王瑞慶，季文天

（1.海南軟件職業(yè)技術(shù)學院 軟件工程系，海南 瓊海 571400；2.安陽師范學院 計算機與信息工程學院，河南 安陽 455000）

社會主義市場經(jīng)濟環(huán)境下，價格在資源優(yōu)化配置中發(fā)揮著基礎性作用。電力市場條件下，電價的形成機制是否合理、價格體系結(jié)構(gòu)是否健全關系到整個電力市場是否能夠健康、平穩(wěn)運行。

電價是電力市場供求平衡時形成的出清價，不僅受氣象、系統(tǒng)負荷、發(fā)電成本、可用發(fā)電容量、輸電網(wǎng)絡阻塞等客觀因素的影響，還受到市場交易規(guī)則、參與者的競價策略及其對價格的心理反映等主觀因素的影響[1]，這些因素使得準確的電價預測較為困難。當前的預測方法主要包括通過模擬電力市場競爭規(guī)則來預測市場出清電價的長期預測方法和依據(jù)大量歷史數(shù)據(jù)建立反映電價變化規(guī)律數(shù)學模型的短期預測方法[2]。

神經(jīng)網(wǎng)絡對非確定性、非精確性規(guī)律具有自適應能力，能夠有效地處理多變量和非線性問題，是目前研究較多的一種短期電價預測方法[3-10]。文獻[3-4]使用基于BP（Back Propagation）和LM（Levenberg-Marquardt）訓練方法的3層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡對維多利亞、西班牙和加利福尼亞的現(xiàn)貨電價進行了預測。文獻[5]指出高斯徑向基函數(shù)網(wǎng)絡比傳統(tǒng)網(wǎng)絡具有更快的學習速度和更好的逼近性能，更加適合于短期電價的預測。文獻[6-10]分別提出了神經(jīng)網(wǎng)絡與模糊邏輯、Kalman濾波、支持向量機等相結(jié)合的短期電價預測方法，結(jié)果表明混合預測方法比單獨使用神經(jīng)網(wǎng)絡具有更好的效果。但由于神經(jīng)網(wǎng)絡方法的參數(shù)調(diào)整不夠靈活，學習速度較慢，在實際應用中遇到了困難。

時間序列方法需要的歷史數(shù)據(jù)相對較少，能準確地反映歷史電價變化的連續(xù)性，比較常用的有自回歸滑動平均（ARMA）和自回歸積分滑動平均模型（ARIMA）。文獻[11]建立了一個以負荷作為外生變量的自回歸滑動平均模型（ARMAX），對PJM電力市場未來24 h的現(xiàn)貨電價作出了預測。文獻[12]注意到大多數(shù)電價序列均是非平穩(wěn)隨機過程，建立了基于ARIMA的電價預測模型，但該模型沒有考慮負荷等因素對電價的影響。文獻[13]注意到不同時段也是一個影響電價變動的重要因素，建立了一個基于ARMA的分時段電價預測模型，使得對價格飛升（Price Spikes）的預測準確度得到了很大提高。文獻[14-15]分別建立了將誤差校正、小波變換與ARIMA相結(jié)合的電價預測模型。文獻[16]建立了一個綜合考慮電價序列的非平穩(wěn)、分時段和負荷影響的傳遞函數(shù)模型，進一步提高了電價預測的準確性。但這些模型大都基于殘差服從正態(tài)分布的假設，不能有效地處理電價的有偏厚尾性，同時定階困難，待估參數(shù)較多，難于大量應用。

在對電力市場現(xiàn)貨電價的影響因素和波動規(guī)律綜合分析的基礎上，本文提出了一種基于有偏學生t分布ARMAX模型的短期電價預測方法。該方法通過有偏學生t分布、正弦函數(shù)、負荷平方來描述現(xiàn)貨電價分布的有偏厚尾性、多重周期性及其與負荷之間的非線性相關性，很大程度上降低了模型的階數(shù)，減少了模型的待估參數(shù)。對PJM電力市場2007年6月1日至2010年9月9日歷史數(shù)據(jù)的算例分析表明，該模型計算量小，待估參數(shù)少，可準確反映電價的變化規(guī)律，具有一定的實用價值。

1 預測模型及求解方法

1.1 預測模型

時間序列分析是根據(jù)歷史數(shù)據(jù)建立描述時間序列變化過程的規(guī)律性的數(shù)學模型，然后根據(jù)建立的數(shù)學表達式進行預測，其基本假定是未來是過去的延續(xù)。時間序列方法的主要難點在于如何選擇恰當?shù)哪Ｐ?，如果模型選擇不準確，即使參數(shù)估計再準確，預測效果也不會太好。

電價預測模型可以看作一個多輸入單輸出系統(tǒng)，輸出為當期電價，輸入為系統(tǒng)負荷、參與者的報價策略、燃料價格、季節(jié)、氣候等影響因素?？紤]到系統(tǒng)負荷和電價在各個電力市場中均是公開信息，因此本文選擇當期負荷、歷史負荷與歷史電價作為輸入，并使用時間序列模型對這一系統(tǒng)進行描述。設pt表示t期現(xiàn)貨電價，則描述電價變化的時間序列模型可表述為：

式中，B為滯后算子；dt表示t期系統(tǒng)負荷；ut表示t期殘差；m為電價一年內(nèi)變化的周期數(shù)；p、q、r、s分別為電價、殘差、負荷和負荷平方的滯后階數(shù)；dwkd為周一到五取值為1、周六日取值為0的虛擬變量；琢=（琢0，琢1，琢2，琢11，…，琢m1，琢12，…，琢m2）、漬=（漬1，漬2，…，漬p）、茲=（茲1，茲2，…，茲q）、酌=（酌1，酌2，…，酌r）、資=（資1，資2，…，資s）表示待估參數(shù)；f（t）描述電價序列的趨勢和季節(jié)性變化，通過使用多個正弦函數(shù)可以允許電價序列在1年內(nèi)有多個周期，每個周期的幅度和峰值位置分別由琢i1和琢i2描述。

1.2 模型定階

通過對去趨勢和周期變化后的電價序列pt-f（t）的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)的分析，可以確定p和q的初始取值，r和s的初始取值可以通過觀察電價序列與負荷、負荷平方的趨勢圖加以確定。

構(gòu)成時間序列的每個序列值之間的簡單關系稱為自相關，可以使用自相關系數(shù)進行描述。對于給定時間序列{yt}，k期自相關系數(shù)籽k為：

在給定yt-1，yt-2，…，yt-k+1條件下，yt與yt-1之間的條件相關關系稱為偏自相關，可以使用偏自相關系數(shù)籽kk描述。其計算公式為：

AR（p）序列的自相關函數(shù)隨著滯后期的增加，呈現(xiàn)指數(shù)或者正弦波衰減，逐漸趨近于0，而其偏自相關函數(shù)在k>p后全都趨向于0。因此，可以根據(jù)偏自相關函數(shù)的截尾性來辨識AR（p）模型的參數(shù)p。

MA（q）序列的自相關函數(shù)在k>q后全部趨向于0，而其偏自相關函數(shù)呈指數(shù)衰減，具有拖尾性。因此，可以根據(jù)自相關函數(shù)的拖尾性來辨識MA（q）模型的參數(shù)q。

1.3 參數(shù)估計

設ut=滓zt，其中滓表示殘差ut的均方差，zt是均值為0、方差為1、符合有偏學生t分布的白噪聲序列，則ut的條件概率密度函數(shù)可表示為：

式中，祝表示Gamma函數(shù)；姿沂（-1，1）和濁沂（2，肄）為有偏學生t分布的偏度和自由度；It-1表示t期的可用信息集；當zt<-a/b時1依姿取值1-姿，否則取值1+姿。若記ξ=（琢，漬，茲，酌，資，濁，姿，滓2），則條件對數(shù)似然函數(shù)可表示為：

式中，n表示樣本容量；lt（ξ）=lng（ut|It-1）表示t期的條件對數(shù)似然函數(shù)。通過最大化L（ξ），即可獲得模型參數(shù)ξ的估計值ξ贊。

需要指出的是，由于模型中包含殘差ut的滯后項，L（ξ）實際上是關于待估參數(shù)的非線性函數(shù)，求解結(jié)果對初始值的選取非常敏感。為了增加估計結(jié)果的精度，本文采用逐次逼近方法，即先求解簡化模型，然后以其結(jié)果作為求解復雜模型的初始值。

1.4 模型檢驗

式中，ξ0為待估參數(shù)的真值；H為Hessian矩陣，可通過H（ξ0）抑鄣L（ξ）/鄣ξ鄣ξ'|ξ=ξ贊估計。計算出ξ贊的方差后，即可利用t統(tǒng)計量對待估參數(shù)的顯著性進行檢驗。

對殘差符合有偏學生t分布的假設可能并不符合其真實分布，因此有必要給出估計參數(shù)ξ贊的穩(wěn)健方差，以便計算估計參數(shù)ξ贊的漸近有效置信區(qū)間。ξ贊的穩(wěn)健方差為矩陣贅贊的對角元素。

式中，V贊=鄣L（ξ）/鄣ξ（鄣L（ξ）/鄣ξ）'|ξ=ξ贊。

Nyblom統(tǒng)計量可用于檢驗模型的穩(wěn)定性[17]，其漸近分布只依賴于待估參數(shù)個數(shù)。Nyblom檢驗的原假設是全部待估參數(shù)是穩(wěn)定的，其備擇假設是至少有1個待估參數(shù)是不穩(wěn)定的。Nyblom統(tǒng)計量WN可表示為：

式中

Nyblom統(tǒng)計量也可用于檢驗單個系數(shù)的穩(wěn)定性，相應于第k個待估參數(shù)的Nyblom統(tǒng)計量WN，k為：

式中，Skt為St的第k個元素；V贊kk為V贊的第k個對角元素。

Cramer-Von Mises統(tǒng)計量可用于檢驗殘差是否符合有偏學生t分布的假設。設偏度為姿、自由度為濁的有偏學生t分布的累積分布函數(shù)為FN（z），殘差的實際累積分布函數(shù)為F（z），則Cramer-Von Mises統(tǒng)計量WCVM可根據(jù)式（10）進行估計：

1.5 擬合精度評估

一般而言，電價序列預測模型是一個參數(shù)時變模型，其參數(shù)均需用更新的數(shù)據(jù)進行辯識，以便提高電價預測的準確性。本文采用平均絕對百分比誤差（MAPE）來度量模型的預測精度，其表達式為：

式中，p贊t表示t期預測電價；pt表示t期的電價觀測值；n是預測電價的數(shù)目。

2 PJM電力市場實證研究

本文使用的研究樣本來源于美國PJM電力市場2007年6月1日至2010年9月9日的日平均現(xiàn)貨電價和日平均負荷，樣本總數(shù)為1 197。表1給出了日平均現(xiàn)貨電價和日平均負荷序列的描述性統(tǒng)計結(jié)果。從表1可以看出，2個樣本的偏度系數(shù)和峰度系數(shù)都顯著異于正態(tài),現(xiàn)貨電價和負荷序列均呈現(xiàn)明顯的右偏形態(tài),同時具有較為明顯的尖峰厚尾特征。J-B統(tǒng)計量非常顯著,說明樣本期間內(nèi)電價和負荷的分布具有非正態(tài)性。

表1 樣本數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計結(jié)果

通過對樣本數(shù)據(jù)的趨勢圖及相關系數(shù)的初步分析，將式（1）中的的預測模型具體化為（m，p，q，r，s）分別取值（2，4，4，1，1）。為便于比較有偏學生t分布與正態(tài)分布模型的估計結(jié)果，表2和表3分別給出了剔除模型中在95%置信水平上不顯著的估計參數(shù)后的極大似然估計結(jié)果。從表2和表3中可以看出，有偏學生t分布模型和正態(tài)分布模型的MAPE分別為6.2%和6.627%，與文獻[11-16]的擬合精度大致相當，但其待估參數(shù)卻遠少于文獻[11-16]中所建模型的待估參數(shù)，這在一定程度上降低了模型的復雜性，增強了模型的實際應用價值。

從表2和表3還可以看出，有偏學生t分布模型相對于正態(tài)分布模型的MAPE和最大似然值分別提高了0.425和146.36，表明有偏學生t分布模型相對于正態(tài)分布模型具有較好的擬合效果。從表3可見，t分布的自由度為2.652 5，說明殘差具有明顯的厚尾特征，但Cramer-Von Mises統(tǒng)計量6.645 3仍大于其99%置信限的臨界值0.333，表明有偏學生t分布仍不能很好地描述殘差的實際分布。

表2 正態(tài)分布假設的估計結(jié)果

表3 學生t分布假設的估計結(jié)果

從表3可見，殘差的標準誤滓和自由度濁的Nyblom統(tǒng)計量分別為10.605和10.544，均大于其99%置信限的臨界值0.748，表明關于方差滓2和自由度濁為常數(shù)的假設與實際不符，這從殘差的概率分布（見圖1）也可得到驗證。因此，應采用什么形式的分布函數(shù)來更好地描述殘差的實際分布，是下一步的研究重點。

圖1 殘差的概率密度

3 結(jié)語

在對電力市場現(xiàn)貨電價的影響因素和波動規(guī)律綜合分析的基礎上，本文提出了一種基于有偏學生t分布ARMAX模型的短期電價預測方法。該模型采用有偏學生t分布、正弦函數(shù)、負荷平方來描述現(xiàn)貨電價分布的有偏厚尾性、多重周期性及其與負荷之間的非線性相關性，在一定程度上降低了模型的階數(shù)及其待估參數(shù)的個數(shù)。對PJM電力市場2007年6月1日至2010年9月9日的歷史數(shù)據(jù)的算例分析表明，該模型計算量小，待估參數(shù)少，能夠準確反映電價的變化規(guī)律，具有一定的實用價值。但本文模型關于殘差符合均值為0、方差、偏度和自由度為常數(shù)的有偏學生t分布的假設與殘差的實際分布不太吻合，這在一定程度上降低了模型的預測精度，因此如何進一步改進模型提高擬合優(yōu)度是下一步要解決的主要問題。

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