張海霞 ,劉景源

(1.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng) 453007;2.安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南安陽 455000)

0 前言

下面給出Banach空間是一致非方的和具有正規(guī)結(jié)構(gòu)的概念。

定義1[8-9]Banach空間X是一致非方的,若存在δ＞0,使對任意x,y∈S(X)或者

定義2[2,9-10]Banach空間稱為具有(弱)正規(guī)結(jié)構(gòu),若X的每個(gè)非空(弱緊凸子集)有界閉凸子集A至少包含一個(gè)非直徑點(diǎn),即存在x0∈A,使得:

本文對常數(shù)J(a,X)進(jìn)行了改進(jìn),定義了新參數(shù)H(a,X),得到該參數(shù)的一些性質(zhì),同時(shí)證明了其與一致非方、正規(guī)結(jié)構(gòu)關(guān)系定理,H(a,X)除了具有常數(shù)J(a,X)的特點(diǎn)外,還可利用它計(jì)算出一些具體空間上的參數(shù)值,這是常數(shù)J(a,X)很難辦到的。

1 參數(shù)H(a,X)的性質(zhì)及與一致非方、正規(guī)結(jié)構(gòu)關(guān)系

定義3 對a≥0,x∈S(X),y,y-ax∈B(X),令:

由參數(shù)H(a,X)的定義容易得到以下性質(zhì):設(shè)X是非平凡Banach空間,則有:

(I)H(0,X)=J(X),H(a,X)≤2,a＞0;

(II)H(a,X)≤J(a,X),H2(a,X)/2≤CNJ(a,X);

(IV)H(b,X)+a/2≤H(a,X)+b/2,其中,0≤a≤b,特別H(a,X)是[0,+∞)上的連續(xù)函數(shù),其中,參數(shù)J(X)、CNJ(a,X)的定義和性質(zhì)參考文獻(xiàn)[7]。

引理1[3,8]設(shè)x,y∈S(X),0＜ε＜1,且(x+y)/2＞1-ε,則對任意0≤c≤1,z=cx+(1-c)y,有＞1-2ε。

定理1 如果對某個(gè)a∈[0,2),有H(a,X)＜2,則X是一致非方的。

證明 若a=0則顯然成立。若a≠0,假設(shè)X不是一致非方的,則對任意0＜ε＜1,存在x,y∈ S(X),使得/2＞1-ε/2＜1-ε。取y1=(1-a/2)x+(a/2)y∈B(X),則有y1-ay=(1-a/2)x+(a/2)(-y)∈B(X),由引理1知:

從而H(a,X)≥2(1-2ε),由ε的任意性知:H(a,X)=2,與已知矛盾,故得證。

定理2 如果對某個(gè)a∈[0,1],有H(a,X)＜(3+a)/2,則X具有正規(guī)結(jié)構(gòu)。

證明 由題設(shè)知X是一致非方的,從而是自反的,其上正規(guī)結(jié)構(gòu)與弱正規(guī)結(jié)構(gòu)等價(jià),故只需證明 X具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu)。

假設(shè)X不具有弱正規(guī)結(jié)構(gòu),則對任意 ε＞0,存在 x1,x2,x3∈S(X),滿足 x2-x3=x1;(x1+x2)/2＞1-ε(x1-x3)/2＞1-ε,現(xiàn)取

2 計(jì)算二維Day-James空間關(guān)于參數(shù)H(a,X)的精確值

例 考慮二維Day-James空間X=l∞-l1,其上范數(shù)為:

下面將證明相反不等式,設(shè)以下出現(xiàn)的 b,c,d∈[0,1]。

當(dāng)x在第一象限時(shí),設(shè)x=(1,b)∈S(X),由對稱性僅討論y在單位球上且在x與-x連線上部的情形。

如果y在第一象限,設(shè)y=(c,d)∈B(X),且d≥bc,則:

如果y在第二象限時(shí),設(shè)y=(-c,d),則:

如果y,y-ax都在第三象限,設(shè)y=(-c,-d),且d≤bc,則:

又y-ax∈B(X),于是d+ab≤1;c+a≤1。而

采用類似方法可討論 x在第二象限的情形,再由單位球面的對稱性,x在其他位置時(shí)有同樣的結(jié)論。

3 結(jié)論

證明了參數(shù)H(a,X)與一致非方、正規(guī)結(jié)構(gòu)關(guān)系定理,從而得到一類具有正規(guī)結(jié)構(gòu)的Banach空間。計(jì)算出了二維Day-James空間X=l∞-l1上參數(shù)H(a,X)的精確值,此說明參數(shù)H(a,X)的優(yōu)越性。但由于空間X=l∞-l1具有一致正規(guī)結(jié)構(gòu)[7],故定理2的不等式結(jié)論還有待提高,且需要進(jìn)一步討論H (a,X)與一致正規(guī)結(jié)構(gòu)關(guān)系。

[1] Kirk W A.A Fixed Point Theorem forMappingsWhich Do not Increase Distances[J].Amer Math Month ly,1965,72:1004-1006.

[2] 楊長森,杜艷霞,陳利.廣義James常數(shù)和一致正規(guī)結(jié)構(gòu)[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,36(3):7-9.

[3] Satit S.On James and von Neumann-Jordan Constants and Sufficient Conditions for the Fixed Point Property[J].JMath Anal App l,2006,323:1018-1024.

[4] Wang Fenghui.On the James and Von Neumann-Jordan Constants In Banach Spaces[J].Proc Amer Math Soc,2010,138: 695-701.

[5] Yang Changsen.ANoteon Jordan-von Neumann Constantand James Constant[J].JMath Anal App l,2009,357:98-102.

[6] Gao J,Lau K S.On Two Classes of Banach Spaces with Uniform Normal Structure[J].Studia Math,1991,99:41-56.

[7] Dhompongsa S,Piraisangjun P,Saejung S.On a Generalized Jordan-von Neumann Constants and Uniform Structure[J].Bull Austral Math Soc,2003,67:225-240.

[8] Gao J.Normal Hexagon and More General Banach Spaces with Normal Structure[J].JMath,2000,20:241-248.

[9] James R C.Uniform ly Non-square Banach Space[J].Ann of Math,1964,80:542-550.

[10] 俞鑫泰.Banach空間幾何理論[M].上海:華東師范大學(xué)出版社,1986.