甘 勇，孫遨然，孫 寧，韋荔甫

（桂林電子科技大學(xué)，桂林 541004）

0 引言

目前，對(duì)于能測(cè)物體內(nèi)部輪廓的非接觸測(cè)量方法主要包括利用發(fā)射和接收電磁波信號(hào)的雷達(dá)成像，利用聲波信號(hào)的超聲波成像，利用物體對(duì)X射線吸收的計(jì)算機(jī)體層攝影(CT)等，多應(yīng)用于特定專業(yè)領(lǐng)域，造價(jià)較高，且精度和分辨度差異較大；MRI測(cè)量法基于核物理學(xué)的磁共振理論，能深入物體內(nèi)部且不破壞物體，對(duì)生物沒有損害，在醫(yī)療上應(yīng)用廣泛。但其造價(jià)高，目前對(duì)非生物材料不適用；采用超聲波的數(shù)字化方法相對(duì)CT 和MRI而言，設(shè)備簡(jiǎn)單，成本較低，但測(cè)量速度較慢，且測(cè)量精度不穩(wěn)定，目前主要用于物體的無損檢測(cè)和壁厚測(cè)量。依托圖像處理技術(shù)，斷層數(shù)據(jù)的三維重構(gòu)技術(shù)的應(yīng)用主要集中在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，該技術(shù)在工業(yè)上的應(yīng)用前景廣闊，其中對(duì)新的測(cè)量技術(shù)與重構(gòu)算法的研究是其焦點(diǎn)問題之一[1]。參考工業(yè)CT的相關(guān)測(cè)量原理，本文設(shè)計(jì)了一種基于均質(zhì)實(shí)體的輪廓切片非接觸三維測(cè)量方法，突破了目前三維非接觸測(cè)量裝置、三維重構(gòu)算法研發(fā)的局限，能對(duì)各種形狀的實(shí)體輪廓進(jìn)行測(cè)量，該方法的研制成功將有著重要的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和廣闊的應(yīng)用前景，并能測(cè)量含有通孔等內(nèi)部輪廓的實(shí)體。

1 基于均質(zhì)實(shí)體的輪廓切片非接觸三維測(cè)量方法工作原理

如圖1所示，任何一個(gè)物體都可以看成是由很多個(gè)平行片層組成，每個(gè)片層都有很多個(gè)微小的正方體組成，一個(gè)微小的正方體稱為一個(gè)單元體素體，則物體是由很多個(gè)單元體素體構(gòu)成的。根據(jù)阿基米德定律：浸在液體里的物體受到向上的浮力，浮力的大小等于物體排開的液體的重量，即浮力的大小與液體的密度和物體排開的液體的體積有關(guān)，而與物體的形狀無關(guān)。

圖1 空間單元體素體表示的圓環(huán)體

本測(cè)量方法利用阿基米德定律, 假設(shè)被測(cè)實(shí)體均質(zhì)并由一個(gè)個(gè)很小的正方體單元實(shí)體組成，所選液體的密度已知，設(shè)計(jì)浮力測(cè)量裝置在精密運(yùn)動(dòng)平臺(tái)驅(qū)動(dòng)下作垂直運(yùn)動(dòng)，液面逐層浸入被測(cè)實(shí)體一定垂直距離（通常取單元體素體的邊長(zhǎng)），利用三維物體的空間單元表示法，可將三維物體離散為有限小的正方體單元的集合，正方體單元沿坐標(biāo)方向?qū)R布置，其質(zhì)量視為單元質(zhì)量1，稱之為實(shí)單元；在被測(cè)實(shí)體每一片層的相應(yīng)位置，1表示正方體單元被填充，即實(shí)體存在，反之空單元以0表示（如圖2所示）。通過電子天平測(cè)量并計(jì)算得到相應(yīng)薄片層的浮力變化值及每片層重力矩等信息，分別對(duì)X、Y、Z三個(gè)方向的測(cè)量、結(jié)合液體密度和力臂等參數(shù)，逐層計(jì)算并提取其質(zhì)量、重心等信息，轉(zhuǎn)換測(cè)量狀態(tài)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理，利用重構(gòu)算法[2]推算出各層面上微小實(shí)體單元在三維坐標(biāo)系中的位置，獲取被測(cè)實(shí)體的三維信息，重構(gòu)出被測(cè)實(shí)體的片層輪廓和三維尺寸。

圖2 正方體單元被填充示意圖

2 測(cè)量方案設(shè)計(jì)及工作過程

根據(jù)測(cè)量工作原理，浮力測(cè)量的精確度直接關(guān)系到最后的重構(gòu)精度，因此測(cè)量關(guān)鍵是如何準(zhǔn)確測(cè)量浮力大小。根據(jù)本方法測(cè)量原理及其重構(gòu)算法，測(cè)量總體方案設(shè)計(jì)如圖3所示。本測(cè)量系統(tǒng)主要包括由平衡系統(tǒng)、精密運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)、液面控制系統(tǒng)、配重系統(tǒng)、精密測(cè)重系統(tǒng)等組成的硬件系統(tǒng)和采集數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)等組成的軟件系統(tǒng)。

由阿基米德定律：浸在液體里的物體受到向上的浮力，浮力的大小等于物體排開的液體的重量：

圖3 測(cè)量方案結(jié)構(gòu)示意圖

式中，F(xiàn)1為被測(cè)物體在液體中受到的浮力，ρ1為液體的密度，V1為排出液體的體積。

要實(shí)現(xiàn)被測(cè)物體每層體積的測(cè)量，除了直接用高精度力傳感器2測(cè)出排出液體的重量，再根據(jù)式(1)算出排出液體的體積外，為了對(duì)潤(rùn)濕效應(yīng)和液體表面張力帶來的影響進(jìn)行補(bǔ)償和修正，還通過設(shè)計(jì)平衡系統(tǒng)，采用杠桿原理對(duì)排出液體重量進(jìn)行測(cè)量，利用高精度力傳感器1測(cè)出每層排出液體后浮力的變化，進(jìn)而算出排出液體的體積，結(jié)合兩次所測(cè)體積值進(jìn)行補(bǔ)償和修正。同時(shí)，建立空間坐標(biāo)系，應(yīng)用杠桿原理可以測(cè)出被測(cè)物體每層的重力矩，從而可以計(jì)算出每層實(shí)體的重心位置。分別對(duì)被測(cè)實(shí)體X、Y、Z三個(gè)方向進(jìn)行測(cè)量，根據(jù)每層算出的體積推算出每層所含單元體素體數(shù)量，結(jié)合每層重力矩信息、重心信息推算出每個(gè)單元體素體的空間位置坐標(biāo)[2]。測(cè)量時(shí)，首先把被測(cè)實(shí)體完全浸入液體中，液體取表面張力系數(shù)很小的混合配制液體，通過配重系統(tǒng)調(diào)節(jié)系統(tǒng)平衡，并保證此時(shí)高精度力傳感器1受力很小，計(jì)算機(jī)軟件對(duì)此自動(dòng)記錄。精密運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)初始狀態(tài)保證容器1中液面處于溢流臨界狀態(tài)。通過高精度力傳感器2把初始重量記錄在計(jì)算機(jī)中。當(dāng)精密運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)帶動(dòng)容器1上升一微小位移時(shí)，容器1排出液體流入容器2中，高精度力傳感器2把流入液體的重量送入計(jì)算機(jī)中，計(jì)算機(jī)算出這層的體積并記錄。同時(shí)，由于液面的變化，系統(tǒng)要維持平衡，則高精度力傳感器1的受力將改變，計(jì)算機(jī)記錄平衡時(shí)的數(shù)值，根據(jù)杠桿各支點(diǎn)的受力和距離關(guān)系可算出該層的重力矩、重心坐標(biāo)和體積。當(dāng)液面逐層上升使高精度力傳感器接近其量程時(shí)，分別啟動(dòng)配重系統(tǒng)進(jìn)行配重，并記錄配重完后各個(gè)狀態(tài)數(shù)值，然后重復(fù)進(jìn)行測(cè)量。

由于所測(cè)浮力要求很高，采用瑞士Metter－Toledo AB203-S電子分析天平1，最大稱量值為220g，測(cè)量精度0.1mg[3]，它通過串口與計(jì)算機(jī)直接相連，用于測(cè)量被測(cè)實(shí)體浸入液體中每薄層所受的浮力。測(cè)量中，橫桿可由力傳感器1和2測(cè)量讀數(shù)判斷其是否處于平衡狀態(tài)。精密運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)采用美國(guó)BAYSIDE LM 系列運(yùn)動(dòng)平臺(tái)[4]，其重復(fù)定位精度達(dá)±5μm，它的作用是通過控制定位平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)工作臺(tái)的定位，精密運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)通過計(jì)算機(jī)根據(jù)PMAC控制指令[5]，控制浮力測(cè)量裝置液面按指定高度逐層浸沒被測(cè)實(shí)體，保證被測(cè)實(shí)體每次浸入容器1中液體的深度都相等。測(cè)力傳感器選用航天科技集團(tuán)703所研制的BK3型電阻應(yīng)變式測(cè)力與稱重傳感器，具有良好的輸出特性和抗偏能力，測(cè)量精度高，安裝使用方便，性能穩(wěn)定可靠，并匹配XSB-I型稱重顯示控制儀，其作用是保護(hù)系統(tǒng)穩(wěn)定和使橫梁處于水平及平衡，從而使配重實(shí)體所受的合力與被測(cè)實(shí)體的重量相當(dāng)，保證被測(cè)實(shí)體測(cè)量的順利進(jìn)行。

3 計(jì)算每一片層的重力矩與重心坐標(biāo)位置的數(shù)學(xué)建模

1）計(jì)算被測(cè)實(shí)體每浸入液體一片層厚度時(shí)排開液體體積和其片層質(zhì)量，對(duì)測(cè)量控制系統(tǒng)工作原理示意圖3中的組件進(jìn)行受力分析，如圖4所示。

圖4 測(cè)量控制系統(tǒng)原理圖各部件受力分析

圖4中G為被測(cè)實(shí)體所受的重力，W、W1分別為配重物和配重系統(tǒng)配重物重力；F浮i1，Ti1分別為被測(cè)實(shí)體在第1位置測(cè)量時(shí)第i層浸入液體中平衡后所受的浮力、拉力；Nil為被測(cè)實(shí)體在第1位置測(cè)量時(shí)第i層浸入液體中平衡后橫桿所受的拉力；T'i1和Tli、Nil和N'i1分別為作用力和反作用力；T天平i1分別為被測(cè)實(shí)體在第1位置測(cè)量時(shí)第i層浸入液體中平衡后天平受到的力，通過天平讀數(shù)計(jì)算得到；L為位置1下掛力作用線距支點(diǎn)距離。L1為天平上下掛懸線與支點(diǎn)距離，L2為配重系統(tǒng)上下掛懸線與支點(diǎn)距離，L3為位置2下掛力作用線與支點(diǎn)距離，ιi、ιi+1分別為在第1位置測(cè)量時(shí)第i層和i＋1層重心與支點(diǎn)距離。

（1）在位置1測(cè)量時(shí)，對(duì)被測(cè)實(shí)體進(jìn)行受力分析，當(dāng)被測(cè)實(shí)體在第i層浸入液體中平衡后，由受力平衡和杠桿平衡，有：

（2）在位置2測(cè)量時(shí)，保持被測(cè)實(shí)體的測(cè)量狀態(tài)不變，只改變測(cè)量位置，當(dāng)被測(cè)實(shí)體在第i層浸入液體中平衡后，由受力平衡和杠桿平衡，有：

當(dāng)被測(cè)實(shí)體在第i＋1層浸入液體中平衡后，由受力平衡和杠桿平衡，有：

當(dāng)被測(cè)實(shí)體在第i＋1層浸入液體中平衡后，由受力平衡和杠桿平衡，有：

由于是同一層不同位置浸入液體中，則 F浮il=F浮i2，由式(6)減去式(3)：

2）計(jì)算每一片層的重心位置

為研究的方便，可取邊長(zhǎng)為單位1的正方體為體素單元，其質(zhì)量為單位1，此正方體單元的重心位于其幾何中心，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為由質(zhì)量單元表示的重量。根據(jù)式(2)和式(7)，有：

式中，mj為第i層相應(yīng)實(shí)單元體素體。

（2）由實(shí)單元體素體定義并根據(jù)二進(jìn)制圖像象素值只取0或1，有：

3）建立空間坐標(biāo)系，由質(zhì)點(diǎn)系重心坐標(biāo)公式，求相應(yīng)片層重心坐標(biāo)。

由于重力作用在物體的每一微小部分上，為一分布力系，工程上通常把物體各微小部分的重力視為空間平行力系。物體的重心即物體重力合力的作用點(diǎn)，相對(duì)于物體本身來說就是一個(gè)確定的幾何點(diǎn)，重心相對(duì)于物體的位置是固定不變的。測(cè)量時(shí)液面逐層浸沒被測(cè)實(shí)體，考慮實(shí)體薄層的重心。由合力矩定理，設(shè)空間直角坐標(biāo)系oxyz，其中z軸平行于物體的重力，設(shè)薄層實(shí)體由許多微小單元（稱為單元體素體）組成。設(shè)第i單元重力為Wi，該實(shí)體重心C在x、y軸的坐標(biāo)為（xc，yc）， 為實(shí)體的總重力，分別求實(shí)體的重力對(duì)x、y軸的矩。將實(shí)體固定在坐標(biāo)系中，隨坐標(biāo)系一起繞x軸旋轉(zhuǎn)90°，使y軸鉛垂向下，對(duì)x軸應(yīng)用合力矩定理，得到薄層實(shí)體重心C的坐標(biāo)（xc，yc，zc）公式為：

同樣，可得其他狀態(tài)時(shí)相應(yīng)片層質(zhì)量與重心等參數(shù)的方程，建立求解數(shù)學(xué)模型聯(lián)立求解，由于未知數(shù)個(gè)數(shù)很多，上述方程組系超定方程，傳統(tǒng)的求解方法難以求解，通過智能計(jì)算聯(lián)立求解，可計(jì)算各層單元體素體質(zhì)量和相應(yīng)坐標(biāo)。

4 結(jié)論

通過實(shí)驗(yàn)分析驗(yàn)證，對(duì)電子天平測(cè)量浮力時(shí)由于液體的波動(dòng)而導(dǎo)致的動(dòng)態(tài)測(cè)量誤差、PMAC平臺(tái)定位誤差引起的測(cè)量誤差、橫梁變形產(chǎn)生的誤差、支點(diǎn)處摩擦與偏移產(chǎn)生的誤差、滾珠絲杠熱變形產(chǎn)生的誤差、環(huán)境溫度變化引起的測(cè)量誤差和液體表面張力引起的測(cè)量誤差等進(jìn)行補(bǔ)償。已經(jīng)能實(shí)現(xiàn)對(duì)被測(cè)實(shí)體的片層輪廓單元體素體（邊長(zhǎng)為0.5mm）的測(cè)量。由于本課題數(shù)學(xué)模型提供的解是在空間坐標(biāo)系下有序的點(diǎn)云圖，利用點(diǎn)云拓?fù)潢P(guān)系，對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。采用快速鄰點(diǎn)搜索、三角網(wǎng)格等方法，利用反求工程CAD建模軟件和方法，可以對(duì)基于有序點(diǎn)云圖的片層輪廓圖形進(jìn)行重構(gòu)，根據(jù)被測(cè)實(shí)體所有片層輪廓進(jìn)而可以實(shí)現(xiàn)其三維重構(gòu)。

[1] 孫宇臣,葛寶臻,張以謨.物體三維信息測(cè)量技術(shù)綜述[J].光電子.激光,2004,2:248-253．

[2] Yong GAN,Ning SUN,Qing-hua KONG.Research On Method of 3D Contour Digital Measurement For Equal-density Entity.Proceedings of ICMEM2007,2007,12:395-400.

[3] 梅特勒－托利多B-S系列天平操作手冊(cè)[Z].Mettler-Toledo instruments(shanghai)Co.

[4] BAYSIDE 精度定位平臺(tái)[Z].北京元茂控制設(shè)備技術(shù)有限責(zé)任公司.

[5] PCOMM32PRO SOFTWARE REFERENCE MANUAL[Z].DELTA TAU Data Systems,Inc.2003.