邢煥革，邱 原

（海軍工程大學(xué)，湖北 武漢 430033）

軍事力量部署是形成有利的軍事態(tài)勢(shì)，贏得戰(zhàn)場(chǎng)主動(dòng)權(quán)，支配戰(zhàn)場(chǎng)形勢(shì)，實(shí)現(xiàn)軍事目的的前提條件和中心任務(wù)，對(duì)作戰(zhàn)全局具有重要意義。戰(zhàn)爭(zhēng)實(shí)踐表明，軍事力量部署直接影響軍隊(duì)的作戰(zhàn)能力。軍事力量部署就是對(duì)軍事力量在空間或時(shí)間上進(jìn)行最有利的組合，在合適的時(shí)機(jī)和合理的空間位置上，使之相互配合、支援、策應(yīng)，同時(shí)又可牽制、分散、動(dòng)搖敵軍。實(shí)際上，軍事力量部署在空間位置上的相互配合、支援、策應(yīng)，就是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一種基本形態(tài)。本文運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，將軍事力量部署進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浠?，通過(guò)分析計(jì)算網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的組成來(lái)研究軍事力量在空間部署的合理性，以定量的方式從整體上研究軍事力量部署，進(jìn)行有益的研究和探索。

1 軍事力量部署網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)描述

運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論對(duì)軍事力量部署進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)特征描述，關(guān)鍵在于如何體現(xiàn)各軍事力量單元在空間部署上的相互配合、支援和策應(yīng)的關(guān)系。依據(jù)網(wǎng)絡(luò)理論，將分布在不同地域的軍事力量單元作為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)，將軍事力量單元連接為整體的公路或鐵路稱為網(wǎng)絡(luò)的邊。因此，將軍事力量部署在空間上相互配合、支援、策應(yīng)的關(guān)系可以通過(guò)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行描述。為研究問(wèn)題的方便性，本文只討論陸上軍事力量部署情況。

定義由節(jié)點(diǎn)集V=( v1,v2,···,vn)和邊集E=( e1, e2,··,en)組成網(wǎng)絡(luò) G =( V,E)。其中，節(jié)點(diǎn) vi表示部署在不同地域上的軍事力量單元； eij表示軍事力量單元(vi, vj)在空間位置上相互配合、支援和策應(yīng)的關(guān)系。如果它們之間有公路或鐵路連接，則這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有邊相連，否則無(wú)邊（這里假設(shè)任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間只有一條邊相連）。因此，對(duì)軍事力量部署網(wǎng)絡(luò)的基本特征有如下認(rèn)識(shí)：

1）若網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間只有一條邊存在，可以認(rèn)為此網(wǎng)絡(luò)為無(wú)環(huán)的連通網(wǎng)絡(luò)；

2）分布在不同地域之間的軍事力量單元可以通過(guò)公路或鐵路形成相互配合、支援、策應(yīng)關(guān)系，由此確定網(wǎng)絡(luò)的邊是雙向的，可以等效為無(wú)向網(wǎng)絡(luò)；

3）雖然部署在不同地域上的軍事力量單元之間的距離不同，但為了研究軍事力量部署空間上的合理性，本文不研究軍事力量部署時(shí)機(jī)的影響，因此可以認(rèn)為此網(wǎng)絡(luò)的邊是無(wú)權(quán)重的。

2 軍事力量部署網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)數(shù)學(xué)模型及計(jì)算流程

2.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的概念

不同地域之間的軍事力量單元在空間上相互配合、支援和策應(yīng)的關(guān)系表現(xiàn)為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)之間的相互關(guān)聯(lián)性，特別是部署的主力更是網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，而相互配合、支援和策應(yīng)的軍事力量單元之間的這種關(guān)系表現(xiàn)為相互連通的節(jié)點(diǎn)之間存在著重要的依存關(guān)系。這種重要的依賴關(guān)系主要存在于相鄰（也就是直接相連的節(jié)點(diǎn)）節(jié)點(diǎn)之間。因此，在網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中如何尋找關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)是本文研究的重點(diǎn)。

關(guān)于度量網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)重要程度的特征參量有不少[1-3]，如節(jié)點(diǎn)的度、平均路徑、聚集系數(shù)、介數(shù)等，但都存在不能從全局、整體上衡量節(jié)點(diǎn)重要程度的問(wèn)題[4-6]。為此，本文運(yùn)用節(jié)點(diǎn)度的概念和節(jié)點(diǎn)介數(shù)的概念定義網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，并構(gòu)建計(jì)算關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型。

由節(jié)點(diǎn)集V=(v1,v2,···,vn)和邊集E=(e1,e2,···,en) 所組成的網(wǎng)絡(luò)G=(V,E)。節(jié)點(diǎn)vi的度指的是與相鄰節(jié)點(diǎn)連接的數(shù)目，即該節(jié)點(diǎn)連接的邊數(shù)。

節(jié)點(diǎn)vi和vj之間的距離dij定義為這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最短路徑的邊數(shù)。如果vi和vj之間不存在連接，則節(jié)點(diǎn)vi和vj之間的距離dij→∞。

節(jié)點(diǎn)vi的介數(shù)表示為：假設(shè)節(jié)點(diǎn)對(duì)vj和vk之間的最短路徑有Ljk條。其中有Ljk(i)條經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)vi，經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)vi的最短路徑數(shù)Ljk(i)在節(jié)點(diǎn)對(duì)vj和vk之間的所有最短路徑數(shù)Ljk中所占的比例為L(zhǎng)jk(i)Ljk，節(jié)點(diǎn)vi的介數(shù)Bi是指把經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)vi對(duì)所有節(jié)點(diǎn)所占比例累加起來(lái)再除以節(jié)點(diǎn)對(duì)的總數(shù)，可以用式（1）表示。

式中n表示的是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的總數(shù)。

節(jié)點(diǎn)vi的度表征了節(jié)點(diǎn)之間具有一定的依存關(guān)系，而孤立的節(jié)點(diǎn)彼此之間不存在這種重要性的依賴關(guān)系。節(jié)點(diǎn)之間一旦建立起連接，某個(gè)節(jié)點(diǎn)的存在與否可能對(duì)另一個(gè)或多個(gè)節(jié)點(diǎn)的重要性產(chǎn)生重大影響。星形網(wǎng)絡(luò)的中心節(jié)點(diǎn)就是最明顯的例子。如圖1所示，如果將星形網(wǎng)絡(luò)的中心節(jié)點(diǎn)去掉，則剩下的節(jié)點(diǎn)之間就失去聯(lián)系，成為孤立的節(jié)點(diǎn)，其重要性明顯降低。

圖1 星形網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

因此，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的度在一定程度上表示了該節(jié)點(diǎn)的影響力和重要程度，度越大的節(jié)點(diǎn)，其影響力也就越大，在網(wǎng)絡(luò)中的作用也越大，對(duì)其相鄰節(jié)點(diǎn)的影響也越大。同時(shí)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)的介數(shù)也反映了該節(jié)點(diǎn)為網(wǎng)絡(luò)提供控制能力，而且很多情況下節(jié)點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑是唯一的。所以節(jié)點(diǎn)介數(shù)越大，移除此節(jié)點(diǎn)后網(wǎng)絡(luò)直徑變大的可能性就越大，即網(wǎng)絡(luò)整體性能下降。而節(jié)點(diǎn)的介數(shù)反映了該節(jié)點(diǎn)對(duì)網(wǎng)絡(luò)資源的控制能力，節(jié)點(diǎn)的介數(shù)越大，表明網(wǎng)絡(luò)中任意節(jié)點(diǎn)對(duì)經(jīng)過(guò)該節(jié)點(diǎn)的次數(shù)越多，對(duì)網(wǎng)絡(luò)資源的控制能力越強(qiáng)，在網(wǎng)絡(luò)中的起到關(guān)鍵或中心作用，對(duì)其相鄰節(jié)點(diǎn)的影響也越大?？梢?jiàn)，節(jié)點(diǎn)的介數(shù)一定程度上反映了節(jié)點(diǎn)的重要程度。因此，網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)取決于兩個(gè)因素：節(jié)點(diǎn)的拓?fù)淇臻g位置和節(jié)點(diǎn)的度。節(jié)點(diǎn)的度反映了節(jié)點(diǎn)的重要程度，介數(shù)反映了節(jié)點(diǎn)的控制能力。由這兩個(gè)特征可以決定該節(jié)點(diǎn)在整體網(wǎng)絡(luò)中的地位，即是否為關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

2.2 網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)有的節(jié)點(diǎn)重要性評(píng)價(jià)方法主要是通過(guò)比較移除節(jié)點(diǎn)前后網(wǎng)絡(luò)性能的變化情況，而對(duì)于節(jié)點(diǎn)的移除可能造成的網(wǎng)絡(luò)被分割的情況需要區(qū)別對(duì)待，有時(shí)難以很直觀地表達(dá)清楚。將節(jié)點(diǎn)的度與節(jié)點(diǎn)的介數(shù)結(jié)合起來(lái)確定網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，相當(dāng)于同時(shí)利用了節(jié)點(diǎn)的位置信息和度的信息，計(jì)算結(jié)果可能更加接近真實(shí)情況。

網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的方法：是將節(jié)點(diǎn)vi的介數(shù)作為該節(jié)點(diǎn)的初值，由于該節(jié)點(diǎn)有鄰居節(jié)點(diǎn)存在，因此這些鄰居節(jié)點(diǎn)通過(guò)相連方式對(duì)節(jié)點(diǎn)vi的介數(shù)具有支持作用，其支持作用的大小與鄰居節(jié)點(diǎn)的介數(shù)有關(guān)。為此，將鄰居節(jié)點(diǎn)的介數(shù)與度之間的比值作為對(duì)節(jié)點(diǎn)vi介數(shù)支持的大小。因此，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)vi的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)值Si的數(shù)學(xué)模型如式（2）所示。

式中，δij表示節(jié)點(diǎn)vi和vj是相鄰節(jié)點(diǎn)的時(shí)取值為1，否則取值為0。從式（2）可以看出，一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)其相鄰節(jié)點(diǎn)的影響與此節(jié)點(diǎn)本身的介數(shù)和度的大小有關(guān)。

2.3 網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)計(jì)算流程

本文所提出的依據(jù)節(jié)點(diǎn)介數(shù)和相鄰節(jié)點(diǎn)影響來(lái)確定該節(jié)點(diǎn)的重要性主要評(píng)估流程如下：

1）確定節(jié)點(diǎn)vi的度Di；

2）確定網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)對(duì)vj和vk之間的最短路徑有Ljk條；

3）確定網(wǎng)絡(luò)中所節(jié)點(diǎn)對(duì)vj和vk之間的最短路徑經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)vi有Ljk(i)條；

4）計(jì)算節(jié)點(diǎn)vi的介數(shù)Bi；

5）計(jì)算節(jié)點(diǎn)vi鄰居節(jié)點(diǎn)的支持力；

6）計(jì)算vi的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)度量值Si；

7）比較網(wǎng)絡(luò)上所有節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度量值的大小，確定關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。

3 案例分析

下面以1948年遼沈戰(zhàn)役前雙方軍事力量部署情況，針對(duì)本文所提出的方法來(lái)分析。

如圖2所示，解放戰(zhàn)爭(zhēng)進(jìn)入到1948年秋，中國(guó)大陸的軍事形勢(shì)發(fā)生了重大變化。當(dāng)時(shí)東北守?cái)持饕Σ渴鹑缦拢河舌嵍磭?guó)率2個(gè)軍共10萬(wàn)人防守長(zhǎng)春，鉗制東北野戰(zhàn)軍主力向南機(jī)動(dòng)；由范漢杰率4個(gè)軍共15萬(wàn)人防守山海關(guān)、綏中、興城、錦西、錦州、義縣等北寧鐵路沿線城鎮(zhèn)及秦皇島、葫蘆島兩海港，主力防守錦州、錦西地區(qū)，維護(hù)東北與關(guān)內(nèi)陸上及海上聯(lián)系；由衛(wèi)立煌率7個(gè)軍共30萬(wàn)人防守沈陽(yáng)及鐵嶺、撫順、本溪、遼陽(yáng)、遼中、新民等外圍據(jù)點(diǎn)，作為防御中樞，以確保沈陽(yáng)并支援錦州、長(zhǎng)春方面的作戰(zhàn)。敵軍總的企圖是集中兵力，重點(diǎn)守備，以牽制東北我軍于關(guān)外。

圖2 軍事力量部署示意

針對(duì)敵軍的軍事力量部署，東北野戰(zhàn)軍如何選擇攻擊點(diǎn)是當(dāng)時(shí)決策的重點(diǎn)。運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論將上述軍事力量部署進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)化，如圖3所示。

圖3 軍事力量部署網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

通過(guò)運(yùn)用本文提出的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)計(jì)算方法所得到的結(jié)果如表1所示。從表1計(jì)算結(jié)果中可以很清楚發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中的軍事力量部署的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)分別為v9（錦州）、v12（錦西）、v14（山海關(guān)）、v3（沈陽(yáng)）、v8（新民）、v17（北平）和v15（天津）。通過(guò)割裂這些網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系，可使網(wǎng)絡(luò)發(fā)生崩潰或網(wǎng)絡(luò)功能顯著降低。實(shí)際上，從作戰(zhàn)的實(shí)際情況來(lái)看，當(dāng)時(shí)敵方軍事力量部署的重點(diǎn)正是在錦州、錦西、山海關(guān)，其次是沈陽(yáng)、新民以及天津、北平等地方。因此，要從戰(zhàn)役全局上實(shí)現(xiàn)遼沈戰(zhàn)役的企圖，錦州是重要的戰(zhàn)略要點(diǎn)。同時(shí)，要攻占錦州，錦西與山海關(guān)之間、錦州與錦西之間、沈陽(yáng)與新民之間的守?cái)呈侵匾淖钃舻攸c(diǎn)。在實(shí)際作戰(zhàn)中，在這些地方就有著名的黑山阻擊戰(zhàn)、塔山阻擊戰(zhàn)等。運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論分析的結(jié)果與當(dāng)時(shí)中央決策是相一致的，表明本文所提出的方法具有一定的應(yīng)用參考價(jià)值。

表1 軍事力量部署關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)計(jì)算表

4 結(jié)束語(yǔ)

軍事力量部署的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)表征了部署軍事力量單元對(duì)整個(gè)作戰(zhàn)態(tài)勢(shì)的影響程度。本文運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，定義了軍事力量部署網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浠蟮年P(guān)鍵節(jié)點(diǎn)概念，在此基礎(chǔ)上提出了基于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)度和介數(shù)綜合數(shù)學(xué)模型來(lái)評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)關(guān)鍵度量值數(shù)學(xué)模型及基本算法流程。本文所研究的方法僅是一個(gè)初步的嘗試，還有許多問(wèn)題需要進(jìn)一步研究。針對(duì)力量部署單元關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的力量調(diào)整是下一步研究的重要內(nèi)容。

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