沈繼紅，付肖燕，趙玉新

(1.哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

層次分析法［1-2］(analytic hierarchy process，AHP)是由美國著名的運籌學(xué)家T.L.Saaty在20世紀(jì)70年代初提出的綜合定性與定量分析、對多目標(biāo)多準(zhǔn)則的系統(tǒng)進行分析評價的一種方法.近些年，利用層次分析法中的判斷矩陣求取指標(biāo)權(quán)重的應(yīng)用十分廣泛.層次分析法中采用兩兩比較建立判斷矩陣，是其很有特色的方面.而現(xiàn)存的標(biāo)度方法較多，且各有優(yōu)缺點.尤其是應(yīng)用較多的1～9標(biāo)度法存在嚴(yán)重不妥［3-6］，文獻(xiàn)［3］指出采用1～9標(biāo)度法可能導(dǎo)致評價結(jié)論和一致性檢驗的錯誤.1990年舒康等根據(jù)由德國生理學(xué)家韋伯提出的韋伯－費西納定理提出了指數(shù)標(biāo)度法［7］.而且現(xiàn)有的若干新標(biāo)度實際上是指數(shù)標(biāo)度的特例［8］.指數(shù)標(biāo)度符合實際、具有傳遞性、計算簡單，然而在實際應(yīng)用中卻未得到廣泛推廣，這是因為指數(shù)標(biāo)度還存在一些尚未解決的問題，如:如何確定重要性比率參數(shù)，如何將數(shù)字等級與重要性程度對應(yīng)得更加合理等［8］.本文將探討指數(shù)標(biāo)度存在的問題，并針對這些問題提出一些建議.

判斷矩陣的一致性分析是層次分析法的基本內(nèi)容之一，若判斷矩陣不具有一致性或者一致性較差，則將由判斷矩陣導(dǎo)出的權(quán)重作為決策依據(jù)的可靠性得不到保證.判斷矩陣一致性研究得到了廣泛關(guān)注［9-12］，但針對指數(shù)標(biāo)度感覺判斷矩陣的一致性研究相對較少.本文根據(jù)感覺判斷矩陣與正互反判斷矩陣的關(guān)系，提出了一個構(gòu)造完全一致的感覺判斷矩陣及根據(jù)它計算指標(biāo)權(quán)重的算法，并通過一個算例演示了提出的算法.

1 指數(shù)標(biāo)度基礎(chǔ)

定義1 感覺判斷，即把決策者關(guān)于因素ci比cj重要性程度的主觀感覺判斷等差距地分為若干個等級，如“同樣重要”、“稍重要”、“明顯重要”、“很重要”、“極端重要”等，分別以

cij=0，1，2，… (i，j=1，2，3，…，n)

表示.這樣cij=l(l=0，1，2，…)，表示因素ci比cj高l等級，稱cij為感覺判斷.而且cji=－cij，即當(dāng)因素ci比cj高i等級時，則因素cj比ci低l等級.

由韋伯－費希納定律，當(dāng)主觀感覺等差遞增時，客觀差別是等比遞增的.因而可設(shè)相鄰兩級客觀重要性比率為α(α＞1)，于是ci比cj客觀重要性比率為

式中:ωi、ωj分別為ci、cj的客觀重要性程度.

定義2 稱αcij為ci對cj的客觀差別判斷.

定義3 由感覺判斷cij組成的矩陣稱為感覺判斷矩陣，記為C=(cij)n×n.

定義4 由客觀差別判斷αcij組成的矩陣稱為客觀差別判斷矩陣，記為A=(aij)n×n=(αcij)n×n.

引理1 由α和感覺判斷矩陣構(gòu)造的客觀差別判斷矩陣仍為正互反矩陣［7］.

證明 由cji=－cij，有

由此可得A相對于T.L.Saaty所建立的比較判斷矩陣，仍為正互反矩陣.

根據(jù)指數(shù)標(biāo)度法得到的客觀差別判斷矩陣仍為正互反矩陣，則基于指數(shù)標(biāo)度法的層次分析法計算權(quán)重下面的計算步驟與基于1～9標(biāo)度構(gòu)造的正互反判斷矩陣相同.

2 存在問題的分析及建議

文獻(xiàn)［3］中指出指數(shù)標(biāo)度法符合2條合理定義判斷尺度的準(zhǔn)則:1)合理性準(zhǔn)則;2)傳遞性準(zhǔn)則，然而它在實際應(yīng)用中卻未得到廣泛推廣，這是因為指數(shù)標(biāo)度還存在一些尚未解決的問題.

2.1 重要性程度等級的擴展

在人的心理區(qū)分極限方面，心理學(xué)與實踐都證明人們普遍接受人的心理區(qū)分極限是9級，但在實際比較中只有9級的差距并不能完全客觀地對復(fù)雜世界進行描述，而且人們按某準(zhǔn)則選擇了標(biāo)度后，應(yīng)用AHP在構(gòu)建判斷矩陣時，必須對所有的方案進行兩兩比較，對比較結(jié)果大于、等于最高級別的情況，只能統(tǒng)一用與最高級別相對應(yīng)的標(biāo)度值表示.這是一種固化的標(biāo)度對應(yīng)方式.顯然這種對應(yīng)是不合理的.必須在人們普遍適應(yīng)的基礎(chǔ)上對標(biāo)度的適應(yīng)范圍進行合理的擴展，才能客觀地擴大其適用范圍，針對此問題本文提出如下建議:

1)決策者將指標(biāo)排列好，不需要對所有指標(biāo)進行兩兩比較，只需對相鄰兩指標(biāo)進行比較.當(dāng)然指標(biāo)按重要順序排列更好，一般來說，相鄰兩指標(biāo)間的相對差距不會很大，這樣就大大地減少了人們對標(biāo)度間的描述難度，有條件對決策者的判斷做出更精確的刻畫.在本文中指標(biāo)序排列不是必須的.而且相鄰兩指標(biāo)重要性的比較不受所給指標(biāo)體系最高級別的限制，即上面所提到的感覺判斷值cij的大小不受所給標(biāo)度的最高級別的限制.

2)根據(jù)所給出的相鄰兩兩指標(biāo)的感覺判斷向量，構(gòu)造出完全一致的感覺判斷矩陣.

2.2 重要性程度語言描述與數(shù)字等級的對應(yīng)

如上所述用固化的標(biāo)度進行賦值無助于對問題的確切描述.那么在重要性程度數(shù)字等級可以無限擴展的情況下，將重要性程度的語言描述與數(shù)字等級相對應(yīng)也是一個難點.

現(xiàn)在國內(nèi)對重要性程度判斷比較流行的語言描述有“相同”、“稍重要”、“重要”、“明顯重要”、“很重要”、“非常重要”、“極端重要”等.根據(jù)文獻(xiàn)［8］的描述，它選取重要性程度數(shù)字等級與語言描述對應(yīng)如表1.

表1 重要性程度語言描述與數(shù)字等級的對應(yīng)Table 1 Correspondence of language description and digital level for the degree of importance

但是如前所述，數(shù)字等級標(biāo)度的最高級別已不受限制，那么極端重要的賦值可能就不是8，這里根據(jù)表1仍規(guī)定“同等重要”賦值為0，“稍微重要”賦值為1.那么對于大于1的，專家可以根據(jù)個人知識及經(jīng)驗以及“同等重要”與“稍微重要”一級之差的重要性比值α來確定2個屬性之間的重要性相差幾個等級，那么他們的重要性之差就賦值為幾.

2.3 重要性比率參數(shù)α的確定

使用指數(shù)標(biāo)度法建立各個判斷矩陣，其結(jié)果隨著α取值的不同而不同.那么α如何選值才能使效果最佳?在文獻(xiàn)［8］中，提及了2種確定參數(shù)α的方式.

方式1:經(jīng)問卷調(diào)查，可取

方式2:(人為規(guī)定)假設(shè)因素ci比cj相比極端重要，其重要性程度之比為m，則由αk=m可得參數(shù)

然而，本文中對k的大小沒有限制，顯然第2種確定方式不適合本文.而且方式1的調(diào)查也是在k固定的情況下進行的，所以這2種方式對于本文都不可取.

從文獻(xiàn)［13］中的描述看出，當(dāng)α取值為1.01～1.5時，都是符合實際的.而且當(dāng)α=1、2時2個方案的重要性區(qū)分度最大.根據(jù)文獻(xiàn)［13］中的圖形分析，可指定α取值在1.1～1.4.α值的具體大小再根據(jù)實際情況確定.

3 感覺判斷矩陣的一致性改進

定義5 判斷思維完全一致，即當(dāng)感覺判斷滿足:

時，稱判斷思維是完全一致的.

引理2 判斷思維完全一致與T.L.Saaty的正互反判斷矩陣完全一致性定義等價［7］.

證明 正互反判斷矩陣完全一致性:如果正互反判斷矩陣A滿足aijajk=aik，則A是完全一致的.那么根據(jù)aij=αcij，則

當(dāng)客觀差別判斷矩陣完全一致時，可取其任一列，對其進行歸一化后的列向量即為屬性權(quán)重向量.

如引理1所述，由感覺判斷矩陣得到的客觀差別判斷矩陣是正互反判斷矩陣，且有客觀差別判斷矩陣的完全一致性和判斷思維完全一致是等價的.當(dāng)感覺判斷矩陣維數(shù)較大時，即判斷中涉及到的屬性較多時，由于人思維的差異性，感覺判斷矩陣很難滿足完全一致性，所以需要對初始的感覺判斷矩陣進行一致性改進.

定理1 當(dāng)感覺判斷矩陣完全一致時，有

即當(dāng)感覺判斷矩陣完全一致時，感覺判斷矩陣的各個元素可由前后兩因素進行重要性比較得到的n－1個數(shù)據(jù)構(gòu)造得到.

證明 如果正互反判斷矩陣滿足完全一致性，則有

再由引理2及感覺判斷矩陣自身的性質(zhì)，可以得出

這就是2.1節(jié)中提及的構(gòu)造完全一致的感覺判斷矩陣的方法.

根據(jù)定理1，可以由初始感覺判斷矩陣的斜對角線上元素構(gòu)造完全一致的感覺判斷矩陣，但是可能由于初始斜對角元素的微小偏差使得構(gòu)造的完全一致的感覺判斷矩陣偏離主觀判斷太大，因此需要對構(gòu)造的完全一致的感覺判斷矩陣進行審核調(diào)整，即與初始感覺判斷矩陣進行比較，使它不至于偏離初始主觀判斷太遠(yuǎn)，而且是偏離越小越好，即轉(zhuǎn)化為下面的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題:

其中，目標(biāo)函數(shù)表示使由X構(gòu)造的完全一致矩陣與變換后的初始感覺判斷矩陣差距盡量小，約束條件指由X構(gòu)造的完全一致矩陣的各個元素值與初始感覺判斷矩陣各元素差不要超過0.5.而且X的初始值X0=(ci(i+1))1×(n－1)(i=1，2，…，n－1).

綜上，得出感覺判斷矩陣一致性改進及基于指數(shù)標(biāo)度法計算權(quán)重的算法:

1)由專家給出初始感覺判斷矩陣C.

2)將前后兩因素重要性比較值ci(i+1)(i=1，2，…，n－1)賦值給X0=(x0m)1×(n－1).

3)根據(jù)指數(shù)標(biāo)度問題1的建議，以防人們受心理等級最高為9的限制，首先對初始感覺判斷矩陣做一轉(zhuǎn)換:若，置，得到C'.

4)將C'代入數(shù)學(xué)規(guī)劃問題(2).

5)令上述數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的初始可行解為X0，解上述規(guī)劃問題求出最優(yōu)的X*.

6)依定理1得到完全一致感覺判斷矩陣C*.

7)確定重要性比率α，將完全一致感覺判斷矩陣C*根據(jù)式(1)轉(zhuǎn)化為客觀差別判斷矩陣.

8)取客觀差別判斷矩陣任一列，對其進行歸一化后的向量即為屬性權(quán)重向量.

4 算法演示舉例

假設(shè)某一評判系統(tǒng)，指標(biāo)有4個，分別為c1、c2、c3、c4，要求計算出這4個指標(biāo)的權(quán)重.那么采用本文提出的基于指數(shù)標(biāo)度的AHP權(quán)重計算算法.

1)專家給出的4個指標(biāo)重要性比較的初始感覺判斷矩陣:

2)令

4)將C'代入式(2)為

5)令X0=(2，2，－2)，利用Matlab中現(xiàn)有的解二次規(guī)劃的命令 quadprog解此規(guī)劃問題，得出X*=(2，1.5，－2).

6)根據(jù)定理1構(gòu)造完全一致的感覺判斷矩陣:

7)選擇重要性比率參數(shù)α=1.3，并根據(jù)式(1)建立完全一致的客觀判斷矩陣A:

8)歸一化A的最后一列即是所求的指標(biāo)權(quán)重ω:

5 結(jié)束語

對重要性等級進行的合理擴展以及重要性比率選取范圍的確定有利于指數(shù)標(biāo)度法在實際應(yīng)用中的推廣;提出的構(gòu)造完全一致的感覺判斷矩陣及根據(jù)它計算指標(biāo)權(quán)重的算法，容易理解而且計算簡單，是個實用的算法;其他一致性改進算法最終得到的結(jié)果只是近似一致，而此算法得到的是完全一致的判斷矩陣;最后算例演示說明了提出的算法具有可行性.然而針對指數(shù)標(biāo)度的研究還需要進展下去，尤其在重要性等級擴展方面.

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