魏世朋，張?zhí)祢U，余 熙，高春霞

（重慶郵電大學(xué)信號與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400065）

利用隨機(jī)共振解調(diào)微弱MFSK信號?

魏世朋，張?zhí)祢U，余 熙，高春霞

（重慶郵電大學(xué)信號與信息處理重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400065）

采用隨機(jī)共振解調(diào)微弱MFSK信號解決了傳統(tǒng)解調(diào)方法誤碼率高的問題。根據(jù)大噪聲環(huán)境下信號能借助噪聲能量發(fā)生隨機(jī)共振這一理論，先將微弱MFSK信號通過雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)以提高其信噪比，對隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號用FFT來區(qū)分每段信號的載波頻率，最后依據(jù)判決準(zhǔn)則解調(diào)MFSK信號。當(dāng)信噪比較高時，可向信號中人為添加白噪聲來使之適用于該解調(diào)方法。MATLAB仿真結(jié)果表明，該方法能成功解調(diào)信噪比最低為-23 dB的2FSK信號和-25 dB的8FSK信號，而這是傳統(tǒng)相干解調(diào)方法所無法達(dá)到的。

隨機(jī)共振；頻率壓縮；微弱MFSK信號；解調(diào)；數(shù)據(jù)采集窗

1 引言

多進(jìn)制頻移鍵控（M-ary Frequency-shift Keying，MFSK）是信息傳輸中使用較早的一種調(diào)制方式，它實(shí)現(xiàn)起來較容易，抗噪聲與抗衰減的能力較好，在中低速率數(shù)據(jù)傳輸中得到了廣泛應(yīng)用。MFSK信號的傳統(tǒng)解調(diào)方法有相干解調(diào)、非相干解調(diào)和過零檢測解調(diào)［1］，但它們對信號的信噪比要求都比較高，所以這些方法對微弱MFSK信號的解調(diào)無能為力。

隨機(jī)共振檢測技術(shù)是近年來發(fā)展起來的一種新的信號處理技術(shù)，隨機(jī)共振廣泛用于諸如雙穩(wěn)或多穩(wěn)非線性系統(tǒng)［2，3］、激勵系統(tǒng)［4］、閾值系統(tǒng)［5，6］、生物系統(tǒng)［7］等。已有的隨機(jī)共振絕熱近似和線性響應(yīng)理論僅適用于小參數(shù)信號處理，文獻(xiàn)［8］通過二次采樣頻率變換思想，實(shí)現(xiàn)了大參數(shù)信號的隨機(jī)共振。但是當(dāng)前隨機(jī)共振的應(yīng)用領(lǐng)域僅僅還是限于周期信號的頻率檢測，對于非周期信號檢測及通信信號解調(diào)的應(yīng)用還未有相關(guān)報道。

本文從隨機(jī)共振不是消除噪聲而是充分利用噪聲來增強(qiáng)微弱信號這一思想出發(fā)，提出了一種微弱MFSK信號的新的解調(diào)方法，相比于傳統(tǒng)解調(diào)方法，本方法能解調(diào)較低信噪比的MFSK信號，同時也省去了信號的同步設(shè)備。

2 隨機(jī)共振檢測微弱信號的原理

2．1 隨機(jī)共振原理

所謂隨機(jī)共振，就是把混在一起的信號（周期力）和噪聲（隨機(jī)力）作為待測信號，加到雙穩(wěn)態(tài)的非線性系統(tǒng)之中，在非線性系統(tǒng)本身、外部隨機(jī)力和外加周期力三者的共同作用下，系統(tǒng)的輸出為一種與外加周期力相同頻率但更為強(qiáng)烈的周期振動，在此過程中，噪聲能量一部分轉(zhuǎn)化為信號的能量，從而可以改善信號的信噪比［9］。

在雙穩(wěn)態(tài)或多穩(wěn)態(tài)的非線性系統(tǒng)中，發(fā)生隨機(jī)共振需要雙穩(wěn)態(tài)非線性系統(tǒng)、待測信號和噪聲3個基本條件。隨機(jī)共振系統(tǒng)的模型有很多種，最簡單的為朗之萬方程［10］，其模型為

式中，a、b為系統(tǒng)的勢阱參數(shù)；Asin 2πf0( ) t為真實(shí)信號，A為其幅值，f0為其頻率；Asin 2πf0( ) t+ n( t)為待測信號；n(t)為零均值高斯白噪聲，其自相關(guān)函數(shù)為〈n(t) n(t′)〉=2Dδ( t-t′)，D為高斯白噪聲的強(qiáng)度。

式（1）對應(yīng)的勢函數(shù)為［11］

在本文中，我們研究亞閾值的雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振，即真實(shí)信號的幅值A(chǔ)小于閾值A(chǔ)c（Ac=為系統(tǒng)雙穩(wěn)態(tài)臨界值）。

若待測信號存在時，系統(tǒng)輸出狀態(tài)的變化描述如下：

第一種情況：噪聲強(qiáng)度不夠。這時，真實(shí)信號

Asin( 2π0ft)在噪聲n(t)的協(xié)助下，其合成信號的幅值A(chǔ)′依然小于閾值A(chǔ)c，質(zhì)點(diǎn)只能在某一個勢阱內(nèi)運(yùn)動，系統(tǒng)的輸出信號表現(xiàn)為與輸入信號同頻的微弱信號，其幅度并不會被放大。

2．2 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振的頻率特性

雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)并不是對任意頻率的信號都適用，下面我們研究它的適用范圍。雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)輸出信號的功率譜S（f）由兩部分組成［12］：第一，周期輸入信號引起的S1（f）；第二，噪聲引起的S2（f），它具有Lorentz分布的形式。它們的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

式中，各參數(shù)含義和上文一樣，若A=0.3 V、f0= 0.01 Hz、D=0.31、a=1，b=1，則S2（f）的分布如圖1所示。

由圖1可看到，噪聲功率譜的譜能量集中于低頻區(qū)域，所以噪聲的能量只能轉(zhuǎn)移給低頻的周期信號。這就要求待測信號的頻率不能太高，否則將不會發(fā)生隨機(jī)共振效應(yīng)［13，14］。

2．3 頻率壓縮與恢復(fù)

為了使隨機(jī)共振能用于高頻信號，可以采用將信號頻率先壓縮再恢復(fù)的方法［15］，如圖2所示。離散信號中代表信號頻率的是采樣點(diǎn)之間的時間間隔，只要改變采樣點(diǎn)之間的時間間隔就可將信號的頻率放大或壓縮。

3 利用隨機(jī)共振解調(diào)MFSK信號

3．1 MFSK信號

多進(jìn)制頻移鍵控（MFSK）基本上是二進(jìn)制頻移鍵控（2FSK）的直接推廣，它是用多個不同的載波頻率代表多種數(shù)字信息。在MFSK中，M種發(fā)送符號可表達(dá)為

式中，0≤t≤Ts；i=0，1，…，M-1；Es為單位符號的信號能量；fi為載波頻率，有M種取值。通常令載波頻率，n為正整數(shù)，此時，M種發(fā)送信號互相正交，即：

以8FSK為例，它可以發(fā)送8種符號，每符號有3 bit，分別為000、001、010、011、100、101、110和111，對應(yīng)8種電平：0、1、2、3、4、5、6、7，每種電平對應(yīng)一種載波。8FSK信號的時域波形如圖3所示。

3．2 MFSK信號的隨機(jī)共振解調(diào)

基于隨機(jī)共振解調(diào)微弱MFSK信號的框圖如圖4所示。

接收端MFSK信號的表達(dá)式為

式中，C表示MFSK載波信號的幅度，() nt表示高斯白噪聲，f1，f2，…，fM為MFSK信號的載波頻率，an為MFSK信號的M個電平。

首先要對高頻的MFSK信號進(jìn)行頻率壓縮。根據(jù)載波頻率的大小和雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)對信號頻率的要求范圍，確定一個頻率壓縮比R，進(jìn)而確定第二次采樣頻率fLS，用這個采樣頻率再確定采樣步長TLS，對MFSK信號進(jìn)行第二次采樣，將其頻率壓縮至低頻范圍內(nèi)。經(jīng)過第二次采樣后MFSK信號的M個載波頻率f1，f2，…，fM分別被壓縮至f′1，f′2，…，f′M，此時MFSK信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，S′MFSK(t)為頻率壓縮后的MFSK信號，n′(t)為頻率壓縮后的噪聲。

其次調(diào)整雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)的參數(shù)a和b，使其閾值A(chǔ)c略大于載波信號的幅值C，然后將S′MFSK(t)作為待測信號加入到隨機(jī)共振系統(tǒng)之中，如式（10）：

如果a、b取值合適，系統(tǒng)便會發(fā)生隨機(jī)共振效應(yīng)，系統(tǒng)輸出的MFSK信號其信噪比將會被提高，甚至可以大致恢復(fù)出被噪聲淹沒的載波信號波形。

當(dāng)M=2時，若基帶傳輸碼為“0”，則待測信號為

在噪聲的協(xié)同作用下，合成后2FSK信號的幅值C′將大于雙穩(wěn)態(tài)臨界值Bc，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)會在兩勢阱和之間作頻率為f′1的周期性躍遷。若基帶傳輸碼為“1”，則待測信號如式（12）所示：

同理，當(dāng)M=8，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)將在兩個勢阱之間作頻率為f′1、f′2、f′3、f′4、f′5、f′6、f′7、f′8的周期性躍遷。

MFSK信號經(jīng)過隨機(jī)共振系統(tǒng)以后，系統(tǒng)輸出的是低頻信號，這就需要對信號的頻率進(jìn)行恢復(fù)。根據(jù)之前確定的頻率壓縮比R確定第三次采樣步長THS，對隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號進(jìn)行第三次采樣，將其進(jìn)行頻率恢復(fù)，其過程可看作是頻率壓縮的逆過程。經(jīng)過這一步以后，系統(tǒng)的輸出信號便是高頻MFSK信號，相比于接收到的MFSK信號，此刻信號的信噪比被提高了，即信號得到了改善。

接下來是對信號的解調(diào)。我們選用數(shù)據(jù)窗來處理信號，數(shù)據(jù)窗的寬度很窄，每次滑動的長度也非常小。讓數(shù)據(jù)窗連續(xù)滑動采集信號，數(shù)據(jù)窗每采集一次數(shù)據(jù)都要對窗內(nèi)信號作一次FFT，功率譜圖中最高譜峰將出現(xiàn)在載波頻率fM附近，用這個頻率值作為這一小段信號的輸出幅值。由于不同數(shù)字信息對應(yīng)的載波頻率不同，所以系統(tǒng)輸出信號的幅值大小將會和數(shù)字信息相關(guān)聯(lián)。

另外，系統(tǒng)的輸出信號難免會出現(xiàn)“毛刺”現(xiàn)象，所以我們選用中值濾波器來濾除這些毛刺（孤立噪聲），使輸出信號平滑。

最后就是信號的判決恢復(fù)。FSK信號由于受信道環(huán)境的干擾，所以載波頻率將會有一定的頻偏。如果用最高譜峰所在頻率和原始載波頻率對比進(jìn)行判決，則其誤碼率將會很高，所以我們選擇每兩個載波頻率的中間值（fN+1+fN）／2作為判決門限，其中N=1，2，3，…，M-1。若載波頻率fn+1＞fn，則其判決準(zhǔn)則如式（13）：

綜上所述，利用隨機(jī)共振解調(diào)MFSK信號的步驟如下：

（1）對接收到的高頻載波MFSK信號進(jìn)行頻率壓縮，其過程如2.3節(jié)中所述；

（2）將頻率壓縮后的MFSK信號作為待測信號加入到式（1）所示的隨機(jī)共振系統(tǒng)中；

（3）對隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號進(jìn)行頻率恢復(fù)，其過程也如2.3節(jié)中所述；

（4）用數(shù)據(jù)窗采集隨機(jī)共振的輸出信號，并用FFT測得窗內(nèi)這一小段信號的頻率值，將其作為這一小段信號的幅值；

（5）根據(jù)式（13）所示的判決準(zhǔn)則，進(jìn)行MFSK信號的解調(diào)。

最后值得一提的是，由于隨機(jī)共振效應(yīng)是在噪聲的協(xié)同作用下發(fā)生的，所以信噪比較高的MFSK信號通過雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)時，將不會發(fā)生隨機(jī)共振效應(yīng)，只能在其中的一個勢阱內(nèi)小范圍運(yùn)動或者發(fā)生隨機(jī)性的躍遷。為了使本文的解調(diào)方法能夠適應(yīng)較高信噪比的情況，我們可以在信噪比較高的MFSK信號中人為加入白噪聲，使其低信噪比降低，其過程就是將白噪聲與MFSK信號簡單相加即可。在仿真實(shí)驗(yàn)中將會涉及，在此不再贅述。

4 MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)

對2FSK信號，設(shè)定基帶信號碼元寬度為0.002 s，載波信號為正弦信號，幅值C=0.3 V，頻率f2FSK1=1 kHz，f2FSK2=10 kHz，初相為0，采樣頻率fs=5 MHz；對8FSK信號，載波頻率f1=1 kHz，f2= 3 kHz，f3=5 kHz，f4=7 kHz，f5=9 kHz，f6=11 kHz，f7=13 kHz，f8=15 kHz，其余參數(shù)和2FSK一樣，根據(jù)式（7），此時對應(yīng)的正整數(shù)n=4、12、20、28、36、44、52、60，所以載波信號相互正交。

4．1 雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)對微弱MFSK信號的響應(yīng)

選擇信噪比為-10 dB的8FSK信號，先對其進(jìn)行R=106的頻率壓縮，然后將其加入到式（1）所表示的隨機(jī)共振系統(tǒng)中，取雙穩(wěn)隨機(jī)共振系統(tǒng)的參數(shù)a=1、b=1，則雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的臨界值Bc=0.384 9，兩個勢阱分別為xH=1和xL=-1，采用四階Runge-Kutta算法求解朗之萬方程。雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)接收的8FSK信號如圖5（c）所示，從圖中可以看到，低信噪比8FSK信號的波形完全被噪聲所淹沒，根本分辨不出來兩種載波；將微弱8FSK信號作為待測信號加入雙穩(wěn)態(tài)隨機(jī)共振系統(tǒng)之后，在噪聲、待測信號、系統(tǒng)三者的共同作用下，發(fā)生了隨機(jī)共振效應(yīng)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)在雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的兩個勢阱之間作相應(yīng)載波頻率的躍遷運(yùn)動，如圖5（d）所示。將圖5（d）和圖5（b）進(jìn)行對比可以發(fā)現(xiàn)，載波信號的波形被大致恢復(fù)了出來。

4．2 FFT區(qū)分載波頻率并解調(diào)8FSK信號

對4.1節(jié)中隨機(jī)共振系統(tǒng)的輸出信號進(jìn)行頻率恢復(fù)，如圖6（a）所示，然后用數(shù)據(jù)窗采集其信號。數(shù)據(jù)窗寬度設(shè)為一個碼元寬度的1／5，每次滑動一個碼元寬度的1／50，對窗內(nèi)信號每次作32 768點(diǎn)的FFT，并求出每次功率譜圖中最高譜峰所在頻率，用這個頻率值作為每次輸出信號的幅值，如圖6（b）所示。由于輸出信號有“毛刺”現(xiàn)象，再將其通過中值濾波器進(jìn)行平滑處理，如圖6（c）所示。最后根據(jù)式（13）的判決準(zhǔn)則恢復(fù)信號，如圖6（d）所示，可以看到，它與圖5（a）中的原始基帶信號基本相同，只是整體上有一定的偏移，這說明成功解調(diào)了8FSK信號。

4．3 添加噪聲實(shí)驗(yàn)

以2FSK為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。將2 dB的2FSK信號、人為添加過噪聲的2FSK信號（信噪比相當(dāng)于-10 dB）先后通過隨機(jī)共振系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)如圖7所示。從圖7（b）中可以看到，2 dB的2FSK信號通過隨機(jī)共振系統(tǒng)時，大部分信號只能在一個勢阱中運(yùn)動，即使偶爾進(jìn)入另外一個勢阱也是毫無規(guī)律的，對信號信噪比的提高沒有任何幫助；人為添加過噪聲的2FSK信號通過隨機(jī)共振系統(tǒng)時，由于噪聲達(dá)到了所需的強(qiáng)度，信號就可以借助噪聲的能量在兩個勢阱之間有規(guī)律地躍遷，如圖7（c）所示。所以對較高信噪比的MFSK信號，只要向其中適量加入高斯白噪聲就可用本文的方法解調(diào)。

4．4 性能分析

為了分析本文解調(diào)方法的誤碼率，對2FSK信號采集107bit的數(shù)據(jù)，8FSK信號采集108bit的數(shù)據(jù)，信噪比由-30 dB逐漸增加到0 dB，進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，得到的誤碼率曲線如圖8所示。人為添加白噪聲之前，誤碼率曲線形狀像是一個倒峰，信噪比為-14 dB時誤碼率達(dá)到最低點(diǎn)，如圖8（a）所示，其原因?yàn)椋狠^低信噪比時，噪聲的有害作用大于其有利作用，此時噪聲起主導(dǎo)作用，并沒有改善信號的信噪比；較高信噪比時，因?yàn)樵肼曔_(dá)不到隨機(jī)共振所需的強(qiáng)度，所以信號不能在兩個勢阱之間有規(guī)律地躍遷，對信號信噪比的改善也沒有幫助。若選誤碼率等于10-1為容錯極限，則加噪聲前，本文方法可以解調(diào)-23～-8 dB信噪比范圍內(nèi)的2FSK信號和-25～-4 dB信噪比范圍內(nèi)的8FSK信號；若向信噪比為-14 dB以上的2FSK信號和8FSK信號中人為添加白噪聲，使其信噪比水平相當(dāng)于-14 dB的水平，則本文方法就可解調(diào)較高信噪比的MFSK信號，且誤碼率很低，如圖8（b）所示。而相干解調(diào)方法則只能解調(diào)5 dB以上的2FSK信號和2 dB以上的8FSK信號，可見基于隨機(jī)共振的解調(diào)方法優(yōu)于相干解調(diào)方法。

5 結(jié)束語

以往隨機(jī)共振主要是針對周期信號的檢測，檢測參數(shù)主要是信號的頻率，本文對MFSK信號和隨機(jī)共振的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了分析，將隨機(jī)共振成功運(yùn)用到了非周期信號的檢測，實(shí)現(xiàn)了微弱MFSK信號的解調(diào)，拓寬了隨機(jī)共振的應(yīng)用領(lǐng)域。

在當(dāng)今復(fù)雜的通信下，MFSK信號到達(dá)接收端時已非常微弱，傳統(tǒng)解調(diào)方法通常失效，理論研究和仿真結(jié)果表明，利用本文方法可成功解調(diào)微弱MFSK信號，這對于制造新型微弱MFSK信號接收機(jī)具有較好的理論指導(dǎo)意義。

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WEI Shi-peng was born in Luoyang，Henan Province，in 1986.He received the B.S.degree in 2009.He is now a graduate student.His research interests include communication signal processing and weak signal detection.

Email：2979153454＠163.com

張?zhí)祢U（1971—），男，四川眉山人，現(xiàn)為重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院教授，主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘柕恼{(diào)制解調(diào)、盲處理、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)及FPGA、VLSI實(shí)現(xiàn)；

ZHANG Tian-qi was born in Meishan，Sichuan Province，in 1971.He is now a professor.His research interests include communication signal modulation and demodulation，blind processing，neural network and FPGA，VLSI implementation.

余熙（1986—），男，重慶人，重慶郵電大學(xué)碩士研究生，主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘柼幚怼⒖柭鼮V波、粒子濾波；

YU Xi was born in Chongqing，in 1986.He is now a graduate student.His research interests include communication signal processing，Kalman filter and particle filter.

高春霞（1987—），女，河南周口人，重慶郵電大學(xué)碩士研究生，主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘柼幚?、寬帶信號的波達(dá)方向估計(jì)、陣列信號處理；

GAO Chun-xia was born in Zhoukou，Henan Province，in 1987.She is now a graduate student.Her research interests include communication signal processing，DOA estimation of wideband signal and array signal processing.

Demodulation of Weak MFSK Signal Based on Stochastic Resonance

WEI Shi-peng，ZHANG Tian-qi，YU Xi，GAO Chun-xia
（Chongqing Key Laboratory of Signal and Information Processing，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

Using the stochastic resonance to demodulate the weak MFSK（M-ary Frequency-shift Keying）signal solves the high BER（Bit Error Rate）in traditional demodulation methods.Based on the theory that the signal can get help from the noise′s energy to generate stochastic resonance，the weak MFSK signal is put into the stochastic resonance system to increase its SNR（Signal-to-noise Ratio），then the FFT（Fast Fourier Transform）is used to distinguish the two carriers of the signal，finally the MFSK signal is demodulated according to judgment criteria.When the SNR is high，the white noise can be added into the signal to suit for this method. The MATLAB simulation results show that this method can successfully demodulate the 2FSK signal in-23 dB and 8FSK signal in-25 dB，and conventional coherent demodulation can not achieve the result.

stochastic resonance；frequency compression；weak MFSK signal；demodulation；data acquisition window

The National Natural Science Foundation of China（No.61071196）；The NSAF Foundationof National Natural Science Foundation of China（No.10776040）；The Program for New Century Excellent Talents in University（NCET-10-0927）；The Project of Key Laboratory of Signal and Information Processing of Chongqing（2009CA2003）；The Natural Science Foundation of Chongqing（2009BB2287，2010BB2398，2010BB2411）

TN914

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2011.06.016

魏世朋（1986—），男，河南洛陽人，2009年獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為重慶郵電大學(xué)碩士研究生，主要研究方向?yàn)橥ㄐ判盘柼幚?、微弱信號檢測與估計(jì)；

1001-893X（2011）06-0071-07

2011-01-30；

2011-04-06

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61071196）；國家自然科學(xué)基金-中物院NSAF聯(lián)合基金項(xiàng)目（10776040）；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃（NCET-10-0927）；信號與信息處理重慶市市級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)項(xiàng)目（2009CA2003）；重慶市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2009BB2287，2010BB2398，2010BB2411）

圖8誤碼率性能曲線

Fig.8 The performance curve of BER