詹 鵬，秦開宇，蔡順燕

(1. 電子科技大學空天科學技術(shù)研究院 成都 611731; 2. 西華師范大學物電學院 四川 南充 637002)

功率放大器是通信系統(tǒng)中的重要組成部分，非線性是其固有的特性，功放的非線性會導(dǎo)致輸出信號頻譜擴展，從而對鄰信道產(chǎn)生干擾，增大通信系統(tǒng)誤碼率。而QAM、OFDM等具有高頻譜利用率的新興調(diào)制和傳輸技術(shù)具有非恒定包絡(luò)、寬頻帶和高峰平比等特點，這些特點決定了必須采用高線性度的功放。于是，人們提出了許多功放線性化方法，常用的有功率回退、前饋、負反饋、預(yù)失真等。預(yù)失真的原理是在功率放大器之前加入一個與功放非線性特性相逆的預(yù)失真器，從而使整個系統(tǒng)呈現(xiàn)出線性特性。其中，數(shù)字預(yù)失真技術(shù)具有穩(wěn)定、高效、寬帶寬與自適應(yīng)等優(yōu)勢，能達到中等程度的線性化，是比較有前途的一種線性化技術(shù)[1]。

為得到預(yù)失真器的模型參數(shù)，數(shù)字預(yù)失真常采用直接型和間接型學習結(jié)構(gòu)。直接學習結(jié)構(gòu)不能直接使用經(jīng)典的自適應(yīng)學習算法，而只能選用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、隨機搜索、多方向搜索[2]等學習算法；間接學習結(jié)構(gòu)有兩種：1) 直接逆間接學習結(jié)構(gòu)，其缺點是求得的預(yù)失真器模型參數(shù)易受功放系統(tǒng)噪聲的影響；2) 基于模型識別的間接學習結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)求得的預(yù)失真器模型的精度取決于功放模型的精度及其逆模型算法的誤差。為了克服常用的預(yù)失真結(jié)構(gòu)的缺點，提高預(yù)失真線性化性能，文獻[3-4]根據(jù)經(jīng)典的LMS算法，推導(dǎo)出一種基于NFxLMS的預(yù)失真結(jié)構(gòu)；文獻[5]提出了一種高效預(yù)失真結(jié)構(gòu)，可顯著提高預(yù)失真的性能。

本文從無記憶功放的非線性變換特性出發(fā)，經(jīng)理論推導(dǎo)證明：信號依次通過預(yù)失真器和功放系統(tǒng)，在保持輸出結(jié)果不變且放大倍數(shù)為1的前提下，預(yù)失真器和功放這兩個非線性系統(tǒng)的順序可交換，該結(jié)論證明了直接逆間接學習結(jié)構(gòu)的正確性。針對直接逆間接學習結(jié)構(gòu)和直接學習結(jié)構(gòu)的缺點，本文提出一種新的預(yù)失真方法，該方法只需要兩次簡單的LMS自適應(yīng)算法，就可獲得使預(yù)失真線性化性能更佳的預(yù)失真器模型參數(shù)。最后，將該方法推廣到有記憶效應(yīng)的情況。仿真結(jié)果表明，本文提出的預(yù)失真學習結(jié)構(gòu)是正確的，與直接逆間接學習結(jié)構(gòu)相比，能進一步提高預(yù)失真的線性化性能，且所需的運算量較低，易于在硬件上實現(xiàn)。

1 預(yù)失真學習結(jié)構(gòu)

1.1 直接學習結(jié)構(gòu)

直接學習結(jié)構(gòu)是將預(yù)失真器輸出經(jīng)非線性放大后與期望信號比較，用所得誤差去調(diào)節(jié)預(yù)失真器的參數(shù)。直接學習結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示。

圖1 直接學習結(jié)構(gòu)

圖中的功放非線性系統(tǒng)是指由D/A轉(zhuǎn)換器、上變頻調(diào)制器、射頻功放、衰減器、正交解調(diào)器和A/D轉(zhuǎn)換器所組成的系統(tǒng)，即把從預(yù)失真器輸出到反饋回來的通路看作一個整體的非線性系統(tǒng)，且除射頻功放外不考慮其他部分的非線性。通常，該非線性系統(tǒng)包含一個加性噪聲(如放大器的熱噪聲，反饋支路的正交解調(diào)器、A/D轉(zhuǎn)換器等都會引入噪聲)，且該噪聲通常與功放輸入和輸出信號是不相關(guān)的。設(shè)該噪聲n0的均值為0，方差為δ2，則經(jīng)功放輸出后的反饋信號為：

其中，E{·}表示取期望值。由于直接學習結(jié)構(gòu)在算法的輸出端插入了功放，此時的均方誤差不是關(guān)于權(quán)值向量W的二次性能函數(shù)，可能存在局部最優(yōu)解。若直接用經(jīng)典的基于梯度的LMS自適應(yīng)算法，根據(jù)權(quán)值向量初始值選取的不同，會出現(xiàn)算法不收斂或不能收斂到最優(yōu)解的情況，即無法保證一定能收斂到全局最優(yōu)解。如果LMS自適應(yīng)算法收斂到全局最優(yōu)解，則該解將逼近Wiener解：

式中，W0為理想的預(yù)失真器模型參數(shù)權(quán)值向量；R為輸入向量U的自相關(guān)矩陣；P為期望信號與輸入信號的互相關(guān)向量，且：

由式(2)和式(3)可知，加性噪聲會影響均方誤差的值，但不會影響收斂到全局最優(yōu)的Wiener解。

由以上分析可知，采用LMS算法的直接學習結(jié)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單和抗噪聲的特點，若算法收斂到全局最優(yōu)解，則可得到接近理想值的預(yù)失真器模型參數(shù)，相應(yīng)的其預(yù)失真效果就會很好。但其缺點是不能保證一定能收斂到全局最優(yōu)解。所以，該預(yù)失真學習結(jié)構(gòu)常選用隨機搜索、啟發(fā)式算法等來獲取全局最優(yōu)的預(yù)失真器參數(shù)，導(dǎo)致算法收斂速度慢或者是計算過于復(fù)雜，阻礙了其在工程實際中的應(yīng)用。

1.2 間接學習結(jié)構(gòu)

常用的間接型學習結(jié)構(gòu)有直接逆間接學習結(jié)構(gòu)[6-9]和基于模型識別的間接學習結(jié)構(gòu)[10]。本文介紹的直接逆間接學習結(jié)構(gòu)，如圖2所示。該結(jié)構(gòu)用功放輸出反饋回的信號作為自適應(yīng)算法的輸入，將輸入功放前的信號作為期望信號，算法收斂后所得的模型為功放的逆模型，最后將學習到的逆模型參數(shù)直接復(fù)制到預(yù)失真器中。

李萍剛走出陳建偉的店鋪，就聽到陳建偉隔著馬路喊，“你的服裝廠啥時候開業(yè)，別忘了賞我口飯吃啊?！崩钇夹α?，她的話他都記得。不是他記性多好，只因說的那個人是她。就像他對她的好和情，她都懂。

考慮加性噪聲的影響，此時自適應(yīng)算法的輸入信號包含了加性噪聲的y(n)，而輸入向量U由y(n)組成，故噪聲會影響輸入向量U，從而影響了輸入相關(guān)矩陣R和互相關(guān)向量P，所以由式(3)可知，算法收斂后所逼近的Wiener解會受到加性噪聲的影響而偏離理想值。加性噪聲n0越強，用該結(jié)構(gòu)所求得的逆模型參數(shù)與理想逆模型參數(shù)的偏差就越大，從而導(dǎo)致預(yù)失真的效果變差。

圖2 直接逆間接學習結(jié)構(gòu)

由以上分析可知，直接逆間接學習結(jié)構(gòu)可用經(jīng)典的自適應(yīng)學習算法實現(xiàn)，但缺點是加性噪聲會使學習到的逆模型參數(shù)偏離最佳值，從而使預(yù)失真的效果變差。此外，采用該結(jié)構(gòu)需滿足可交換性(即預(yù)失真器與功放系統(tǒng)順序可變換)。

2 預(yù)失真器和功放系統(tǒng)可交換性原理

對于無記憶的功放非線性系統(tǒng)，常用AM/AM和AM/PM變換來描述其非線性特性。設(shè)預(yù)失真器的AM/AM和AM/PM變換函數(shù)為A1(r)和Φ1(r)，功放的AM/AM和AM/PM變換函數(shù)為A2(r)和Φ2(r)，它們都是關(guān)于信號幅度r的函數(shù)。若輸入信號為x=rejθ，則信號經(jīng)預(yù)失真器處理后變?yōu)椋?/p>

AM/AM變換函數(shù)A1(·)和A2(·)都是關(guān)于輸入信號幅度的非線性函數(shù)，可用關(guān)于輸入信號幅度的實系數(shù)多項式來表示。為使式(11)成立，需要滿足k=1(即放大倍數(shù)為1)，且要求AM/AM變換函數(shù)A1(·)和A2(·)互為逆運算的函數(shù)，在直角坐標系中，它們是關(guān)于直角坐標系對角線y=x對稱的函數(shù)。在放大倍數(shù)為1的前提下，只要功放的AM/AM變換函數(shù)A2(·)確定，就一定能找到其對應(yīng)的逆函數(shù)A1(·)使式(11)成立。

AM/PM變換函數(shù)Φ1(·)和Φ2(·)是關(guān)于輸入信號幅值的函數(shù)，同樣可用關(guān)于輸入信號幅度的實系數(shù)多項式來表示。由前面的條件得出A1(·)和A2(·)是互逆的函數(shù)，若令A(yù)2(r)=u，則A1(A2(r))=A1(u)=r，故換元后的式(13)變成：

為了使r和u的取值范圍相同，功放的非線性變換函數(shù)A2(·)的最大輸出應(yīng)不超過最大輸入(可通過調(diào)節(jié)衰減器對功放系統(tǒng)幅度變換特性進行歸一化調(diào)整)。將換元后的式(14)與式(12)比較，發(fā)現(xiàn)兩式是等效的，所以，在函數(shù)A1(·)和A2(·)互為逆的前提下，式(12)和式(13)只需要滿足其中之一就可以了。因函數(shù)A2(·)和Φ2(·)是由特定的非線性功放所確定，而預(yù)失真器的AM/AM變換函數(shù)A1(·)由函數(shù)A2(·)確定，所以，根據(jù)已知條件及式(12)就能夠確定預(yù)失真器的AM/PM變換函數(shù)Φ1(·)。

由以上分析可知，包括AM/AM和AM/PM變換的兩個非線性系統(tǒng)(預(yù)失真器和功放系統(tǒng))，若其中一個系統(tǒng)的非線性特性是確定的，則存在一個對應(yīng)的非線性逆系統(tǒng)，使兩個非線性系統(tǒng)交換次序后其輸出結(jié)果相等(輸出相對與輸入都保持線性特性，且放大倍數(shù)為1)，逆系統(tǒng)的非線性變換特性函數(shù)由式(11)和式(12)唯一確定。

3 一種新的預(yù)失真學習結(jié)構(gòu)

上面證明了預(yù)失真器和功放系統(tǒng)是可交換的，采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)來獲取預(yù)失真器的模型參數(shù)是可行的。但該結(jié)構(gòu)容易受到功放非線性系統(tǒng)加性噪聲的影響，從而使預(yù)失真效果變差，而直接學習結(jié)構(gòu)則能克服該弱點，其缺點是采用經(jīng)典的LMS自適應(yīng)算法時，無法保證一定能收斂到最優(yōu)解。如果能將兩種結(jié)構(gòu)的優(yōu)點結(jié)合起來(前提是不需要復(fù)雜的計算)，則可使預(yù)失真效果得到進一步的提升。對此，本文提出一種直接學習結(jié)構(gòu)和間接學習結(jié)構(gòu)相結(jié)合的方法，在獲得較好預(yù)失真效果的同時又不至于使計算太復(fù)雜。

圖3為新的預(yù)失真學習結(jié)構(gòu)框圖，該結(jié)構(gòu)采用兩次LMS自適應(yīng)算法來獲取預(yù)失真器的模型參數(shù)。首先工作的是自適應(yīng)算法1(如虛線框中所示)，開關(guān)S置向1端，自適應(yīng)算法2不工作，此時的學習結(jié)構(gòu)即是上文介紹的直接逆間接學習結(jié)構(gòu)，雖然該結(jié)構(gòu)獲得的逆模型參數(shù)與理想值有一定偏差，但還是靠近于最佳模型參數(shù)，在加性噪聲不至于太大的情況下，獲得的預(yù)失真器模型參數(shù)已跳出了局部最優(yōu)的范圍，考慮到直接學習結(jié)構(gòu)有抗噪聲的優(yōu)點，則可在直接逆間接學習結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上用直接學習結(jié)構(gòu)對學習到的預(yù)失真器模型參數(shù)進行修正。于是，在自適應(yīng)算法1收斂以后，就改用直接學習結(jié)構(gòu)(此時開關(guān)置向2端，自適應(yīng)算法2開始工作)，并用算法1收斂后的權(quán)值向量作為算法2權(quán)值向量的初始值。

圖3 新的預(yù)失真學習結(jié)構(gòu)

在直接學習結(jié)構(gòu)中，由于自適應(yīng)算法的輸出端插入了一個非線性功放系統(tǒng)，使得均方誤差不再是關(guān)于權(quán)值向量的二次函數(shù)，存在多個局部最優(yōu)解，若用梯度類的LMS算法則無法保證一定能收斂到全局最優(yōu)解，所以，在該結(jié)構(gòu)中不能直接使用經(jīng)典的自適應(yīng)算法。本文提出的預(yù)失真結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)算法2可以直接使用經(jīng)典的LMS算法，因為首先采用了直接逆間接學習結(jié)構(gòu)，得到了與最佳值比較接近的權(quán)值向量，已經(jīng)跳出了局部最優(yōu)解(前提是功放非線性系統(tǒng)的加性噪聲不至于太大)，此時用基于梯度搜索的LMS算法，并用已獲得的權(quán)值向量作為初始值，就可使預(yù)失真器的模型參數(shù)更加接近于最佳值，從而克服加性噪聲帶來的影響。該方法在結(jié)合直接逆間接學習結(jié)構(gòu)和直接學習結(jié)構(gòu)各自優(yōu)點的同時，沒有使計算的復(fù)雜度大幅提高，只使用了兩次經(jīng)典的LMS自適應(yīng)學習算法，就可使預(yù)失真效果得到提升。

4 包含記憶效應(yīng)的預(yù)失真

下面將本文提出的新的預(yù)失真方法推廣到有記憶效應(yīng)的情況。記憶效應(yīng)系統(tǒng)常用的非線性模型有Volterra級數(shù)模型[6]、Wiener模型、Hammerstein模型[7-8]、記憶多項式模型[9]等。Wiener模型和Hammerstein模型都是由兩個子系統(tǒng)構(gòu)成，其中，Wiener模型由LTI系統(tǒng)(線性時不變系統(tǒng))串聯(lián)一個無記憶非線性系統(tǒng)構(gòu)成，Hammerstein模型由無記憶非線性系統(tǒng)串聯(lián)一個LTI系統(tǒng)構(gòu)成。LTI系統(tǒng)具備可交換性，且上文已證明了無記憶非線性系統(tǒng)的可交換性。在Wiener系統(tǒng)和Hammerstein系統(tǒng)的無記憶非線性系統(tǒng)和LTI系統(tǒng)都互為逆的情況下，Wiener系統(tǒng)和Hammerstein系統(tǒng)的順序可交換，所以本文所提出的預(yù)失真方法在含有記憶效應(yīng)的情況下同樣適用?？捎肏ammerstein模型作為預(yù)失真器模型，Wiener模型作為功放的失真模型。

Hammerstein模型的無記憶非線性部分可以用復(fù)系數(shù)多項式表示：

式中，ckq=akbq。經(jīng)化簡后的Hammerstein模型成了記憶多項式的形式，就可把對參數(shù)ak和bq的識別轉(zhuǎn)化為對參數(shù)ckq的識別，所以可將Hammerstin模型用記憶多項式模型代替，從而降低模型參數(shù)獲取的復(fù)雜性。

由以上分析可知，在包含記憶效應(yīng)的預(yù)失真線性化系統(tǒng)中，預(yù)失真器和功放系統(tǒng)同樣是可交換的，同樣可采用本文提出的學習結(jié)構(gòu)來獲取預(yù)失真器的模型參數(shù)，且用記憶多項式模型作為預(yù)失真器的模型，從而可以避開Hammerstein模型中的兩個子系統(tǒng)參數(shù)識別所帶來的復(fù)雜的計算，降低在工程實際應(yīng)用中的難度。

5 仿真結(jié)果及其分析

5.1 無記憶預(yù)失真

為驗證本文提出的預(yù)失真方法的正確性，在Matlab中對預(yù)失真效果進行仿真。當不考慮記憶效應(yīng)時，采用Saleh 模型作為功放失真模型，采用復(fù)系數(shù)多項式作為預(yù)失真器模型(見式(15))，預(yù)失真自適應(yīng)算法采用LMS算法，用16QAM調(diào)制的OFDM信號作為測試信號。分別采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)和本文提出的結(jié)構(gòu)獲取預(yù)失真器的模型參數(shù)，當算法收斂后，得到的預(yù)失真器的非線性特性曲線如圖4所示。其中，理想的幅度和相位逆特性函數(shù)由式(11)和式(12)得出。從圖4中可以看出，采用本文提出的結(jié)構(gòu)得到的預(yù)失真器的特性與理想的功放逆特性比較接近，而采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)時的相對誤差較大。

圖4 功放、預(yù)失真器的非線性特性

為驗證本文提出的預(yù)失真結(jié)構(gòu)的抗噪聲性能，在加上不同強度加性噪聲的情況下，對加上預(yù)失真后功放輸出信號的鄰信道功率比進行仿真，仿真結(jié)果如圖5所示。隨著噪聲強度的增大，采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)時的鄰信道功率比急劇上升，帶外失真增大，說明采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)時，功放系統(tǒng)的加性噪聲對獲取的預(yù)失真器的模型參數(shù)影響比較大，而采用本文所提出的預(yù)失真結(jié)構(gòu)則受噪聲影響比較小，當加性噪聲增大時，鄰信道功率比變化不大，依然表現(xiàn)出很好的帶外失真抑制性能。

當存在加性噪聲時，加入預(yù)失真前后的星座圖如圖6所示。從圖中可以看出，未加預(yù)失真時的星座圖變得模糊并產(chǎn)生了偏轉(zhuǎn)，加上預(yù)失真后星座圖變得清晰了。采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)時，由于加性噪聲的影響，預(yù)失真的補償效果是有限的，采用本文提出的預(yù)失真時的星座圖相對要清晰些，其預(yù)失真效果更好。

圖5 鄰信道功率比仿真

圖6 星座圖仿真

5.2 含記憶效應(yīng)的預(yù)失真

當存在記憶效應(yīng)時，用記憶多項式模型作為預(yù)失真器模型，用Wiener模型作為帶記憶的功放失真模型。Wiener失真模型的LTI部分采用FIR濾波器，其傳遞函數(shù)為：

Wiener失真模型的無記憶非線性部分采用Saleh模型，OFDM信號作為測試信號，當功放非線性系統(tǒng)存在加性噪聲時，加入預(yù)失真前后的輸出信號的功率譜密度如圖7所示。圖中曲線a和d分別是未加預(yù)失真和未失真時的功率譜密度，曲線b和c分別是采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)和本文提出結(jié)構(gòu)時的功率譜密度。從仿真結(jié)果可以看出，在功放非線性系統(tǒng)存在加性噪聲的情況下，加上預(yù)失真后能抑制帶外頻譜的擴展，且與采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)相比，本文提出的預(yù)失真結(jié)構(gòu)的效果更好，其抗噪聲能力強。

為驗證本文所提出的預(yù)失真方法在包含記憶效應(yīng)情況下的可靠性，對加上預(yù)失真前后系統(tǒng)的誤比特率(BER)進行了仿真。誤比特率曲線如圖8所示。從圖中可以看到，加上預(yù)失真后誤比特率明顯降低，且采用本文提出的預(yù)失真結(jié)構(gòu)的誤比特率低于采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)的情況。

圖7 加入預(yù)失真前后的功率譜

圖8 誤比特率(BER)仿真圖

6 結(jié) 論

本文從AM/AM和AM/PM非線性變換出發(fā)，經(jīng)理論推導(dǎo)證明：在放大倍數(shù)為1的條件下，將信號以不同順序通過預(yù)失真器和功放系統(tǒng)，能得到相同的線性輸出結(jié)果，即預(yù)失真器和功放系統(tǒng)兩個非線性系統(tǒng)的順序可交換，解釋了采用直接逆間接學習結(jié)構(gòu)能夠達到預(yù)失真效果的原因。提出一種將直接學習結(jié)構(gòu)和直接逆間接學習結(jié)構(gòu)相結(jié)合的預(yù)失真學習結(jié)構(gòu)，使預(yù)失真的非線性補償效果得到提升。最后，將該預(yù)失真結(jié)構(gòu)推廣到包含記憶效應(yīng)的情況，并采用記憶多項式模型代替Hammerstein模型，簡化了模型參數(shù)識別的復(fù)雜性。仿真結(jié)果表明，本文提出的預(yù)失真方法是正確的，與直接逆間接學習結(jié)構(gòu)相比，該方法擁有直接學習結(jié)構(gòu)的特點，能克服加性噪聲的影響，提高預(yù)失真的補償效果，同時其算法也不復(fù)雜，在工程實際中易實現(xiàn)。

[1] QIU J X, ABE D K, ANTONSEN T M, et al. Linearizability of TWTAs using predistortion techniques[J]. IEEE Transactions on Electron Devices, 2005, 52: 718-727

[2] FENG Yong-sheng, JIA Chun-Ling, LIU Yuan-an. An adaptive optimization algorithm applicable for predistortion RF power Amplifier[C]//2006 International Conference.Guilin, China: [s.n.], 2006.

[3] ZHOU D Y, DEBRUNER V E. Novel adaptive nonlinear predistorters based on the direct learning algorithm[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(1): 120-133.

[4] LI G, EMAD A E, GERNOT K. A simplified predistorter for distortion compensation of parallel wiener-type systems based on direct learning architecture[C]//2009 IEEE 13th Digital Signal Processing Workshop and 5th IEEE Signal Processing Education Workshop. Marco Island, FL, United States: IEEE, 2009.

[5] 錢業(yè)青. 一種高效的用于RF功率放大器線性化的自適應(yīng)預(yù)失真結(jié)構(gòu)[J]. 通信學報, 2006, 27(5): 35-40.QIAN Ye-qing, High-efficient adaptive predistortion structure for RF power amplifier linearization[J]. Journal on Communications, 2006, 27(5): 35-40.

[6] EMAD A E, LI G, GERNOT K. Distortion compensation of nonlinear systems based on indirect learning architecture[C]//2008 3rd International Symposium on Communications, Control, and Signal Processing. St Julians,Malta: [s.n.], 2008.

[7] 曹新容, 黃聯(lián)芬, 趙毅峰. 一種基于Hammerstein 模型的數(shù)字預(yù)失真算法[J]. 廈門大學學報(自然科學版), 2009,48(1): 1031-1034.CAO Xin-rong, HUANG Lian-fen, ZHAO Yi-feng. An effective algorithm based on hammerstein digital predistortion model[J]. Journal of Xiamen University(Natural Science), 2009, 48(1): 1031-1034.

[8] EMAD A E, LI, G. Adaptive predistortion of hammerstein systems based on indirect learning architecture and prediction error method[C]//ICSES 2008 International Conference on Signals and Electronic Systems, Proceedings.[S.l.]: [s.n.], 2008.

[9] DING L, MA Z X, MORGAN D R, et al. A least-squares newton method for digital predistortion of wideband signals[J]. IEEE Transactions on Communicaions, 2006,54(5): 833-840.

[10] MONTORO G, GILABERT P L, BERTRAN E, et al. A new digital predictive predistorter for behavioral power amplifier linearization[J]. IEEE Microwave and Wireless Components Letters, 2007, 17(6): 448-450.