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        橢圓方程有限差分逼近的混合半迭代法*

        2011-04-12 08:02:10揚(yáng)
        關(guān)鍵詞:迭代法線(xiàn)性方程組內(nèi)層

        劉 揚(yáng) 高 飛

        (武漢理工大學(xué)理學(xué)院 武漢 430070)

        0 引 言

        現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)工程中的大量數(shù)學(xué)模型都可以用微分方程來(lái)描述,求解微分方程的數(shù)值方法主要有:有限差分方法、有限元法以及有限體積法等.用有限差分法求解橢圓型方程,其差分格式的求解都?xì)w結(jié)為一個(gè)線(xiàn)性代數(shù)方程組問(wèn)題,原則上,數(shù)值代數(shù)中的方法都適用于求解這類(lèi)代數(shù)方程組.但有限差分法所得到的差分格式的系數(shù)矩陣具有一些特殊的性質(zhì),如稀疏帶狀、主對(duì)角優(yōu)勢(shì)以及不可約性.因此針對(duì)這些特點(diǎn),建立了更加有效的方法,如交替方向迭代法[1]、預(yù)處理共軛梯度法[2]以及多重網(wǎng)格法[3]等,這些方法都是迭代法.迭代法具有程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單,適合自動(dòng)計(jì)算,同時(shí)還可以充分利用系數(shù)矩陣的稀疏性減少內(nèi)存存貯.因此,迭代法已經(jīng)成為求解線(xiàn)性方程組,尤其是求解具有大型稀疏系數(shù)矩陣的線(xiàn)性方程組的重要方法之一.半迭代法也稱(chēng)Chebyshev多項(xiàng)式加速方法,是求解線(xiàn)性方程組的一個(gè)常用且比較有效的方法,它是迭代法的一種.與一般迭代法相比,半迭代法不僅可以提高求解線(xiàn)性方程組的收斂速度,而且可以使一些發(fā)散的迭代法收斂.關(guān)于半 迭 代 法,許 多 學(xué) 者 都 對(duì) 此 作 了 研 究[4-8].Young在文獻(xiàn)[1]中,給出了線(xiàn)性方程組的迭代矩陣為對(duì)稱(chēng)陣時(shí),半迭代法的收斂性分析.本文利用局部消元法建立求解橢圓方程的十三點(diǎn)差分格式,將Chebyshev多項(xiàng)式加速方法應(yīng)用于新差分格式,構(gòu)造了一個(gè)混合半迭代法,用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證新算法的有效性.

        1 局部消元法

        考慮橢圓型方程第一邊值問(wèn)題

        式中:ui,j為式(1)的解u(x,y)在網(wǎng)格點(diǎn)(xi,yj)上的近似解,λ=4+ah2,fi,j=f(xi,yj).

        在Ωh的每一個(gè)網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)(i,j)處都有一個(gè)聯(lián)系于式(2)的幾何Stencil.在網(wǎng)格點(diǎn)(i-1,j),(i+1,j),(i,j-1),(i,j+1)處,有另外4個(gè)差分方程

        同樣的方法,消去上式中的ui-1,j-1,ui-1,j+1,ui+1,j-1,ui+1,j+1,可以得到一個(gè)更復(fù)雜的差分演化格式

        到這里,停止消元過(guò)程.式(4)所對(duì)應(yīng)的幾何Stencil如圖1所示,它示出一個(gè)十三點(diǎn)差分格式,其局部截?cái)嗾`差與五點(diǎn)中心差分格式一樣為O(h2).

        圖1 13點(diǎn)差分格式的Stencil

        2 混合多項(xiàng)式加速算法

        定義Ωh中網(wǎng)格點(diǎn)的集合Lp,稱(chēng)為網(wǎng)格Ωh的層,p是層的標(biāo)號(hào),

        式中:Mij為網(wǎng)格點(diǎn)(i,j)到邊界?Ω的最短歐氏距離.顯然,對(duì)于Lp(p=2,3,...,n/2)中任意一點(diǎn)(i,j)都存在一個(gè)形如式(4)的差分演化形式,根據(jù)式(2)和式(4),可以構(gòu)造一個(gè)Jacobi型迭代算法(JIA算法)如下.

        注意到上面算法中在第一層和其他層使用不同的迭代格式.對(duì)于任意給定的初始值,Jacobi型算法式(6)和式(7)是收斂的,即當(dāng)k→∞時(shí).

        利用邊界條件,計(jì)算|ξ(k)i,j|在每一層上可以得到的估計(jì)式,有

        設(shè)內(nèi)點(diǎn)的總層數(shù)為r,則r=n/2,由此得在所有的內(nèi)點(diǎn)上都有

        上式右端項(xiàng)當(dāng)N→∞時(shí)趨于零,故算法收斂性得證.

        將式(7)寫(xiě)成矩陣形式

        由于JIA算法中第一層上的迭代公式與內(nèi)層不一致,因此根據(jù)Chebyshev多項(xiàng)式加速法構(gòu)造一個(gè)混合半迭代法如下.

        步驟1 輸入變量ε(誤差)的值;令k:=1.

        步驟3 計(jì)算

        Else k:=k+1;goto步驟3.

        注意到新算法中,第一層網(wǎng)格點(diǎn)的計(jì)算仍使用經(jīng)典的Jacobi迭代,而內(nèi)層網(wǎng)格點(diǎn)的計(jì)算使用多項(xiàng)式加速技術(shù).之所以在第一層和內(nèi)層網(wǎng)格點(diǎn)上使用不同的迭代格式,主要原因有兩點(diǎn):第一JIA算法中第一層和內(nèi)層使用了不同的迭代格式;第二在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中,外層的誤差比內(nèi)層收斂快.由于JIA算法的系數(shù)矩陣是對(duì)稱(chēng)的,因此本文構(gòu)造的混合迭代算法是收斂的.

        3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

        為了驗(yàn)證新迭代算法的有效性,考慮一個(gè)模型方程如下

        式(10)的解為

        取步長(zhǎng)h=1/100,比較Jacobi方法、JIA算法、Jacobi半迭代法、混合半迭代法在所有內(nèi)點(diǎn)上達(dá)到相同誤差精度所需要的時(shí)間,結(jié)果見(jiàn)表1.

        表1 迭代時(shí)間比較 s

        所有結(jié)果在IBM電腦,CPU頻率為1.6G的計(jì)算機(jī)上計(jì)算得到.數(shù)據(jù)結(jié)果表明:Chebyshev多項(xiàng)式加速方法能有效的加快迭代法的收斂速度,同時(shí)本文構(gòu)造的混合半迭代法的收斂速度比Jacobi半迭代法約快一倍.

        4 結(jié) 論

        本文利用局部消元法構(gòu)造了求解一類(lèi)橢圓型方程的十三點(diǎn)差分格式,并結(jié)合五點(diǎn)差分格式建立了一個(gè)Jacobi型迭代算法.然后根據(jù)Chebyshev多項(xiàng)式加速方法構(gòu)造了一個(gè)混合半迭代算法.新算法在第一層上仍然使用經(jīng)典的Jacobi迭代,而在內(nèi)層上使用多項(xiàng)式加速方法.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,新算法比Jacobi半迭代法收斂快.本文的算法和思想也可用于求解其他類(lèi)型的偏微分方程.

        [1]Young D M.Iterative solution of large linear system[M].New York:Academic Press.,1971.

        [2]Young D M.Iterative methods for solving partial differential equations of elliptic type[J].Trans.Amer.Math.Soc 1954,76:92-111.

        [3]Bramble J H.Multigrid methods[M].Harlow:Longman Group UK Limited,1993.

        [4]Climent J J,Neumann M,Sidi A.A semi-iterative method for real spectrum singular linear systems with an arbitrary index[J].Comput.Appl.Math.,1997,87(1):21-38.

        [5]Eiermann M,Li X,Varga R S.On hybrid semi-iterative methods[J].SIAM J.Numer.Anal.,1989(26):152-168.

        [6]Hadjidimos A,Stylianopoulos N S.Optimal semi-iterative methods for complex SOR with results from potential theory[J].Numer.Math.,2006,103(4):591-610.

        [7]Rayes M O,Trevisan V,Wang P S.Factorization properties of chebyshev polynomials[J].Comput.Math.Appl.,2005,50(8):1 231-1 240.

        [8]Belforte G,Gay P,Monegato G.Some new properties of chebyshev polynomials[J].J.Compu.Appl.Math.,2000,117(2):175-181.

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