向紅標(biāo)，裘祖榮，李醒飛，譚文斌，張晨陽

(1. 天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點實驗室，天津 300072；2. 天津商業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300134)

測量機滾珠絲杠Z軸伺服系統(tǒng)的動力學(xué)建模及補償

向紅標(biāo)1，裘祖榮1，李醒飛1，譚文斌1，張晨陽2

(1. 天津大學(xué)精密測試技術(shù)及儀器國家重點實驗室，天津 300072；2. 天津商業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300134)

在對θFXZ型測量機 Z軸伺服系統(tǒng)的機械結(jié)構(gòu)和控制系統(tǒng)進行分析的基礎(chǔ)上，建立了伺服系統(tǒng)的動力學(xué)模型.根據(jù)受力分析，對系統(tǒng)的干擾力進行建模.利用對PID參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)和干擾力的前饋補償，實現(xiàn)對系統(tǒng)的誤差補償.實驗結(jié)果表明，補償后的跟蹤誤差約為補償前的1/4，系統(tǒng)靜差也由原來的2 μm減小到0.4 μm以內(nèi).該伺服系統(tǒng)的動力學(xué)建模和干擾力建模能直觀、有效地描述Z軸系統(tǒng)的運動特性，補償方案能很好地改善系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤誤差和控制定位精度.

伺服系統(tǒng)模型；干擾力模型；跟蹤誤差；靜差

伺服系統(tǒng)作為坐標(biāo)測量機(coordinate measuring machine，CMM)的重要功能部件，其動靜態(tài)特性是影響坐標(biāo)測量機性能和精度的重要指標(biāo)之一.而伺服系統(tǒng)的性能與很多因素有關(guān)，如機械傳動方式、系統(tǒng)機械剛度和負載、檢測元件的精度、系統(tǒng)各項控制參數(shù)、非線性摩擦力以及外部干擾等.因此，建立伺服系統(tǒng)的動力學(xué)模型有助于更深入地研究伺服系統(tǒng)的特性，并通過各種補償方法使其發(fā)揮出最佳性能.

θFXZ型[1]坐標(biāo)測量機，由于滑架重量較輕，為使結(jié)構(gòu)設(shè)計簡單化，未在 Z軸設(shè)置重力平衡系統(tǒng)[2]，所以Z軸電機在驅(qū)動滑架進行上下運動時，不僅受到非線性摩擦力[3-4]的影響，同時還受到滑架重力的影響，這 2種干擾力均會影響到 Z軸伺服系統(tǒng)的動靜態(tài)性能.為此，本文針對 θFXZ型坐標(biāo)測量機的 Z軸運動系統(tǒng)，建立了伺服系統(tǒng)的動力學(xué)模型和干擾力模型，基于這些模型設(shè)計了控制系統(tǒng)的誤差補償方案，并通過實驗驗證了該補償方案的有效性.

1 測量機結(jié)構(gòu)

θFXZ型坐標(biāo)測量機的基本結(jié)構(gòu)見圖 1，包括底座、立柱、滑架、轉(zhuǎn)臺和接觸測頭.實際工作中，轉(zhuǎn)臺帶動工件轉(zhuǎn)動，立柱作X向移動，滑架沿立柱作Z向移動，實現(xiàn)測頭對工件的測量.

圖1 θFXZ型坐標(biāo)測量機結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of θFXZ-type CMM

2 Z軸伺服系統(tǒng)的動力學(xué)建模

一般伺服系統(tǒng)由機械傳動部分和控制部分組成，而伺服系統(tǒng)整體性能的好壞不僅與兩部分各自的性能有關(guān)，更是由兩部分的協(xié)調(diào)性決定，所以在設(shè)計高性能的伺服系統(tǒng)時，必須考慮這兩部分之間的內(nèi)在關(guān)系，建立準(zhǔn)確、可靠的數(shù)學(xué)模型[5].

2.1 Z軸控制系統(tǒng)

控制系統(tǒng)由工業(yè)控制計算機(industrial personal computer，IPC)、PMAC 運動控制器、交流伺服電機、光柵尺(分辨率為 0.2,μm)以及接口電路組成，它以PMAC控制器為核心實現(xiàn)對伺服系統(tǒng)的控制，還具有對運動信號的采樣處理、誤差計算、誤差補償?shù)裙δ?實驗平臺采用全閉環(huán)控制，圖2為伺服系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖，位置環(huán)、速度環(huán)、電流環(huán) 3環(huán)控制如圖所示，PMAC采用PID+速度/加速度前饋對位置環(huán)進行控制，交流伺服驅(qū)動器采用PI調(diào)節(jié)器對速度環(huán)進行控制.

圖2 伺服控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意Fig.2 Structure sketch of servo control system

2.2 Z軸的機械傳動機構(gòu)與受力分析

如圖 3所示，電機通過聯(lián)軸節(jié)驅(qū)動滾珠絲杠旋轉(zhuǎn)，再由滾珠絲杠螺母副帶動滑架沿直線導(dǎo)軌運動，將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)換為直線運動.可將滑架及側(cè)頭支架部分簡化為質(zhì)量為Mg的工作臺.

伺服系統(tǒng)的機械特性如剛度、慣量等對系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計有著重要的影響，需考慮這些因素來建立伺服系統(tǒng)的模型.通常伺服系統(tǒng)把電機和負載作為一個剛體即單質(zhì)量伺服系統(tǒng)考慮，它與實際特性有一定的差別，實際系統(tǒng)中，在電機驅(qū)動力矩的作用下，機械傳動部分會受到一定程度的變形，特別是加速度要求大、快速性和精度要求高的系統(tǒng)，彈性變形對系統(tǒng)的影響不能忽略.根據(jù)對該機械結(jié)構(gòu)的計算分析，由滾珠絲杠扭轉(zhuǎn)變形對滑架直線位移的影響，相對柔性聯(lián)軸節(jié)的扭轉(zhuǎn)變形和滾珠絲杠的軸向拉壓變形對滑架直線位移的影響可忽略不計，設(shè)柔性聯(lián)軸節(jié)扭轉(zhuǎn)剛度為K1，滾珠絲杠的綜合軸向傳動剛度為K2.

圖3 Z軸伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意Fig.3 Block diagram of Z-axis servo system

該測量機立柱伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示.考慮結(jié)構(gòu)受到的總摩擦力為Ff，包含有電機和滾珠絲杠傳動摩擦力和導(dǎo)軌的摩擦力，可得動力學(xué)方程[6-7]為

式中：JM、JA和 JL分別為電機轉(zhuǎn)子、聯(lián)軸節(jié)和滾珠絲杠的轉(zhuǎn)動慣量；Mg為滑架的質(zhì)量；θM、θA分別為電機和聯(lián)軸節(jié)的轉(zhuǎn)角；Mθ˙、Aθ˙為與之相應(yīng)的轉(zhuǎn)角加速度；z、z˙為滑架Z向位移量和加速度；T和TM分別為電機的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩和通過聯(lián)軸節(jié)傳遞給絲杠的主動力矩；Fd和 Ff分別為電機對滾珠絲杠的軸向驅(qū)動力和滑架受到的總摩擦力；Ks為旋轉(zhuǎn)角度和位移的換算系數(shù)；L0為絲杠導(dǎo)程；η為滾珠絲杠效率.

圖4 Z軸伺服系統(tǒng)模型Fig.4 Z-axis servo system model

2.3 Z軸伺服系統(tǒng)建模

由以上動力學(xué)方程得出基于 PMAC運動控制器的 Z軸伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，如圖 4所示.圖中，Zc為指令位移量，Zt為實際位移量，vi為指令速度，vz為實際速度.三環(huán)伺服控制系統(tǒng)中，電流環(huán)可以等效為一階慣性環(huán)節(jié)，1/K′為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，Km為電機扭矩常數(shù)；Ti和 Kv分別為速度環(huán)的積分控制常數(shù)和比例，Kw為速度環(huán)反饋系數(shù)；PMAC為位置環(huán)提供了 PID+速度/加速度前饋的控制環(huán)算法，Kp、Ki、Kd分別為比例、積分、微分增益，Kvff和 Kaff分別為速度和加速度前饋增益.

3 Z軸干擾力建模

3.1 干擾力模型描述

在高精度高性能的伺服系統(tǒng)中，由于非線性摩擦力的存在，對系統(tǒng)的動靜態(tài)性能產(chǎn)生了很大影響.Stribeck摩擦模型[8]是一種常用的能夠反映摩擦非線性特性的摩擦模型，表述為

式中：Fs為最大靜摩擦力；Fc為庫侖摩擦力；B為黏性摩擦系數(shù)；vs為臨界速度；δ為經(jīng)驗參數(shù)，本文中δ取2[9].在穩(wěn)態(tài)時，摩擦力與速度的對應(yīng)關(guān)系為Stribeck曲線，如圖5所示.

由于實際模型參數(shù)還與運動方向有關(guān)，所以向上向下2個方向?qū)?yīng)著不同的摩擦參數(shù)，當(dāng)v＞0時，模型參數(shù)為、、B+；當(dāng) v＜0時，模型參數(shù)為、、B-.

圖5 Stribeck曲線Fig.5 Stribeck curve

把重力和摩擦力的合力稱為干擾力Fi，即得出干擾力模型為

3.2 干擾力模型參數(shù)辨識

Stribeck摩擦模型參數(shù)辨識[10]的方法是根據(jù)穩(wěn)態(tài)下摩擦力與速度的關(guān)系曲線，擬合零速附近階段點的切線和高速階段點的直線，低速切線與縱軸交點值為最大靜摩擦力Fs，高速直線與縱軸交點值為庫侖摩擦力 Fc，其斜率為黏性摩擦系數(shù) B，低速直線與 F＝Fc直線交點的橫坐標(biāo)值即為臨界速度 vs.而 Z軸干擾力模型辨識與Stribeck辨識方法基本一致.

由式(5)可知，當(dāng)滑架作勻速直線運動(即z˙＝0)時，則有

式中：Fi為干擾力；Fd為驅(qū)動力.因此，通過測得多組穩(wěn)態(tài)時速度 v與驅(qū)動力 Fd的數(shù)值，可得干擾力與速度的對應(yīng)關(guān)系，如圖6所示.其中，驅(qū)動力Fd的數(shù)值在每組勻速運動中有很小的波動，對其進行了平均值處理.圖 6中左側(cè)縱坐標(biāo)為電機驅(qū)動力與速度曲線的縱坐標(biāo)，右側(cè)縱坐標(biāo)為 Stribeck曲線的縱坐標(biāo)，可以看出電機驅(qū)動力與速度曲線相當(dāng)于是 Stribeck曲線向上平移了 Mg個單位.通過上述參數(shù)估計方法，可得本實驗系統(tǒng)的干擾力模型參數(shù)如表1所示.

圖6 驅(qū)動力與速度關(guān)系曲線Fig.6 Driving force and velocity curve

表1 正負向運動的干擾力模型參數(shù)Tab.1 Identified disturbing force model parameters

4 Z軸補償實驗

測量機Z軸結(jié)構(gòu)不僅受到摩擦力的影響，還受到滑架自身重力影響，所以電機驅(qū)動滑架向上和向下運動時負載區(qū)別很大.考慮這些因素，需要先針對運動方向和運動速度設(shè)定相應(yīng)的 PID參數(shù)，然后再對 Z軸干擾力進行前饋補償.

4.1 補償前實驗現(xiàn)象

運動控制器 PMAC配套軟件 PEWIN具有強大的數(shù)據(jù)采集功能，利用該軟件可實現(xiàn)對系統(tǒng)指令、實際運動信息(包括位置、速度和加速度信息)以及位置跟蹤誤差的采集，得到相關(guān)的數(shù)據(jù)曲線.

當(dāng)系統(tǒng)采用普通的 PID控制執(zhí)行一次上下往返運動時，通過 PEWIN采集相關(guān)的運動信息，可得到速度和跟蹤誤差的曲線如圖 7和圖 8所示.該運動的期望參數(shù)為：速度 2,mm/s，加速時間 100,ms，位移2,mm.可以看出，向上和向下運動在速度過零點時，跟蹤誤差波形會發(fā)生畸變，出現(xiàn)尖峰現(xiàn)象，其主要原因是由于Z軸受到干擾力的影響.

圖7 往返運動的速度曲線Fig.7 Velocity curve of to-and-fro movement

圖8 往返運動的跟蹤誤差曲線Fig.8 Following error curve of to-and-fro movement

4.2 補償方案

高精度高性能的伺服控制系統(tǒng)必須具有良好的剛性和快速的響應(yīng)速度，但由于負載和速度的變化，很大程度上影響了系統(tǒng)的精度和性能，這就要求系統(tǒng)的PID參數(shù)具有一定的自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力，經(jīng)調(diào)試本文分別針對 2個方向在不同速度范圍設(shè)定了合適的PID參數(shù)，使控制性能和系統(tǒng)剛性達到最佳，同時對干擾力進行前饋補償，2個方面有效地減小了系統(tǒng)的跟蹤誤差和靜差.

本系統(tǒng)的補償實驗是通過 PMAC控制器嵌入PLC程序?qū)崿F(xiàn)的，其流程如圖9所示，PLC程序以極高的采樣速率監(jiān)視系統(tǒng)運動速度方向和大小，從而判斷采用何種PID參數(shù)，并根據(jù)速度的大小和方向?qū)崟r計算出干擾力大小，并將其值賦給前饋補償變量，從而實現(xiàn)對 Z軸誤差的補償.干擾力的前饋補償模型如圖 10所示.圖中，Gm(z)為機械部分的傳遞函數(shù)，Gv(z)為速度環(huán)的 PI控制器，Gp(z)為位置環(huán)的 PID控制器，Gf(z)為干擾力前饋補償函數(shù).

圖9 PLC程序流程Fig.9 Flow chart of PLC program

圖10 干擾力的前饋補償模型Fig.10 Model of feed-forward compensation for disturbing Fig.10 force

4.3 補償實驗結(jié)果與分析

針對上述期望運動，首先分別根據(jù)速度選擇向上和向下運動的最佳 PID參數(shù)，并通過 PLC程序?qū)ID和干擾力變量參數(shù)進行賦值，從而實現(xiàn)前饋補償.由于速度和加速度的設(shè)定對系統(tǒng)的響應(yīng)性能影響較大，該補償實驗對系統(tǒng)的動態(tài)誤差和靜差均有明顯改善，本文以低速和高速2種運動程序為例來說明其補償效果.

(1)運動控制程序 1：以速度±2,mm/s，加速時間100,ms，位移 2,mm 為運動參數(shù)，其補償前后誤差曲線如圖11所示.由圖 11可知，補償后的動態(tài)跟蹤誤差明顯小于未補償段的跟蹤誤差，最大跟蹤誤差值由10,μm 減小到 2,μm，約為未補償?shù)?1/4.系統(tǒng)的靜差也由原來的 2,μm 減小到 0.4,μm.

圖11 運動控制程序1跟蹤誤差曲線Fig.11 Following error curves of motion program 1

圖12 運動控制程序2跟蹤誤差曲線Fig.12 Following error curves of motion program 2

(2)運動控制程序 2：以速度±100,mm/s，加速時間 50,ms，位移 20,mm 為運動參數(shù)，得到補償前后誤差曲線如圖 12所示.可以看出，補償實驗也有效地減小了系統(tǒng)的跟蹤誤差和靜差，最大跟蹤誤差值由110,μm 減小到 40,μm，靜差由原來的2,μm 減小到0.4,μm，系統(tǒng)性能得到很大程度的改善，但在加速和減速時補償段還有一定的尖峰出現(xiàn)，這主要是因為傳動環(huán)節(jié)在加減速過程中，受到較大的控制力矩，會導(dǎo)致傳動環(huán)節(jié)有一定程度的彈性變形，此時只有采用對滾珠絲杠和導(dǎo)軌加壓的方式來提高系統(tǒng)的機械剛性，或采取其他如直線電機傳動的機械傳動方式，才能進一步減小系統(tǒng)的跟蹤誤差.

5 結(jié) 語

本文針對θFXZ型測量機Z軸運動系統(tǒng)，建立了伺服系統(tǒng)的動力學(xué)模型和干擾力模型，采用 PLC程序?qū)崿F(xiàn)對 PID參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)和干擾力的前饋補償，有效地降低了伺服系統(tǒng)的跟蹤誤差和靜差.補償后的系統(tǒng)靜差由原來的2,μm減小到0.4,μm 以內(nèi)，跟蹤誤差也約為補償前的 1/4.對該系統(tǒng)的動力學(xué)建模和干擾力建模能直觀、有效地反映Z軸系統(tǒng)的運動特性，補償方案能很好地改善系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤誤差和控制定位精度，適用于未在Z軸設(shè)計平衡系統(tǒng)的裝置.

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Dynamic Modeling and Compensation for the Ball Screw Z-Axis Servo System of Measuring Machine

XIANG Hong-biao1，QIU Zu-rong1，LI Xing-fei1，TAN Wen-bin1，ZHANG Chen-yang2
(1. State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instruments，Tianjin University，Tianjin 300072，China；2. School of Mechanical Engineering，Tianjin University of Commerce，Tianjin 300134，China)

A dynamic model was built on the basis of mechanical structure and the control system of Z-axis servo system of θFXZ-type coordinate measuring machine.Then the disturbing force model was built by force analysis.Finally，through the PID parameters′ adaptive adjustment and feed-forward compensation for disturbing force，the error compensation of the system was carried out. The experimental results show that the following error after compensation is four times less than that before compensation，and the static error of the system after compensation decreases from 2.0 μm to 0.4 μm. In a word，the servo system dynamic model and disturbing force model can intuitively and effectively describe the movement characteristics of Z-axis system. Furthermore，the compensation method can improve the following error of the system and the positioning accuracy.

servo system model；disturbing force model；following error；static error

TP273

A

0493-2137(2011)04-0291-06

2010-06-12；

2010-08-13.

國家自然科學(xué)基金資助項目（50975206/E050501）.

向紅標(biāo)（1982— ），男，博士研究生，xhb@tju.edu.cn.

李醒飛，lixf@tju.edu.cn.