趙樹強,許愛華,蘇 睿,王家松

(1.宇航動力學國家重點實驗室,陜西西安710043;2.中國西安衛(wèi)星測控中心,陜西西安710043)

0 引 言

目前,運載火箭GPS實時定位多采用運動學方法,利用最小二乘法解算火箭的彈道參數(shù),該方法模型簡單,無需了解動態(tài)接收機動力學模型,基本滿足數(shù)據(jù)處理精度要求,但存在彈道參數(shù)隨機差較大的缺陷。在箭載GPS動態(tài)定位中,動態(tài)接收機天線是一個遵循一定規(guī)律不斷變化的動態(tài)系統(tǒng)。在不同時刻對該系統(tǒng)的狀態(tài)進行觀測,各觀測量歷元間存在一定的相互關(guān)系[1],而最小二乘難以充分利用歷元間這些規(guī)律和相互關(guān)系進行數(shù)據(jù)處理。為消除高動態(tài)GPS定位數(shù)據(jù)中的隨機誤差,就必須應用最優(yōu)估計方法將真實的狀態(tài)從各種隨機干擾中實時地估計出來?？柭鼮V波是在線性無偏最小方差估計原理下,導出的一種遞推濾波方法。它引入了狀態(tài)空間的概念,借助系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,根據(jù)前一時刻的狀態(tài)估計和當前時刻的觀測值,遞推估計新的狀態(tài)估值。因此,卡爾曼濾波更適合箭載GPS動態(tài)定位的數(shù)據(jù)處理。利用從GPS衛(wèi)星信號獲得的具有噪聲誤差的離散觀測量序列,建立動態(tài)模型來描述箭載GPS接收機隨運載火箭的運動狀態(tài),其中被估計信號是由白噪聲激勵引起的隨機響應,激勵源與響應之間的傳遞結(jié)構(gòu)已知,量測量與被估計量之間的函數(shù)關(guān)系也已知。因此,在箭載GPS動態(tài)數(shù)據(jù)處理中可將卡爾曼濾波用于GPS數(shù)據(jù)的實時定位,能有效減小彈道參數(shù)的隨機誤差,提高定位精度。

1 箭載GPS動態(tài)濾波數(shù)學建模

箭載GPS實時定位一般都將GPS衛(wèi)星軌道視為已知[1-5],利用觀測值就可以直接求解運動載體的位置速度,而無需任何作用于目標上的作用力的信息。因此,運動載體的動態(tài)模型(狀態(tài)方程),可以用動態(tài)位置、速度和加速度來表示。動態(tài)模型難以用精確的數(shù)學公式表示[3-4],在實際應用中,一般都是在保證一定精度前提下,采用簡化的動態(tài)模型,常用的模型包括常速度、常加速度模型[1-2]。采用哪種模型,取決于運動載體的運動狀態(tài)和采樣率的高低。在高動態(tài)箭載GPS定位中,數(shù)據(jù)采樣率一般都為0.1 s或更高。在此情況下,可采用常加速模型,且假定動態(tài)噪聲為零均值高斯噪聲。

1.1 系統(tǒng)模型的構(gòu)建

動態(tài)方程為

式(1)中,Φk,k-1為非奇異狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移矩陣;Wk-1為系統(tǒng)在tk-1時刻的狀態(tài)噪聲向量,為零均值的高斯白噪聲隨機序列,即

式中:Qk是系統(tǒng)的過程噪聲向量序列Wk的方差矩陣,為對稱非負定矩陣;δkj是 Kronecker-δ函數(shù),其定義為

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

其中:

則系統(tǒng)噪聲方差矩陣為

《雜文月刊》文摘版2018年10月下中姚正安老師寫的《熟人生處》，讀后收益很大。我把這篇文章讓妻子和上大學女兒認真去閱讀，讓她們明白一個很淺顯的道理，這就是家人之間也要“生處”，這樣家才能真正變成溫馨的港灣。

Q﹒ξ為觀測歷元間隔。

1.2 系統(tǒng)測量模型的建立

設箭載GPS接收機在k時刻同步觀測到n顆GPS衛(wèi)星的偽距和偽距率,則觀測矩陣可表示為

線性化方程為

其中:

偽距ρik的非線性公式為

對于多普勒頻移可表示為

2 箭載GPS動態(tài)濾波定位計算分析

利用箭載GPS數(shù)據(jù)進行處理,該數(shù)據(jù)格式為專用格式,采樣間隔為每秒10點。系統(tǒng)加速度噪聲給定(10-5)2,偽距測量噪聲為22,偽距率測量噪聲為0.12,協(xié)方差矩陣的初值給定為

首先對箭載GPS觀測數(shù)據(jù)進行預處理,然后進行最小二乘(LS)計算和卡爾曼動態(tài)濾波,處理流程見圖1所示。

圖1 箭載GPS實時定位濾波流程圖

圖2給出卡爾曼濾波和最小二乘(LS)定位結(jié)果位置分量和速度分量的互差曲線。從圖中可以看出,卡爾曼濾波結(jié)果與LS定位結(jié)果在X、Y、Z方向位置差都在±10 m范圍內(nèi)波動,X、Z方向速度差在±0.5 m/s范圍內(nèi),Y方向速度差在±1.0 m/秒范圍內(nèi)。由此可見,卡爾曼濾波結(jié)果與LS定位結(jié)果吻合度很好。

表1為LS和卡爾曼濾波定位結(jié)果位置分量和速度分量隨機誤差的統(tǒng)計表。圖3為LS和卡爾曼濾波位置分量和速度分量隨機誤差比對曲線。

從表1中可以看出,LS方法得出的GPS定位結(jié)果在X、Y、Z三個方向上的隨機差在1～2 m,而卡爾曼濾波方法能使三個方向的隨機差都大大下降,達到1 cm左右。對于速度分量,卡爾曼濾波方法也能使三個方向上的隨機差減小一個量級。

表1 LS和kalman濾波位置和速度分量隨機誤差的統(tǒng)計表

從圖3中可以明顯看出,卡爾曼濾波方法的隨機差都明顯小于LS方法,而且隨機差分布的更加均勻,這說明運載火箭的GPS接收機在高動態(tài)、高采樣率情況下能較好地匹配均加速模型,適合卡爾曼濾波的解算方法。需要說明的是,統(tǒng)計的隨機誤差較大的地方是彈道特征點附近,接收機在特征點前后測量數(shù)據(jù)有個別失鎖現(xiàn)象,但其統(tǒng)計結(jié)果也優(yōu)于LS方法。

圖4為速度分量局部曲線,從圖中可以看出,卡爾曼濾波解算出的火箭彈道在 X、Y、Z三個方向的速度分量都比LS的結(jié)果更加光滑,更符合火箭彈道的實際飛行情況。

3 結(jié) 論

針對最小二乘在箭載GPS實時定位中的缺陷,研究了箭載GPS動態(tài)定位實時算法,給出了濾波的動態(tài)定位模型,并利用實測數(shù)據(jù)進行了分析計算,從以上結(jié)果分析可以看出,箭載GPS動態(tài)濾波計算的彈道參數(shù)隨機誤差在位置分量減小一個數(shù)量級,速度分量的隨機誤差比最小二乘方法減小至少50%,有效地提高了火箭GPS彈道參數(shù)的精度。同時,與最小二乘相比,動態(tài)濾波不進行迭代運算,矩陣的運算量相對較少。經(jīng)統(tǒng)計驗證,每個歷元的彈道參數(shù)解算都能在10 ms以內(nèi)完成,遠小于10 Hz的采樣間隔時間,能很好滿足實時定位的要求。

本算法能有效抑制高動態(tài)情況下的隨機誤差,具有高精度、低復雜度等特點,可進一步推廣應用于導彈、航天器或飛機試飛等高動態(tài)GPS實時定位中。

[1] 萬德鈞,房建成,王 慶.GPS動態(tài)濾波的理論方法及其應用[M].南京:江蘇科學技術(shù)出版社,2000.

[2] 張守信等.GPS技術(shù)與應用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2004年.

[3] 付夢印,鄧志紅,張繼偉.Kalman濾波理論及其在導航系統(tǒng)中的應用[M].北京:科學出版社,2003年.

[4] 楊元喜,張雙成,高為廣.GPS導航解算中幾種非線性Kalman濾波的理論分析與比較[J].測繪工程,2005,14(3):4-7.

[5] 文援蘭.衛(wèi)星導航系統(tǒng)分析與仿真技術(shù)[M].北京:中國宇航出版社,2009年.