尹慧芳,黨亞民,鄭作亞,3

(1.中國測(cè)繪科學(xué)研究院大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)研究所,北京100830;

2.山東科技大學(xué)測(cè)繪科學(xué)與工程學(xué)院,山東青島266510;3.海島(礁)測(cè)繪技術(shù)國家測(cè)繪局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東 青島266510)

0 引 言

GPS測(cè)量所用的坐標(biāo)系是WGS-84坐標(biāo)系,實(shí)際應(yīng)用中需要將WGS-84轉(zhuǎn)換為國家大地坐標(biāo)系坐標(biāo)或地方坐標(biāo)系坐標(biāo),這就要進(jìn)行坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法主要有數(shù)值變化方法、基于坐標(biāo)平移量的轉(zhuǎn)換方法以及基于數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換。目前常用的是基于數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換—七參數(shù)轉(zhuǎn)換方法。七參數(shù)轉(zhuǎn)換具有理論依據(jù)強(qiáng)、精度高且適用于大范圍數(shù)據(jù)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等優(yōu)點(diǎn)。

三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的七參數(shù)線性模型對(duì)于旋轉(zhuǎn)角較小時(shí),能滿足一般的精度要求,且計(jì)算過程簡(jiǎn)單,但當(dāng)旋轉(zhuǎn)角較大時(shí)就會(huì)存在較大的模型誤差,嚴(yán)重影響坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的準(zhǔn)確性,無法適用。對(duì)于大旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題,文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]分別提出了三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的非線性方法,有效減小模型誤差對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響,但這些方法都是基于近似的正交性條件方程進(jìn)行求解,結(jié)果不會(huì)很精確?；诜蔷€性最小二乘平差原理[3]求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù),在最小二乘原理的前提下,尋求滿足精確正交性條件方程的解,基本可以消除線性化模型誤差的影響,獲得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù)的精確解。通過模擬算例可以看出非線性最小二乘方法在七參數(shù)的求解精度方面具有一定優(yōu)勢(shì)。

1 迭代求解

三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換七參數(shù)模型為

其中:

若已知三個(gè)公共點(diǎn),即可按照最小二乘原則進(jìn)行平差計(jì)算,求得七參數(shù)的值。計(jì)算時(shí),將求得的轉(zhuǎn)換參數(shù)作為初值重復(fù)進(jìn)行線性化和最小二乘平差的過程,直至滿足某一設(shè)定條件。

2 非線性最小二乘

設(shè)七參數(shù)模型誤差方程式為[5]

如長(zhǎng)江干流安徽無為大堤惠生堤段，堤基為沙基，地面覆蓋土層薄，汛期高水位時(shí)容易形成滲透破壞。1998年、1999年長(zhǎng)江大水，安徽長(zhǎng)江同馬大堤有的堤段堤后二三百米處都出現(xiàn)翻沙鼓水險(xiǎn)情，為了保證堤防的安全，對(duì)很多堤段都采取加做黏土鋪蓋、堤腳填塘、堤后蓋重、增做戧臺(tái)等措施進(jìn)行加固處理。如果在上述范圍內(nèi)種樹，樹根穿透覆蓋層，汛期易形成管涌險(xiǎn)情。

根據(jù)最小二乘原理,所求的最小二乘解應(yīng)滿足:

即滿足非線性方程組[3]

滿足式(6)的解即為式(4)的最小二乘解。將式(6)在近似值x0處泰勒級(jí)數(shù)展開,取至一次項(xiàng)得

W為n×t×t的立體陣;n為觀測(cè)方程個(gè)數(shù);t為必要觀測(cè)數(shù)。

則上式可表示為

上式中的[][]表示立體陣的方括號(hào)乘法。解式(8)可得:

則:

將?x再作為初值x0進(jìn)行迭代計(jì)算,直至δx的一范數(shù)值小于某一確定的閾值為止,即可得最小二乘法則下的最優(yōu)解。

該算法是在最小二乘原則的前提下,尋求滿足精確正交性條件方程的七參數(shù)解,而迭代的非線性參數(shù)平差方法只是滿足近似的正交性條件方程。因此,本文的求解精度會(huì)有一定的提高。

3 模擬算例

借鑒文獻(xiàn)[6]中的模擬數(shù)據(jù)產(chǎn)生方法,先將8個(gè)點(diǎn)的舊坐標(biāo)數(shù)據(jù)(見表1)沿X、Y、Z各平移200 m,400 m、600 m,再分別繞坐標(biāo)軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)10°、20°、30°,尺度參數(shù)假定為1,通過FORTRAN編程得到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后舊坐標(biāo)數(shù)據(jù)在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值(見表1)。

表1 模擬數(shù)據(jù)

根據(jù)文獻(xiàn)[7]中對(duì)公共點(diǎn)選取的結(jié)論,采用分布均勻的1、3、8作為已知公共點(diǎn)求解七參數(shù),求解時(shí)七參數(shù)初值設(shè)置如下:

分別采用第一部分介紹的迭代法和第二部分介紹的非線性最小二乘兩種方法進(jìn)行七參數(shù)的解算,通過FORT RAN語言編寫程序求解7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù),所得結(jié)果見表2。將非線性最小二乘求解的七參數(shù)結(jié)果帶入式(1)進(jìn)行舊坐標(biāo)數(shù)據(jù)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,所得的新坐標(biāo)結(jié)果及其與模擬坐標(biāo)真值的差值見表3。

表2 七參數(shù)計(jì)算結(jié)果

表3 非線性最小二乘求解的新坐標(biāo)及與模擬真值的差值

由表2可見:非線性最小二乘方法通過求解精確的正交性條件方程得到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)值與真實(shí)值完全相符,與迭代求解方法相比精度有所提高(對(duì)于坐標(biāo)平移參數(shù)精度約提高6×10-6m,旋轉(zhuǎn)角的精度平均提高10-6°)。

算例中采用的迭代初值為

說明該方法對(duì)于初值依賴性比較小,即使初值與真值存在較大的偏差時(shí)該算法仍可以收斂到精確的最小二乘解。

由表3的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果可見:該方法在進(jìn)行大旋轉(zhuǎn)角的三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí),坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果與理論真實(shí)值完全相符,證明該方法求解結(jié)果精確可靠,對(duì)于解決大旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題具有重要意義。

4 結(jié) 論

七參數(shù)線性模型僅適用于旋轉(zhuǎn)角較小的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角較大時(shí)無法適用。求解非線性方程組的經(jīng)典方法是迭代解法,即首先將模型進(jìn)行線性化,然后采用迭代法進(jìn)行求解,由于該方法求解時(shí)只是尋求滿足近似正交性方程的解,因此,只能滿足一般精度要求的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題。非線性最小二乘法是在最小二乘的前提下尋求滿足精確正交性條件方程的七參數(shù)解,根據(jù)式(7)可以看出該方法顧及到了線性化過程中的二次項(xiàng),因此,該方法理論上會(huì)比迭代法求解非線性問題具有更好的精度。通過模擬算例的分析結(jié)果可知:該算法對(duì)初值的依賴比較小;能夠精確解決大旋轉(zhuǎn)角的三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題,克服了傳統(tǒng)七參數(shù)線性模型在解決大旋轉(zhuǎn)角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題中的缺陷;通過與迭代法進(jìn)行對(duì)比,可以看出該算法求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)精度略有提高。

[1] 羅長(zhǎng)林,張正錄,鄧 勇,等.基于改進(jìn)的高斯-牛頓法的非線性三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法的研究[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2007,27(1):50-54.

[2] 曾文憲,陶本藻.三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的非線性模型[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)?信息科學(xué)版,2003,28(5):566-568.

[3] 劉國林,姜 巖,陶華學(xué).非線性最小二乘平差[J].測(cè)繪學(xué)報(bào),1998,27(3):224-230.

[4] 黨亞民,成英燕,薛樹強(qiáng).大地坐標(biāo)系統(tǒng)及其應(yīng)用[M].北京:測(cè)繪出版社,2010.

[5] 武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社,2003.

[6] 陳 宇,白征東.基于非線性最小二乘算法的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換[J].大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué),2010,30(2):129-132.

[7] 王玉成,胡伍生.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中公共點(diǎn)選取對(duì)于轉(zhuǎn)換精度的影響[J].現(xiàn)代測(cè)繪,2008,31(5):13-15.