鄭 征,陳麗莎

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京100191)

1 自動(dòng)化專業(yè)與離散數(shù)學(xué)

離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中幾個(gè)分支的總稱,研究基于離散空間而不是連續(xù)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。與光滑變化的實(shí)數(shù)不同,離散數(shù)學(xué)的研究對(duì)象(例如整數(shù)、圖和數(shù)學(xué)邏輯中的命題)不是光滑變化的,而是擁有不等、分立的值[1,2]。離散數(shù)學(xué)被視為處理可數(shù)集合的數(shù)學(xué)分支[3](與整數(shù)子集基數(shù)相同的集合,包括有理數(shù)集但不包括整數(shù)集)。

在自動(dòng)化專業(yè)開設(shè)“離散數(shù)學(xué)”課程的必要性主要有三個(gè)方面:①自動(dòng)化專業(yè)的相關(guān)問題中,離散對(duì)象、結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)普遍存在;②自動(dòng)化專業(yè)很多新興技術(shù)都以離散數(shù)學(xué)作為其數(shù)學(xué)基礎(chǔ),例如離散最優(yōu)控制技術(shù)、智能控制技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)控制技術(shù)、人工智能技術(shù)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)等;③離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)的理論基礎(chǔ),也是計(jì)算機(jī)應(yīng)用的有力工具。

因此,在自動(dòng)化專業(yè)中開設(shè)“離散數(shù)學(xué)”課程是迫切需要的。清華大學(xué)自動(dòng)化專業(yè)從2007年開始就將離散數(shù)學(xué)作為必修課開設(shè),北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣學(xué)院也從2009年開設(shè)了離散數(shù)學(xué)的課程[4]。

2 教學(xué)工作中遇到的問題

1)教材內(nèi)容大多以計(jì)算機(jī)學(xué)科為背景

現(xiàn)有“離散數(shù)學(xué)”的教材和課件中大多以計(jì)算機(jī)學(xué)科中的問題為應(yīng)用實(shí)例或背景進(jìn)行講解,然而在自動(dòng)化專業(yè)的本科生中大多沒有這方面的基礎(chǔ)知識(shí),所以授課教師需要花費(fèi)大量時(shí)間來重新整理教材和編寫課件,這極大的增加了授課的工作量。例如,在邏輯部分(包括命題邏輯和謂詞邏輯)的講解中,大多數(shù)教材都以計(jì)算機(jī)科學(xué)中的自動(dòng)程序設(shè)計(jì)、邏輯程序設(shè)計(jì)等為示例,但命題邏輯作為模糊控制理論中的推理基礎(chǔ),將其和模糊控制相結(jié)合向自動(dòng)化專業(yè)學(xué)生進(jìn)行講述更為適且。

2)課程自身特點(diǎn)對(duì)學(xué)習(xí)提出更高要求

“離散數(shù)學(xué)”課程有如下特點(diǎn):①離散數(shù)學(xué)中的定義、定理比較多;②課程內(nèi)容理論性強(qiáng),用抽象的數(shù)學(xué)語言描述離散對(duì)象和結(jié)構(gòu),缺少直觀性;③課程內(nèi)容分散且抽象。

3)課程內(nèi)容豐富與課時(shí)少矛盾

離散數(shù)學(xué)內(nèi)容包括了數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、圖論等。由于學(xué)時(shí)總數(shù)限制,內(nèi)容豐富和學(xué)時(shí)較少的矛盾比較突出。

3 改進(jìn)教學(xué)方法和措施

1)深入剖析教學(xué)內(nèi)容

離散數(shù)學(xué)中的定義和定理比較多,引導(dǎo)學(xué)生掌握不同的定義和定理之間的相互聯(lián)系,并對(duì)相近的定義、定理之間的相互區(qū)別進(jìn)行深入剖析。如在命題邏輯中的簡單析取式、析取范式和主析取范式;簡單合取式、合取范式和互合取范式這幾個(gè)定義以及圖論中的通路、連通性、連通分支和割集這幾個(gè)概念,它們既相互有聯(lián)系,又相互有區(qū)別。

2)提高學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)

“離散數(shù)學(xué)”課程除了教給學(xué)生離散數(shù)學(xué)知識(shí)以外,更重要的是要通過嚴(yán)格的訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?、抽象思維能力和解決實(shí)際問題的能力。離散數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一數(shù)理邏輯是研究推理的學(xué)科,在模式識(shí)別、離散事件系統(tǒng)和智能控制等的研究中有重要的應(yīng)用;集合論、布爾代數(shù)和圖論在自動(dòng)化科學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用,他們?yōu)椴淮_定性理論、網(wǎng)絡(luò)控制等學(xué)科奠定了數(shù)學(xué)基礎(chǔ),也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進(jìn)行抽象和描述的一些重要方法。

3)注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性

我們在授課“離散數(shù)學(xué)”課程過程中,應(yīng)該在講解分析理論基礎(chǔ)上結(jié)合自動(dòng)化學(xué)科應(yīng)用。例如,在集合論的章節(jié)中通過比較引入模糊集的基本概念;在命題邏輯中引入模糊推理的基本思想;在圖論中適當(dāng)描述網(wǎng)絡(luò)控制和小世界理論等。同時(shí),適時(shí)地將最新研究成果引入教學(xué)過程,將授課內(nèi)容與實(shí)際的科研項(xiàng)目緊密聯(lián)系。既可以使授課內(nèi)容更加全面,又可以開拓學(xué)生視野,從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,啟發(fā)深入思考能力。如講授命題邏輯時(shí),與機(jī)器人路徑規(guī)劃問題相聯(lián)系;在講授博弈樹時(shí),與無人機(jī)攻防對(duì)抗問題相聯(lián)系。此時(shí)很多學(xué)生不但聽課認(rèn)真,而且課后積極思考并提出了很多問題。

4)采用啟發(fā)式教學(xué)

我們在講授“離散數(shù)學(xué)”課程時(shí),要用啟發(fā)式教學(xué)。要使用更多的例子來講解和分析復(fù)雜多樣的概念和規(guī)則,對(duì)每一個(gè)概念和規(guī)則均給出具體的、通常是日常生活或?qū)I(yè)應(yīng)用中的示例。例如一階謂詞邏輯主要是在命題邏輯基礎(chǔ)上補(bǔ)充了謂詞、量詞和函數(shù)的概念,其中的很多公式都是將命題邏輯中的公式進(jìn)行了代換。因此課堂中應(yīng)該著重講解這些代換規(guī)則,以及在代換中涉及的量詞轄域的收縮與擴(kuò)張等問題。

5)教學(xué)方式多樣化

我們在“離散數(shù)學(xué)”的教學(xué)過程中,要采用多媒體和板書相結(jié)合的教學(xué)方式。同時(shí),針對(duì)部分授課內(nèi)容編寫基于Matlab或VC的程序,有助于知識(shí)的消化和理解。除此之外,要注意圖示化方法在教學(xué)過程中的使用。如用點(diǎn)線圖分析特殊圖的特征、復(fù)合關(guān)系的形成,用區(qū)域圖描述集合關(guān)系,用圖表表示關(guān)系的性質(zhì)特征等。

6)重視實(shí)踐環(huán)節(jié)

筆者在授課過程中將無人機(jī)指揮自動(dòng)化系統(tǒng)中需要解決的問題(例如無人機(jī)模糊控制、路徑規(guī)劃和關(guān)鍵設(shè)施攻擊等)以及在解決這些問題中使用的方法融入到多個(gè)章節(jié)的講述中,闡述各章的知識(shí)點(diǎn)在這些問題解決方法中的應(yīng)用,并組織部分學(xué)生參與到實(shí)際項(xiàng)目中進(jìn)行實(shí)踐。

[1] Richard Johnsonbaugh.Discrete Mathematics[M].Prentice Hall,2008.

[2] Eric W.Weisstein.Discrete mathematics[M].MathWorld,2002.

[3] Norman L.Biggs.Discrete mathematics[M].Ox ford University Press,2002.

[4] 吳澄,對(duì)自動(dòng)化學(xué)科現(xiàn)狀和發(fā)展的討論.2001年中國自動(dòng)化教育學(xué)術(shù)年會(huì)[C],2001,1-3。