牛含冰

（徐州市第三中學 數(shù)學教研室，江蘇 徐州 221000）

0 引言

設(shè)Cn，Cm×n分別表示復(fù)數(shù)域上n維向量的全體和復(fù)數(shù)域上m×n矩陣的全體，‖·‖表示矩陣的譜范數(shù)，Ran（·），Ker（·）分別表示矩陣的值域和零空間，I表示適當維數(shù)的方陣。

廣義逆矩陣在統(tǒng)計學、運籌與控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方面具有重要應(yīng)用，常見的廣義逆有Moore-Penrose廣義逆、群逆、Drazin逆、Bott-Duffin逆等［1］。這些廣義逆都可以轉(zhuǎn)化為具有指定值域和零空間的外逆（見定義1）［2］。很多學者對具有指定值域和零空間的外逆做了深入研究，取得了很多成果［2-7］。然而關(guān)于分塊矩陣的具有指定值域和零空間的外逆的研究還不多見。本文對這個問題進行了研究，借助于擾動的方法，給出了2×2的分塊矩陣的具有指定值域和零空間的外逆的表示。

1 定義1

2 引理1

設(shè)A，E∈Cm×n=A+E且存在，如果‖‖＜1，則存在，且

下文中我們記

3 定理1

證明 記

則R=M+δM。記

則簡單計算知，NMN=N。

因此，有

故有U?Ran（N）。因此，有Ran（N）=U。

故Ker（N）?V。因此，有Ker（N）=V。

注意到

因此

是可逆的，并且

4 定理2

證明 記

則R=M+δM。

記

注意到

由引理1知

5 定理3

證明 記

因此

故

由引理1知

6 定理4

證明 記

則R=M+δM。

由定理2知

由引理1知

［1］BENISREAL A，GREVILLE T N E.Generalized inverse：Theory and applications［M］.New York：Springer-Verlag，2003.