喬宗敏

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥 230039）

應(yīng)用型背景下的《常微分方程》課程改革研究

喬宗敏

（合肥師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，安徽 合肥 230039）

應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下，傳統(tǒng)課程體系、教學(xué)方法和手段都要進(jìn)行深刻的改革。常微分方程理論具有較強的應(yīng)用性，對培養(yǎng)學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識有很大的幫助，因此研究常微分方程課程改革有重要的意義。本文從六個方面對常微分方程課程改革的內(nèi)容及教學(xué)方法進(jìn)行了一些實踐與探索。

常微分方程；改革；應(yīng)用能力

按照學(xué)院應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)的要求，新的人才培養(yǎng)方案已經(jīng)實施，為了把應(yīng)用型的理念落到課程，應(yīng)用型的課程體系和課程內(nèi)容的改革勢在必行。如何用新的思路去改進(jìn)教學(xué)方法，如何將新知識新方法注入教學(xué)中成為“常微分方程”課程教學(xué)面臨的新課題。圍繞培養(yǎng)“應(yīng)用型人才”的需要，我們擬對常微分方程課程進(jìn)行教學(xué)改革，以重視學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位為前提，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐創(chuàng)新能力。堅持“精講基礎(chǔ)，注重應(yīng)用，提高能力”的教育改革模式，培養(yǎng)具有良好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能應(yīng)用微分方程研究和解決一些基本的實際問題。

目前教學(xué)中存在的問題［1］：面臨學(xué)時普遍壓縮的局面，在教學(xué)內(nèi)容的處理方面，只注重講授微分方程的基本概念、基本理論及其解法，而不講或略講常微分方程模型的建立方法及方程的實際意義。事實上，很多的常微分方程反映的是物理、力學(xué)、生物、化學(xué)及氣象中的關(guān)系模型等，弄清楚這些具體問題對于培養(yǎng)學(xué)生對常微分方程的學(xué)習(xí)興趣是極其重要的。課堂教學(xué)上往往呈現(xiàn) “老師在上面講，學(xué)生在下面記”的情形．這樣的教學(xué)完全忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，扼殺了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力；在習(xí)題的解答上也是老師代替學(xué)生獨立思考問題使學(xué)生形成“為了考試和學(xué)分而讀書”的不良局面．靈活性不夠，授課方式單一，忽略了課堂教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為中心。也面臨著學(xué)時減少與教學(xué)內(nèi)容不變的矛盾．也有一個觀點認(rèn)為，按給的學(xué)時來上課，講到哪里就算哪里，其余的讓學(xué)生自學(xué)．然而，根據(jù)以往的經(jīng)驗，如果老師沒有講的內(nèi)容，絕大多數(shù)學(xué)生不會自己去看，何況很多內(nèi)容如果沒有教師的指導(dǎo)，學(xué)生自己是看不懂。教學(xué)內(nèi)容的處理不太合理，有些定理的證明過程往往是很重要的，但是由于時間關(guān)系，教師往往會略去一些復(fù)雜的證明，導(dǎo)致學(xué)生的掌握一知半解。

常微分方程課程改革與建設(shè)的主要目標(biāo)為制定課程標(biāo)準(zhǔn)和課程大綱，修訂教學(xué)計劃，優(yōu)化課程體系結(jié)構(gòu)，整合、更新教學(xué)內(nèi)容，全面進(jìn)行課程建設(shè)，改進(jìn)教學(xué)方法，整體提高教學(xué)質(zhì)量。課堂教學(xué)將始終貫穿知識的應(yīng)用，不再是完全理論的學(xué)習(xí)，而是與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系，把方程在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用充分的體現(xiàn)出來，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。同時完善課程的課件，改進(jìn)教學(xué)手段。課程改革和建設(shè)的基本思路和主要措施有：

1 課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)大綱的制定

新的教學(xué)大綱，在教學(xué)大綱中要貫徹保證三基（基本理論、基本方法、基本技能），培養(yǎng)學(xué)生的能力，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，努力提高學(xué)生的素質(zhì)。以能力培養(yǎng)為導(dǎo)向，與培養(yǎng)目標(biāo)完善關(guān)于教材的使用意見、課程體系的理論框架。主要圍繞該課程各知識之間的緊密聯(lián)系進(jìn)行重新整合，使得各個知識點形成一個有機整體。新課程標(biāo)準(zhǔn)中突出以應(yīng)用為目的，以“夠用”為度的教學(xué)原則，在內(nèi)容上和教學(xué)時數(shù)上主要體現(xiàn)在以下幾個方面：適當(dāng)壓縮教學(xué)課時、突出應(yīng)用設(shè)計理念、優(yōu)化組合內(nèi)容。教學(xué)大綱按照“基礎(chǔ)理論＋應(yīng)用模塊”的設(shè)計思路，打破原有的理論知識體系，按照能力取向和知識的特點設(shè)計組織課程單元，每個單元按照“問題的提出－問題的分析－問題解決－程序?qū)崿F(xiàn)”編排，充分融入數(shù)學(xué)建模思想，提高課程的學(xué)習(xí)效果。

2 更新教學(xué)內(nèi)容

根據(jù)教學(xué)大綱確定的理論體系和知識單元，合理組織教學(xué)內(nèi)容，對傳統(tǒng)教材內(nèi)容作適當(dāng)?shù)木幣拧⒃鰷p，保證課程體系更科學(xué)，在內(nèi)容選擇上更適合學(xué)生的能力應(yīng)用能力的培養(yǎng)。對常微分方程教材的內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化，大體上應(yīng)包含下列主要內(nèi)容［2］：求通解的各種方法——初等積分法；線性方程、線性方程組的基本理論和初等解法；初值問題解的一般基礎(chǔ)理論；一般非線性方程（組）的定性方法初步介紹（包括穩(wěn)定性理論初步）。在教學(xué)中適當(dāng)刪減理論性偏強，過程煩瑣的定理證明，多增加應(yīng)用性的例題和題目，例如利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型方面的例題，利用現(xiàn)代計算機數(shù)學(xué)軟件去解微分方程及方程組等方面的知識，引導(dǎo)是學(xué)生通過學(xué)習(xí) Matlab、Mathematic、Maple等數(shù)學(xué)軟件來驗證一些微分方程的理論上的求解方法，使學(xué)生在的理論水平和實踐能力都得到了提高。根據(jù)具體章節(jié)內(nèi)容還可以選擇適當(dāng)?shù)陌咐?xì)菌增長模型、生物種群生態(tài)模型、SIR傳染病模型、懸鏈線問題、戰(zhàn)爭模型、數(shù)學(xué)擺的穩(wěn)定性問題等。由于課程的應(yīng)用面越來越廣泛，與其他課程之間的聯(lián)系日益緊密，組織教學(xué)內(nèi)容始終貫穿知識的應(yīng)用，不再是完全理論的學(xué)習(xí)，而是與現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系。同時，在教學(xué)中貫穿知識關(guān)聯(lián)，了解微分方程與各課程之間的緊密聯(lián)系，為后繼課程（如數(shù)學(xué)建模、微分幾何、數(shù)學(xué)方程、泛函分析等）的學(xué)習(xí)服務(wù)。

3 倡導(dǎo)問題解決的教學(xué)模式

不少學(xué)生在學(xué)習(xí)微分方程時，不知道有什么用途，缺乏學(xué)習(xí)的動力和興趣，導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門非?？菰锏膶W(xué)科。數(shù)學(xué)建模的思想為我們提供了一種對常微分方程改革的思路，就是要把常微分方程的教學(xué)與數(shù)學(xué)建模結(jié)合起來，在常微分方程教學(xué)中滲透建模思想，這樣不但可以使學(xué)生了解常微分方程建立的背景、方法和實際意義，而且還能提高學(xué)生將常微分方程、計算機等方面的知識應(yīng)用于實踐的能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。課堂教學(xué)中貫穿微分方程知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，結(jié)合典型的微分方程模型，讓學(xué)生初步掌握用微分方程建立數(shù)學(xué)模型。從實際問題出發(fā)建立具體微分方程模型，然后抽象為一般微分方程模型；從實例的求解方法分析到一般求解方法的提煉，進(jìn)一步分析解的性質(zhì)；從數(shù)學(xué)思想的直觀理解到嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理、論證；抽象數(shù)學(xué)理論體系與實際應(yīng)用的關(guān)系；這些是課堂教學(xué)的改革方向。純粹的理論分析與計算機輔助教學(xué)和學(xué)習(xí)相結(jié)合的關(guān)系，實現(xiàn)課程與技術(shù)的完美融合。課堂講授采用計算機多媒體進(jìn)行教學(xué)，從問題的提出入手，重點在于對問題進(jìn)行理論分析，建立微分方程模型，在過程中展示理論知識的巨大作用，利用網(wǎng)絡(luò)積極采用“教學(xué)模擬”、“教學(xué)游戲”、“智能導(dǎo)師”、“微型世界”、“情景化學(xué)習(xí)”、“探究性學(xué)習(xí)”等現(xiàn)代教學(xué)方法［3］。在課堂教學(xué)中，講解理論和方法時，盡可能選取實例加以分析。如對物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型建立，完整的講解從實際背景出發(fā)，建立微分方程，然后運用所學(xué)的知識來解方程，討論解的各種情形，并做出關(guān)于背景的解釋，從而掌握常微分方程的基本方法。

4 開設(shè)討論課，提高自主學(xué)習(xí)和和研究能力

加強討論課的教學(xué)以培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，拿出部分內(nèi)容讓學(xué)生走上講臺，讓學(xué)生開始實現(xiàn)從“聽眾”到 “演員”的角色轉(zhuǎn)換，培養(yǎng)他們對問題的報告能力、講解能力和快速反應(yīng)能力，對于師范專業(yè)的學(xué)生，以后他們無論是繼續(xù)攻讀研究生還是到學(xué)校任教，都需要這樣的能力。教師給予一定的指導(dǎo)，有較好效果的給予一定的鼓勵，成績以附加分的形式記入期末總評成績，讓學(xué)生參與討論課的教學(xué)全過程，相互之間通過分析、討論去尋求解決問題的方法，這樣才能體現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中主體地位，同時培養(yǎng)了學(xué)生分析問題，運用所學(xué)的知識解決問題的能力，從而提高學(xué)生的素質(zhì)。根據(jù)內(nèi)容特點，在理論難度較大的部分，如存在唯一性及其解的延拓、解對初值連續(xù)性定理等，組織課堂討論，除概念本身外，用典型求解的最大存在區(qū)間例題讓學(xué)生討論、總結(jié)，使學(xué)生能更好地理解定理內(nèi)容。以專題形式，讓學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新性學(xué)習(xí)，以小組的形式體驗解決問題的全過程，提高學(xué)習(xí)的樂趣和學(xué)生的積極性。

5 指導(dǎo)學(xué)生撰寫小論文，重視學(xué)生的主體作用

學(xué)生參與分析解決問題的動態(tài)過程，重視學(xué)生主動探索、獲取知識的主體能動作用。例如在講解積分因子這一節(jié)內(nèi)容時，向?qū)W生闡明，只要有解的一階顯式微分方程都存在積分因子，那么變量分離方程、齊次方程、一階線性微分方程、伯努利方程的積分因子能否求出來？如果能用積分因子法解此類方程則與原有的方法之間又有什么聯(lián)系與區(qū)別？提出思路讓學(xué)生動手去撰寫小論文，這樣培養(yǎng)了學(xué)生獨立思考、尋求事物之間的相互聯(lián)系的能力，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)研究能力。小論文可以獨立完成，也可以小組合作完成，從而可以培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作精神［4］。

6 開放數(shù)學(xué)建模實驗室，開發(fā)利用網(wǎng)絡(luò)資源

為了進(jìn)一步提高學(xué)生的應(yīng)用和動手能力，以數(shù)學(xué)建模實驗室為依托，定期向?qū)W生開放。一方面可以完成規(guī)定的實驗項目和實驗作業(yè)，另一方面學(xué)生可利用提供的設(shè)備，自己設(shè)立題目，教師的作用是指導(dǎo)和審核學(xué)生提出的方案與題目，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。同時可以把制作的電子課件上傳到校園網(wǎng)上，方便學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，打破了學(xué)生在學(xué)習(xí)時間上的限制和教師在輔導(dǎo)教學(xué)中的被動性，使教和學(xué)互動起來，真正達(dá)到教學(xué)相長的目的，同時也增加了學(xué)生自我學(xué)習(xí)的積極性，有效改善了傳統(tǒng)教學(xué)手段的單一性，一定程度上可以彌補課堂教學(xué)學(xué)時的不足。網(wǎng)絡(luò)資源平臺可以給學(xué)生提供微分方程學(xué)習(xí)資源，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提高［5］。

對常微分方程課程內(nèi)容的整合和教學(xué)方式的改革，還必須有配套的考核機制的改革，實現(xiàn)考核形式多元化，重視過程性考核，學(xué)生出勤、上課表現(xiàn)、作業(yè)完成情況、討論課和小論文撰等都可以作為考核評價項目，同時嘗試開展雙語教學(xué)、采用英語板書可以擴大學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)才能培養(yǎng)出基礎(chǔ)知識扎實，專業(yè)知識面寬，實踐能力強的應(yīng)用型人才。

［1］ 王高雄等．常微分方程（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2007．

［2］ 張偉年．本科數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)改革與實踐［J］．高等理科教育，2003，1：19-21．

［3］ 李大潛．將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程［J］．中國大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，1：9-11．

［4］ 劉會民，那文忠等．常微分方程課程教學(xué)模式的改革與探索［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2006．2．

［5］ 徐勝林．常微分方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)［J］．高等函授學(xué)報，2004．2：19-21．

The Research of Curriculum Reform in Ordinary Differential Equations under the Applied Environment

QIAO Zong-min（Department of Mathematics，Hefei Normal University，Hefei Anhui 230061）

Under the training model of the application-oriented，the traditional curriculum，teaching methods and means should be reformed in depth．Ordinary differential equation theory has a strong application，which is a great help to students in practical ability and innovation．Therefore the reform study of ordinary differential equations curriculum has important significance．In this paper，from six aspects some practice and exploration of curriculum reform content and teaching methods are given for ordinary differential equations．

ordinary differential equation；reforming；application ability

O175．1

A

1674-2273（2011）06-0020-03

2011－07－10

安徽省高等學(xué)校教學(xué)研究項目（2010J248A）

喬宗敏（1975－）男，山東無棣人，博士，合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授。