陳慶利 ，蒲亦非，黃 果，周激流

(1. 四川大學計算機學院 成都 610065；2. 樂山師范學院計算機科學學院 四川 樂山 614004)

圖像是記錄和傳遞信息的重要載體和手段，由于多種原因，圖像在生成、傳輸和變換的過程中會產生質量下降和特征淹沒現象，對圖像分析和識別帶來困難。因此，改善圖像的視覺效果，提高圖像清晰度，豐富圖像信息量，加強圖像判讀和機器識別效果，是現代圖像處理的主要內容。數字圖像鄰域內，像素之間的灰度值具有很強的相關性，通常以復雜的紋理特征表現出來。采用基于空域的傳統(tǒng)整數階方法增強圖像的紋理信息，其整數階微分結果約等于零[1-3]，必然會使紋理細節(jié)大幅線性衰減，造成圖像的邊界輪廓、紋理細節(jié)等變得模糊不清[1,4-5]。因此，既要大幅提升圖像邊緣和加強紋理細節(jié)，又要非線性保留平滑區(qū)域，成為圖像增強研究的熱點和難點問題。

分數階微積分是描述分數維空間的有力工具，是分析和處理許多“非”問題、“非”現象，如非線性、非因果、混沌等的數學工具和建模工具，已在非線性動力學、自動化控制以及材料力學等領域得到廣泛應用，特別是在信號的奇異性檢測和提取方面具有特殊的效用[6]。在頻域內，對信號進行分數階微分發(fā)現[7-10]：1) 圖像分數階微分具有特殊的Mach現象[3,5,11]，其拮抗特性具有特殊的生物視覺感受野模型[1-2,4-5,12]；2) 直流或低頻信號的分數階微分值一般不為零，這是分數階微分與整數階微分的最大不同[2,4-5,12-14]。由于數字圖像相鄰像素之間的灰度值具有高度的自相似性，并以復雜的紋理細節(jié)特征作為其表現形式，對信號進行分數階微分處理既能大幅提升信號的高頻分量，又能在一定程度上非線性地加強信號的中頻分量，并非線性地保留信號的低頻和直流分量[1-6,12]。

本文根據Riemann-Liouville分數階積分的定義推導出Riemann-Liouville分數階微分方程，構造出0～1階Riemann-Liouville分數階微分算子；給出8個不同方向上的n×n分數階微分模板規(guī)則，并討論了其數值運算規(guī)則；通過計算不同微分階次下圖像的熵，確定使圖像增強效果最好的微分階次范圍。實驗表明，該分數階微分算子能比較明顯地增強圖像的紋理和邊緣細節(jié)，使增強后的圖像清晰度提高，圖像視覺效果明顯，并且對高斯平滑后的圖像的增強效果也十分明顯。

1 Riemann-Liouville 0～1階分數階微分圖像增強算子構造

圖1 8個方向上的Riemann-Liouville分數階微分模板

圖1中的C0為覆蓋在感興趣點s0=s(x,y)上的模板系數值。根據式(6)，可推導出v階(0

由圖1可知，可逐點移動圖像和Riemann-Liouville分數階微分算子卷積模板，實現數字圖像的分數階微分的空域濾波。與Grümwald-Letnikov微分方法[2,4-6]比較發(fā)現，它們都具有相同的結構，只不過對應位置的微分系數不同而已，因此可采用本文運算規(guī)則構造新的分數階微分/積分算子及其數值運算規(guī)則和對應的電路結構。上述8個方向上的卷積運算規(guī)則分別為：

由于對彩色圖像進行分數階微分且當階次v較大時，對R、G、B各分量的非線性增強幅度會破壞R、G、B這3個分量的相關性[4-5]，分數階微分后的圖像可能會出現色彩失真，而在HSI空間中因只對其中的I分量進行分數階微分，則不會出現色彩失真情況，其數值運算規(guī)則同上。

2 實驗仿真及結果分析

式中，p為圖像直方圖統(tǒng)計結果。

圖2 goldhill灰度圖像Riemann-Liouville分數階微分結果

從視覺效果看，分數階微分后，goldhill圖中屋頂的瓦片、房屋的門窗以及道路上的碎石具有更多的紋理信息，圖像更清晰，如圖3b所示；對圖像進行高斯平滑后，屋頂的瓦片、房屋的門窗等的紋理信息丟失圖像變得模糊，如圖3c所示；經分數階微分后，瓦片、門窗等丟失的的紋理信息恢復，圖像變得甚至比原圖更清晰，如圖3d所示。，因此，分數階微分可在一定上恢復圖像丟失的紋理細節(jié)。

圖3 不同階次下goldhill圖像的熵

從圖3可知，灰度圖像的熵隨著微分階次v的變化而逐漸增大，說明圖像的信息得到增強；但到一定程度后會顯著下降，這是因為當微分階次v增大時，分數階微分對圖像具有較明顯的平滑作用，使圖像的紋理細節(jié)等信息丟失，圖像的熵顯著減小。

通過大量的實驗發(fā)現，對于灰度圖像，可根據圖像熵隨階次v變化的曲線得到使goldhill圖像分數階微分效果最好的微分階次范圍。在該范圍內，圖像微分后的視覺效果和熵信息都相差無幾。因此，根據圖3可大概估計使goldhill圖微分效果最好的階次范圍為0.5～0.55；而對高斯平滑后的圖像，微分效果最好的范圍為0.75～0.82。在本文的實驗中，v分別取0.50和0.80階，恰好在該范圍內。

圖4 彩色圖像的Riemann-Liouville分數階微分結果

對于彩色圖像，由于其包含的信息量遠遠大于灰度圖像的信息量，因此，其分數階微分效果明顯優(yōu)于灰度圖像的微分效果；當分數階微分階次v較大時，對R、G、B各分量的非線性增強幅度會破壞3個分量的相關性，微分后的圖像可能會出現色彩失真，如圖4b所示；而對HSI空間的I分量單獨進行增強，則不會出現色彩失真。由于彩色圖像包含3個通道的信息量，對該3個通道均采用(5×5,0.8)的高斯平滑后，部分通道紋理細節(jié)可能被平滑掉，而其他通道紋理未被平滑掉，因此分數階微分后，這些紋理信息依然能得到很好的增強，如圖4e和圖4f所示。

圖5 不同階次v下彩色圖像的熵

統(tǒng)計彩色圖像的熵，從圖5和圖3可看出，彩色圖像的熵隨著微分階次v的變化同于灰度圖像的熵隨著微分階次v的變化。

大量實驗表明，可根據彩色圖像熵隨階次v變化的曲線得到使圖像微分效果最好的大致的微分階次范圍，但與灰度圖像相比，該范圍應該靠近數值較小的方向，如對于平滑后HSI圖像的增強，由圖5可知，分數階微分階次v越高，其微分效果越差。實驗表明，v=0.9的效果遠不及v=0.79時的效果(如圖4f所示)，這是因為當微分階次較大時，分數階微分對圖像具有較明顯的平滑作用，使圖像的紋理、邊緣等信息丟失。

3 結 論

本文在Riemann-Liouville分數階微分的基礎上構造了0～1階Riemann-Liouville分數階空域微分增強算子，用數字算法實現了該分數階微分算子；并通過不同微分階次下圖像的熵的值確定使圖像增強效果最好的微分階次范圍。仿真實驗表明，該算子能明顯地增強圖像的紋理和邊緣信息，增強后圖像清晰度提高，視覺效果明顯，對高斯平滑后的圖像的增強效果也十分明顯。

[1] 蒲亦非. 將分數階微分演算引入數字圖像處理[J]. 四川大學學報(工程科學版), 2007, 39(3): 124-132.PU Yi-fei. Application of fractional differential approach to digital image processing[J]. Journal of Sichuan University(Engineering Science Edition), 2007, 39(3): 124-132.

[2] 蒲亦非, 王衛(wèi)星. 數字圖像的分數階微分掩模及其數值運算規(guī)則[J]. 自動化學報, 2007, 33(11): 1128-1135.PU Yi-fei, WANG Wei-xing. Fractional differential masks of digital image and their numerical implementation algorithms[J]. Acta Automatica Sinica (China), 2007, 33(11):1128-1135.

[3] 楊柱中, 周激流, 晏祥玉, 等. 基于分數階微分的圖像增強[J] .計算機輔助設計與圖形學學報, 2008, 20(3): 43-348.YANG Zhu-zhong, ZHOU Ji-liu, YAN Xiang-yu, et al.Image enhancement based on fractional differentials[J].Joural of Computer-Aided Design & Computer Graphics,2008, 20(3): 343-348.

[4] PU Yi-fei, WANG Wei-xing, ZHOU Ji-liu, et al. Fractional differential approach to detecting textural features of digital image and its fractional differential filter implementation[J].Science in China Series F: Information Sciences, 2008,51(9): 1319-1339.

[5] PU Yi-fei, ZHOU Ji-liu, YUAN Xiao. Fractional differential mask: a fractional differential-based approach for multiscale texture enhancement[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 2010, 19(2): 491-511.

[6] ANH V V, MCVINISH R. Fractional differential equations driven by Lévy noise[J]. Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 2003, 16(2): 97-119

[7] ALMEIDA L B.. The fractional Fourier transform and time-frequency representations[J]. IEEE Trans on Signal Process, 1994, 42(11): 3084-3091.

[8] LOHMANN A. W. Image rotation, wigner rotation, and the fractional Fourier transform[J]. J Opt Soc Amer, 1993,10(10): 2181-2186.

[9] OZAKTASH M, ZALEVSKY Z, KUTAY M A. The fractional fourier transform with applications in optics and signal processing[M]. New York: Wiley, 2000: 201-220.

[10] 袁曉, 陳向東, 李齊良, 等. 微分算子與子波構造[J]. 電子學報, 2002, 30(5): 769-773.YUAN Xiao, CHEN Xiang-dong, LI Qi-liang, et al.Differential operator and the construction of wavelet[J].Acta Electronica Sinica, 2002, 30(5): 769-773.

[11] 蒲恬, 倪國強, 李熙瑩. 基于視覺神經元ON-OFF模型的圖像增強[J]. 中國圖象圖形學報: A版, 2003, 8(5):522-526.PU Tian, NI Guo-qiang, LI Xi-ying. Image enhancement based onthe ON-OFF model of visual neurons[J]. Journal of Image and Graphics: A, 2003, 8(5): 522-526.

[12] MATHIEU B, Melchior P, OUSTALOUP A, et al.Fractional di-erentiation for edge detection[J]. Signal Processing, 2003, 83(2003): 2421-2432.

[13] KEITH B O, SPANIER J. The FRACTIONAL CALCULUS: THEORY AND APPLICATIONS OF DIFFERENTIATION AND INTEGRATION TO ARBITRARY ORDER[M]. New York: Academic Press,1974.

[14] KENNETH S M. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations[M]. New York: A Wiley-Interscience Publication, 1993.