參量的要求來設(shè)計(jì)天線陣的陣元數(shù)、單元間距，單元上電流的幅度與相位分布。對一個(gè)給定陣元數(shù)目和陣元間距的天線陣而言，這一問題就是要尋求各個(gè)陣元上激勵(lì)電流的幅度和相位分布。天線陣列綜合是一個(gè)可以用很多經(jīng)典方法求解的非線性的優(yōu)化問題。然而，這些方法往往只對于有一個(gè)約束條件的問題有效，對于更加復(fù)雜的問題，經(jīng)典的問題往往因?yàn)槿菀资艿骄植孔钚≈档挠绊懚兊脽o能為力。作為一種典型的全局優(yōu)化算法，遺傳算法可以有效求解非線性問題，因而可以將其應(yīng)用于陣列綜合。

這里將遺傳算法和謝昆諾夫法相結(jié)合，用于給定方向圖的峰值和零點(diǎn)位置的天線陣列的綜合，并對關(guān)鍵環(huán)節(jié)進(jìn)行了分析。

1 遺傳算法

遺傳算法（GA）是在上世紀(jì)60年代、70年代由Holland等人提出的一種全局優(yōu)化算法，該算法仿效生物的進(jìn)化與遺傳，根據(jù)“生存競爭”和“優(yōu)勝劣汰”原則，通過選擇、交叉、變異，使要解決的問題逼近最優(yōu)解。與經(jīng)典的優(yōu)化算法相比，遺傳算法具有以下特點(diǎn):①遺傳算法使用參數(shù)組，而不是參數(shù)本身;②遺傳算法使用一組點(diǎn)搜索，而不是單個(gè)點(diǎn);③遺傳算法使用目標(biāo)函數(shù)信息，而不是推導(dǎo)或者其他輔助信息;④遺傳算法使用概率規(guī)則，而不是確定規(guī)則。

遺傳算法主要有3個(gè)操作:復(fù)制、交叉和變異。復(fù)制是根據(jù)其適應(yīng)度值將現(xiàn)有個(gè)體的信息復(fù)制給下一代的過程。選擇之后，交叉利用基因重組由2個(gè)現(xiàn)有個(gè)體產(chǎn)生出2個(gè)新的個(gè)體。而變異在遺傳算法中扮演著關(guān)鍵的角色，一個(gè)隨機(jī)選中的個(gè)體通過隨機(jī)變異成為了另一個(gè)體，具有個(gè)一個(gè)或多個(gè)新的特性。變異擴(kuò)展了搜索范圍，改善了解的多樣性。

適應(yīng)度函數(shù)是將物理世界和遺傳算法聯(lián)系起來的唯一的關(guān)系，每一組解與其他組解相比的優(yōu)劣都使用適應(yīng)度函數(shù)來評價(jià)。適應(yīng)度函數(shù)是被優(yōu)化的函數(shù)，但還沒有確定適應(yīng)度函數(shù)的規(guī)則，每個(gè)問題中適應(yīng)度函數(shù)的范圍都是不斷變化的。為保持各種問題的統(tǒng)一性，適應(yīng)度函數(shù)被歸一化到0～1的范圍內(nèi)。而適應(yīng)度值決定了每組解解決問題的能力，圖1給出了遺傳算法應(yīng)用的基本流程。

圖1 遺傳算法流程

2 陣列天線綜合

謝昆諾夫法是天線陣列方向圖綜合的一種經(jīng)典方法，可以在方向圖的指定位置產(chǎn)生零深。將謝昆諾夫法和遺傳算法相結(jié)合，可以綜合出具有指定波束零點(diǎn)的賦形波束。

由N+1個(gè)陣元構(gòu)成的線陣列的陣因子可寫為:

式中，In是第n個(gè)陣元的復(fù)激勵(lì)，k為波數(shù)。應(yīng)用謝昆諾夫單位圓方法，在式中作變換Ψ=kdcosθ和ω=exp（jΨ）可以得到:

式中，ω1，ω2…ωN是多項(xiàng)式的N個(gè)根，若令I(lǐng)N=1，則式（2）的幅值可以寫為:

由式（3）可知只有位于單位圓上的根對方向圖的零點(diǎn)做出貢獻(xiàn)，若N個(gè)根中有M個(gè)不在單位圓上，將它們用ω′m表示，則有:

可將式（3）進(jìn)一步寫為:

應(yīng)用該方法對一30元線陣進(jìn)行綜合，陣元間距d=0.5λ。針對這一問題，式（3）應(yīng)該有29個(gè)根。令目標(biāo)方向圖主波束在60°方向，有17個(gè)目標(biāo)點(diǎn)和18個(gè)零點(diǎn)位置（18個(gè)確定的根），因而有11個(gè)待定根，也就是22個(gè)變量（11個(gè)幅度變量和11個(gè)相位變量）。各變量取8位二進(jìn)制編碼，種群規(guī)模為50，交叉概率取0.6，變異概率取為0.02，利用Matlab編程迭代200次，重復(fù)執(zhí)行10次，各次迭代的適應(yīng)度值及陣列方向圖綜合結(jié)果分別如圖2和圖3所示。

圖2 各次迭代適應(yīng)度值

圖3 方向圖綜合結(jié)果

計(jì)算采用輪盤賭方式選擇父本，適應(yīng)度函數(shù)取

式中，ei（θ）為個(gè)體相對誤差，Tθk為目標(biāo)方向圖在θk點(diǎn)的幅值，Pθk為θk點(diǎn)處的個(gè)體綜合的方向圖值，Q為種群規(guī)模。根據(jù)求得的方向圖，經(jīng)過變換就可得到各個(gè)陣元的激勵(lì)。

3 關(guān)鍵環(huán)節(jié)分析

前面利用遺傳算法結(jié)合謝昆諾夫法對給定波束零點(diǎn)的賦形波束進(jìn)行了綜合，該方法方便準(zhǔn)確地在方向圖中得到指定位置的零點(diǎn)，并盡量滿足波束輻射要求，仿真結(jié)果表明了這種方法的有效性，但也暴露了一些問題。

3.1 遺傳算法的特點(diǎn)

遺傳算法不依賴于初始值以及各種數(shù)理推導(dǎo)，僅通過“優(yōu)勝劣汰”的競爭法則使得“適者生存”，得以產(chǎn)生新的個(gè)體，并不斷重復(fù)這一過程直至得到最優(yōu)解，方法簡便易行，但這也造成了遺傳算法的重大缺點(diǎn):由于缺少對最優(yōu)解方向的更多推斷，使得遺傳算法需要進(jìn)行多次迭代運(yùn)算，這對于適應(yīng)度值個(gè)體參數(shù)之間具有復(fù)雜關(guān)系、需要進(jìn)行大量計(jì)算的問題才能得出個(gè)體適應(yīng)度值的問題（如需數(shù)值計(jì)算才能得出結(jié)果的復(fù)雜電磁問題）來說，無疑是要耗費(fèi)海量時(shí)間的，導(dǎo)致該方法只具有理論意義。而中間各代個(gè)體值則僅僅被使用一次，也使得大量耗時(shí)的計(jì)算過程的意義大大降低。

3.2 計(jì)算過程的不確定性

由于初始參數(shù)選取以及進(jìn)化過程的不確定性，各次迭代的結(jié)果往往存在差異，雖然總體符合一定的規(guī)律，但可能會(huì)出現(xiàn)與其他結(jié)果差異較大的結(jié)果（可能好也可能壞），因而僅依靠一次迭代便得出結(jié)論是片面的，但多次重復(fù)計(jì)算過程，進(jìn)一步增大了遺傳算法的計(jì)算量。

3.3 適應(yīng)度函數(shù)的選取

適應(yīng)度函數(shù)的選取對于結(jié)果會(huì)有極大的影響，如該文算例中ei（θ）分別為歸一化誤差和時(shí)，得到的結(jié)果不同，這一影響反映在主瓣誤差和旁瓣誤差的權(quán)重上。該算例所取誤差為分貝誤差，此時(shí)結(jié)果與目標(biāo)擬合較好，若取歸一化誤差，則主瓣擬合結(jié)果變差，如圖4所示。

圖4 改變適應(yīng)度函數(shù)后的結(jié)果

3.4 目標(biāo)函數(shù)的定義

遺傳算法中目標(biāo)函數(shù)的定義應(yīng)更加明確。該算例中給出了方向圖的主波束、零點(diǎn)位置以及若干個(gè)目標(biāo)點(diǎn)，但對于非目標(biāo)點(diǎn)處的方向圖未加定義，對于給定目標(biāo)點(diǎn)是否位于旁瓣峰值也未定義，因而具有高適應(yīng)度值的方向圖可能反而與期望方向圖有較大差距。因此采用包絡(luò)線作為優(yōu)化條件更具有普遍性，可以在各個(gè)點(diǎn)上對方向圖進(jìn)行約束。

3.5 終止條件的確定

迭代的終止條件不明確。該文采用迭代200次作為終止條件，可以看到各次計(jì)算的適應(yīng)度值大致收斂于0.79，且40次迭代后適應(yīng)度值變化不大，但若進(jìn)行2000次迭代，是可以得到更優(yōu)解的，如圖5所示。同時(shí)，由于變異的隨機(jī)性與小概率性，適應(yīng)度值可能達(dá)到某一結(jié)果后，在若干次迭代中不發(fā)生改變，之后繼續(xù)提高（類似于中世紀(jì)歐洲社會(huì)發(fā)展的停滯和文藝復(fù)興），因此由各次迭代結(jié)果的相對值變化作為終止條件也是有局限性的。所以，增加迭代次數(shù)便有可能得到更優(yōu)解，導(dǎo)致了迭代終止條件的不確定性。

圖5 迭代2 000次結(jié)果

4 結(jié)束語

將遺傳算法應(yīng)用于陣列天線綜合，解決了多約束條件下的陣列天線綜合問題，在給定方向圖的要求和陣列規(guī)模的條件下得到了較優(yōu)解，并針對求解過程中的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行了分析。盡管存在一些不足，但遺傳算法仍不失為解決問題的一個(gè)方法，可以為尋找更優(yōu)算法提供了一些經(jīng)驗(yàn)和思路。

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