關(guān)軼峰,李鐵壽,郭建新
(1.北京控制工程研究所,北京 100190;2.空間智能控制技術(shù)重點實驗室,北京 100190)
點位控制,也稱點到點的控制,即要求系統(tǒng)的輸出由初始位置機動至目標(biāo)位置.這種點位控制在航天器控制、機器人控制及其他工業(yè)生產(chǎn)中是非常常見的.一般來說,控制器設(shè)計者希望系統(tǒng)輸出能以較快的速度到達(dá)指定位置,并在該位置處盡快穩(wěn)定下來.國內(nèi)外學(xué)者對此進(jìn)行了大量的研究工作,如文獻(xiàn)[1]給出了模糊邏輯控制律,文獻(xiàn)[2]設(shè)計了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制算法.對于工程設(shè)計人員而言,通常選用簡單的常系數(shù)狀態(tài)反饋控制律.但是由于其系數(shù)是定常的,這種控制律很難同時滿足快速性與穩(wěn)定性能之間的要求.
為解決上述矛盾,文獻(xiàn)[3]給出一種非線性積分的控制方法,文獻(xiàn)[4]也給出一種變控制器系數(shù)的方法,這兩中方法都沒有給出穩(wěn)定性的證明.文獻(xiàn)[5]提出一種非線性微分的控制方法,這種方法只適用于雙積分環(huán)節(jié).本文在文獻(xiàn)[5]基礎(chǔ)上,提出一種非線性控制律設(shè)計方法,將被控對象擴展至高階線性定常系統(tǒng).控制效果得到進(jìn)一步提高,而且還分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,解決了快速性與在目標(biāo)位置處盡快穩(wěn)定之間的矛盾.文章最后給出了數(shù)學(xué)仿真結(jié)果,驗證了該方法的有效性.
圖1 輸出曲線示意圖
基于上述思想設(shè)計雙積分環(huán)節(jié)的非線性微分控制律[5]
圖2 非線性微分控制示意圖
非線性微分控制律的根本思想在于,如何得到如圖2所示的控制律,并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.在式(1)中存在輸出速度的符號項sgn(),系統(tǒng)輸出可能會出現(xiàn)振顫現(xiàn)象.下面設(shè)計的控制律,避免了該問題的出現(xiàn).
基于雙積分環(huán)節(jié)的非線性微分控制思想,本節(jié)將其方法推廣至高階線性定常系統(tǒng)的點位控制中.
SISO能控線性定常系統(tǒng)
控制律為
其中,狀態(tài)反饋控制
其中xe=x-xr,xr為期望狀態(tài),K為狀態(tài)反饋矩陣.基于文獻(xiàn)[5]中的非線性微分控制設(shè)計思想,設(shè)計針對系統(tǒng)(2)的非線性控制
其中ye=y-yr,yr為期望輸出;f( x)>0(i=1,2,3).非線性控制(5)的設(shè)計是在狀態(tài)反饋控制(4)的基礎(chǔ)上,根據(jù)輸出來調(diào)節(jié)控制輸入,避免系統(tǒng)振蕩,達(dá)到快速收斂的效果.控制律(5)中的X與狀態(tài)變量相關(guān),同時兼顧閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,其構(gòu)造形式及穩(wěn)定性證明,如定理1所示.
定理1.SISO能控線性定常系統(tǒng)(2),基于控制律(3)和(4),存在非線性控制(5),使得由式(2)~(5)組成閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.
證明.定理的證明兼有構(gòu)造性,即如何求得式(5)中的X.不失一般性,設(shè)零點為系統(tǒng)的平衡點,即xr=0,xe=x.由式(2)~(5)組成閉環(huán)系統(tǒng)
構(gòu)造正定 Ляпунов 函數(shù) V(x)=xTPx ,則有
構(gòu)造X=xTPb,則
從上述分析過程總結(jié)高階線性定常系統(tǒng)非線性控制律設(shè)計過程:
(1)求取狀態(tài)反饋矩陣K使A-bK是穩(wěn)定的;
(2)尋找正定對稱矩陣P,使得 ( A-bK)TP+P( A-bK)=Q為負(fù)定,可取Q=-I;
(3)由(2)中求得的P構(gòu)造X=xTPb,得到非線性微分控制律(5)的形式.
幾點說明:
(1)非線性微分控制律是在狀態(tài)反饋控制基礎(chǔ)上來改善穩(wěn)定性能,因此狀態(tài)反饋的設(shè)計對最終的控制效果有一定影響.
(2)Q矩陣選取的不同,控制律的形式將有所不同.文獻(xiàn)[5]給出了雙積分環(huán)節(jié)的非線性微分控制律,如果按本文的非線性控制律設(shè)計過程也是可以得到的,只是Q矩陣不再是 -I.
考慮3階線性定常系統(tǒng)
其中xe=x-xr,xr=[100]T為期望狀態(tài),K=[511]為狀態(tài)反饋矩陣.
設(shè)計非線性微分控制器
各參數(shù)意義見第2節(jié).輸出期望值yr=1,k1=10,k2=0.1,k3=1.仿真結(jié)果如圖3~6所示,圖3和4為狀態(tài)反饋輸出及控制輸入,圖5和6為加入非線性微分后的輸出及控制輸入.仿真結(jié)果顯示了非線性微分在改善系統(tǒng)動態(tài)性能方面的作用.
線性定常系統(tǒng)在點位控制中,常規(guī)線性狀態(tài)反饋控制不能同時實現(xiàn)系統(tǒng)的快速性與良好的穩(wěn)定性能.本文將文獻(xiàn)[5]中提及的非線性微分控制方法推廣至高階線性定常系統(tǒng)的控制,并給出穩(wěn)定性證明.仿真結(jié)果表明了該方法在改善系統(tǒng)動態(tài)性能方面的有效性.
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