王宏偉，趙國慶，王玉軍，鮑 丹，朱 燕

(1. 西安郵電學院通信與信息工程學院 西安 710121; 2. 西安電子科技大學電子對抗研究所 西安 710071)

傳統(tǒng)的時頻分析方法有短時傅里葉變換(STFT)、滑動DFT和滑窗FFT等[1-4]。STFT受測不準原理制約，時、頻分辨率較差；單點滑動DFT運算速度快，但數(shù)據(jù)不能在時域加窗以減小頻譜泄露[5-9]；滑窗FFT由于使用了技術(shù)成熟的FFT器件，運算速度較DFT快，但只能計算離散頻率點的頻譜[10]。在實時二維時頻分析中，有時只需要分析一段時間內(nèi)的某一中心頻率附近的局部頻譜，如果用滑窗FFT實現(xiàn)，則只能計算出全部離散頻譜。

本文提出的受控遞歸算法，不僅時間分辨率和頻率分辨率可調(diào)可控，而且所分析頻率在頻率軸上可以選取任意實數(shù)值。該算法具有運算速度快，數(shù)據(jù)存儲量少，時頻參數(shù)測量精度高等特點。文中給出的IIR濾波器組內(nèi)基本遞歸單元可獨立增減和使用，也可和現(xiàn)有的信號處理工具、算法配合使用，為各種應用系統(tǒng)的智能化、開放式設(shè)計提供了堅實的基礎(chǔ)。

1 滑窗FFT算法的結(jié)構(gòu)

圖1a為滑窗FFT算法的結(jié)構(gòu)圖，時域數(shù)據(jù)流加窗后經(jīng)過FFT模塊，以N點為單元分段作FFT運算(N為窗口寬度，每一段數(shù)據(jù)稱為一幀)，時域數(shù)據(jù)流被源源不斷地轉(zhuǎn)化為頻域數(shù)據(jù)流?；癋FT的數(shù)學表達式為：

式中，s(n)為輸入的時域數(shù)據(jù)；w(i)為窗函數(shù)，窗口的寬度決定了參與運算的一幀時域數(shù)據(jù)長度；n為時刻點，決定參與運算的時域數(shù)據(jù)幀的起始位置；k為信道號或離散頻率；y(n,k)表示n時刻第k個信道輸出的頻域復信號，代表信號在離散頻率點k處的傅里葉變換系數(shù)。N個系數(shù)共同構(gòu)成n時刻N長時域數(shù)據(jù)對應時間段內(nèi)的頻譜分布，隨著n的推移(數(shù)據(jù)幀滑移)，不同時刻點的頻譜共同構(gòu)成信號二維時頻分布?；诨癋FT算法的頻譜分析相當于將全局頻段fs(采樣頻率)均勻地劃分為N個離散頻譜(信道)，其輸出值(譜線)從唯一的通路中依次串形輸出，相鄰譜線間隔fs/N。

滑窗FFT運算和短時傅里葉變換(STFT)不完全相同，滑窗FFT運算的窗口長度不必受“短時”限制，工作時相鄰數(shù)據(jù)幀間大部分數(shù)據(jù)是重疊的。

圖1 滑窗FFT算法的串入串出結(jié)構(gòu)

2 遞歸算法的結(jié)構(gòu)

圖2 遞歸算法的串入并出結(jié)構(gòu)

圖2的并行結(jié)構(gòu)有兩個特點，一個是邏輯上相鄰的信道對應到物理上的通路不一定要相鄰，即各通路間是相互獨立的；另一個是從宏觀上看，器件規(guī)模龐大，但每一路迭代運算只需要一個加法器、一個乘法器和一個鎖存器，通路內(nèi)部器件簡單，各通路結(jié)構(gòu)相同，易于集成使用，數(shù)據(jù)存儲量少，資源占用量與工作參數(shù)的變化無關(guān)。

遞歸算法建立在有限長數(shù)據(jù)的離散時間傅里葉變換基礎(chǔ)上，因此具有許多和離散傅里葉變換相似的性質(zhì)。

1) 線性性質(zhì)：遞歸算法屬于線性變換，不會產(chǎn)生新的頻率分量，不會受交叉項干擾。

2) 周期性：周期為fs。

3) 對稱性：在0～fs范圍內(nèi)實信號的頻譜以fs/2中心對稱，計算時只考慮主區(qū)間0～fs/2即可。

3 基于遞歸算法的IIR濾波器結(jié)構(gòu)

3.1 基本遞歸單元的原理圖和功能框圖

單一通路又稱為基本遞歸單元(或細胞)。根據(jù)式(6)給出基本遞歸單元的原理圖和功能框圖如圖2所示。

圖2 基本遞歸單元(細胞)的原理圖和功能框圖

3.2 常用功能結(jié)構(gòu)圖

由于單一通路所分析頻率f可以在頻率軸上選擇任意實數(shù)頻率，且參數(shù)n(時刻值)和N(循環(huán)迭代次數(shù))也可以獨立選取，所以從理論上講，整個二維時頻譜的計算完全可以由單一通路完成。但是，為了提高時頻分析效率，一般需要多個通路(細胞)集成為不同結(jié)構(gòu)的IIR濾波器組來完成某些功能，濾波器組內(nèi)各通路并行工作，通路數(shù)目M根據(jù)需要可獨立增減。

圖3 IIR濾波器組常用功能結(jié)構(gòu)圖

4 仿真實驗

實驗1 受控遞歸算法與滑窗FFT算法比較。

滑窗FFT算法與離散頻率(即fs/N的整數(shù)倍頻率)點的受控遞歸算法比較，無論是幅度頻譜圖還是相位頻譜圖都完全相同，驗證了受控遞歸算法的正確性。但是基于受控遞歸算法的圖3a結(jié)構(gòu)內(nèi)部各通路并行運算，每單個通路的運算量只有200次復乘(加)，則受控遞歸算法的運算量也僅有200次復乘(加)，而滑窗FFT算法需要近1 600次復乘(加)，若N很大，則受控遞歸算法的計算量減少更明顯。

圖4 滑窗FFT算法與受控遞歸算法比較圖

實驗2 頻譜細化及頻域參數(shù)測量

為了進一步分析頻譜細節(jié)，調(diào)整圖3a結(jié)構(gòu)的各通路頻率，對準有信號(或感興趣)的局部頻段進行頻譜細化分析。局部頻段分析時，各通路頻率設(shè)置可參考：

圖5 頻譜細化及頻域參數(shù)精確測量

系統(tǒng)可根據(jù)實際需要，有選擇地計算任何時刻起點的一幀N長時域數(shù)據(jù)的任意局部頻段的近似連續(xù)譜線或離散譜線，比只能計算全部離散譜線的滑窗FFT算法更加經(jīng)濟有效，更加靈活。

實驗3 二維時頻分析及時域參數(shù)實時測量

在二維時頻圖分析中，系統(tǒng)可以根據(jù)各路輸出結(jié)果，調(diào)整工作參數(shù)。在顯示器上觀察不同參數(shù)條件下信號實時動態(tài)變化的特點。系統(tǒng)也可以在脫機條件下，針對信號特點，尋找最佳工作參數(shù)并精確測量時頻參數(shù)。

圖6 二維時頻動態(tài)分析圖

式中，n0為研究開始時刻點；M為所利用的通路數(shù)目；nm,j表示第m路細胞第j級流水作業(yè)時數(shù)據(jù)幀的起始時刻點。

控制參數(shù)：各路所分析頻率均為f0=20 MHz，d=1，N=200，n0=0，各通路數(shù)據(jù)幀起始時刻按式(8)和式(9)設(shè)置。將不同級流水作業(yè)的結(jié)果拼接后，得到載頻f0=20 MHz的脈沖信號時域參數(shù)測量圖如圖7所示。

圖7 時域參數(shù)實時測量圖

實驗4 時間分辨率和頻率分辨率調(diào)整

遞歸運算的頻率分辨率Δf和時間分辨率Δt受采樣頻率fs、窗口寬度N(等于循環(huán)迭代次數(shù))、窗函數(shù)形狀等因素的影響[3]。Δf正比于fs/N，Δt反比于fs/N。N變大，頻域分辨率提高，而時域分辨率下降，二者仍然受制于“測不準原理”。

圖8 參數(shù)N對時間分辨率和頻率分辨率的影響

5 結(jié) 束 語

本文提出的受控遞歸算法非常適合對局部頻段實時地進行時頻分析和參數(shù)測量。系統(tǒng)應根據(jù)某種規(guī)則做出控制參數(shù)的調(diào)整與設(shè)置，使系統(tǒng)在保證實時性、時間分辨率、頻率分辨率、時頻參數(shù)測量精度等性能指標時統(tǒng)籌調(diào)度資源，協(xié)調(diào)工作。

[1] TSUI J. 寬帶數(shù)字接收機[M]. 2版. 楊小牛, 陸安南, 金飚, 譯. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2002.TSUI J. Digital techniques for wideband receivers (Second Edition) [M]. 2nd ed. Translated by YANG Xiao-niu, LU An-nan, JIN Biao. Beijin: Publishing House of Electronics Industry, 2002.

[2] 王小龍. DFT和交替DFT調(diào)制濾波器組設(shè)計算法研究[D].西安：西安電子科技大學, 2008.WANG Xiao-long. Design algorithms of DFT and interleaved DFT modulated filter banks[D]. Xi’an: Xidian University, 2008.

[3] DRESSLER K. Sinusoidal extraction using an efficient implementation of a multi-resolution FFT[C]//Proceedings of Ninth International Conference on Digital Audio Effects.Canada: Digital Media, 2006.

[4] TOMIOKA T, TOMIZAWA T, KOBAYASHI T. Highsensitivity carrier sensing using overlapped FFT for cognitive radio transceivers[C]//VTC Spring, 2009. [S.l.]:[s.n.], 2009.

[5] JACOBSEN E, LYONS R. The sliding DFT[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2003, 20(3): 74-80.

[6] 黃寒華. 關(guān)于滑動DFT算法中的頻譜泄漏問題的探討[J].現(xiàn)代電子技術(shù), 2007, 24: 201-203.HUANG Han-hua. An exploration of the sliding DFT spectral leakage[J]. Modern Electronics Technique, 2007, 24:201-203.

[7] 黃寒華. 實時譜分析的優(yōu)化算法——滑動DFT[J]. 金陵科技學院學報, 2006, 24: 202-204.HUANG Han-hua.The optimized algorithm of real-time spectral analysis—sliding DFT[J]. Journal of Jinling Institute of Technology, 2006, 24: 202-204.

[8] LOPEZ-RISUENO G, GRAJAL J, SANZ-OSORIO A.Digital channelized receiver based on time-frequency analysis for signal interception[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2005, 41(3): 879-898.

[9] LOPEZ-RISUENO G, GRAJAL J, YESTE-OJEDA O A, et al. Two digital receivers based on time-frequency analysis for signal interception[C]//International Conference on Radar (Radar 2003). Adelaide, Australia: [s.n.], 2003:394-399.

[10] 劉平, 靳成英, 陳曾平. 一種基于短時FFT的寬帶數(shù)字接收機設(shè)計[J]. 信號處理, 2008, 24(6): 988-991.LIU Ping, JIN Cheng-ying, CHEN Zeng-ping. A short-time FFT based design for wide band digital reconnaissance receiver[J]. Signal Processing, 2008, 24(6): 988-991.