盧宗壽，何家裕，王家?guī)?/p>

(廣西國(guó)土資源規(guī)劃院，廣西南寧 530022)

1 引言

小波分析是調(diào)和分析幾十年來(lái)研究的成果，是在傅立葉變換發(fā)展百年的基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)，他有優(yōu)于傅立葉變換的時(shí)頻局域變換特征，能通過(guò)伸縮和平移有效提取信號(hào)中的有用成分，解決了傅立葉變換對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)不能有效改變窗口大小的問(wèn)題，從而能更好地分析信號(hào)的缺點(diǎn)，因此有“數(shù)學(xué)顯微鏡”的美譽(yù)，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，工程領(lǐng)域，尤其是信息科學(xué)領(lǐng)域的方方面面。本文從小波的發(fā)展歷史出發(fā)，介紹了小波分析理論在變形數(shù)據(jù)處理中的研究應(yīng)用現(xiàn)狀，提出在變形數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域中仍有待解決的問(wèn)題。

2 小波分析的產(chǎn)生與發(fā)展

自從1807年法國(guó)數(shù)學(xué)家Fourier從熱傳導(dǎo)理論提出Fourier分析以后，他憑借把一個(gè)函數(shù)展開為各種頻率的諧波的線性組合，描述函數(shù)的性態(tài)和特征，整整兩個(gè)世紀(jì)以來(lái)，整個(gè)工程分析幾乎都屬其范疇。但是Fourier分析只是一種純頻域的分析方法，他不能提供局部時(shí)間域上的函數(shù)特征。之后有科學(xué)家提出了加窗傅立葉變換，這樣時(shí)頻分辨率就固定下來(lái)。這種方法雖然解決了單純研究頻域的缺點(diǎn)，但是缺乏細(xì)化功能。為此，科學(xué)家們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力終于找到了小波基。

1910年，Haar利用伸縮平移思想構(gòu)造了第一個(gè)規(guī)范正交小波基，即Haar小波基，雖然它有非常好的緊支性，能成功刻畫信號(hào)的局部化特性，但是由于它是不光滑的，對(duì)于刻畫光滑信號(hào)，要比Fourier變換差得多，因此一直沒有得到重視。1938年，Little wood－paley提出二進(jìn)制頻率成分分組理論，為多分辨思想奠定了基礎(chǔ)。1984年，地質(zhì)信號(hào)處理工程師 A.Grossman和J.Morlet，從地震信號(hào)資料分析出發(fā)，提出了“小波”概念，建立了連續(xù)小波的集合體系，促成了上世紀(jì)90年代初小波的興起。

1986年，Meyer構(gòu)造出了第一個(gè)具有快速衰減的小波函數(shù)之后，G.Battle和P.Lemarie給出了指數(shù)衰減的小波函數(shù)，通過(guò)伸縮和平移構(gòu)成了L2(R)上的規(guī)范正交基。1989年，法國(guó)科學(xué)家S.Mallet和比利時(shí)女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies，將多分辨分析的思想引入到小波函數(shù)的構(gòu)造和分解重構(gòu)過(guò)程中，統(tǒng)一了小波基的構(gòu)造方法，建立了塔式分解的快速算法。同時(shí)I.Daubechies還構(gòu)造出了正交小波基和雙正交小波基，為小波發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。

20世紀(jì)90年代中后期以后，小波設(shè)計(jì)方法的多樣性及與其他學(xué)科的相互滲透，小波分析開始應(yīng)用到信號(hào)分析，圖像處理，文字、語(yǔ)音識(shí)別，計(jì)算機(jī)視覺，數(shù)值分析，故障診斷等許多非常重要的領(lǐng)域。隨著應(yīng)用的擴(kuò)寬，小波理論研究也在不斷的深入研究。1994年，Goodman等基于r元多分辨分析建立了多小波的理論框架，1996年，Donovan，Geronima，Hardin 等構(gòu)造了 DGHM 多小波。1995年，Sweldens提出了提升小波，為小波構(gòu)造提供了新的技術(shù)。1999年，Donoho等人提出了脊波、曲波理論之后，樣條小波、向量小波的理論也不斷發(fā)展并應(yīng)用到相關(guān)領(lǐng)域中。小波分析的另一個(gè)重要進(jìn)展是V.Wickerhauser和R.Coifman的小波包概念。

隨著小波理論的不斷發(fā)展，小波理論在測(cè)繪學(xué)中的應(yīng)用也取得了巨大的進(jìn)展。

3 小波分析在測(cè)繪學(xué)中的現(xiàn)狀

小波分析在數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用開始與上世紀(jì)90年代中后期，主要用來(lái)提取GPS觀測(cè)值的周跳檢測(cè)、粗差檢測(cè)、多路徑誤差、殘差分析、變形信號(hào)的提取、變形的預(yù)測(cè)等。隨著小波理論的不斷發(fā)展，已取得驕人的成績(jī)。

(1)小波分析在GPS數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

1995 年，F(xiàn).Collin 和 R.Warant，最先將小波分析應(yīng)用到GPS數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域。之后熊永良，黃丁發(fā)，劉經(jīng)南，C.Satirapod，C.Ogajia等進(jìn)一步應(yīng)用小波變換理論對(duì)GPS觀測(cè)值進(jìn)行周跳探測(cè)、粗差檢測(cè)、多路徑誤差分析、殘差分析，通過(guò)小波變換的帶通濾波器提取細(xì)節(jié)信號(hào)，并將突變信號(hào)放大，以檢測(cè)周跳，具有定位準(zhǔn)確，自動(dòng)化程度高的特點(diǎn)。通過(guò)小波變換的GPS觀測(cè)值的信噪比有明顯提高，消除或消弱了多路徑效應(yīng)和各種噪聲，提高了GPS定位精度。近年來(lái)，小波分析在GPS數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域得到了大力發(fā)展，蔡昌盛等在檢測(cè)周跳的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行處理，再與低頻信號(hào)一起重構(gòu)與原始信號(hào)比較以獲得周跳修復(fù)值。羅兆文，王文等利用小波變換的多尺度分解篩選，將GPS不同的誤差源從GPS結(jié)果中有效分離，提高了GPS定位精度。姚曉波等利用小波變換對(duì)GPS數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，剔除多余的相關(guān)信息，保留數(shù)據(jù)基本特征，減少了后續(xù)數(shù)據(jù)處理的壓力，取得了良好的效果。隨著近年小波分析與其他領(lǐng)域知識(shí)的融合，學(xué)者們也不斷探索小波分析理論在GPS數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用研究，趙軍祥基于小波分析的GPS周跳檢測(cè)與修復(fù)，誤差分析等設(shè)計(jì)了GPS數(shù)據(jù)預(yù)處理系統(tǒng)。徐金華等在磁羅經(jīng)/GPS導(dǎo)航系統(tǒng)中，提出了一種基于調(diào)頻高斯小波變換(MGWT:Modulate Gaussian Wavelet Transform)的故障診斷算法，它能夠滿足GPS在線檢測(cè)軟故障的要求，通過(guò)調(diào)節(jié)平移因子和拉伸因子，對(duì)GPS在信號(hào)遮蔽，失鎖或受到干擾而輸出的不可信導(dǎo)航數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的檢測(cè)，從而可實(shí)現(xiàn)導(dǎo)航信息有效融合。尹廷華等將小波分析與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)融合來(lái)實(shí)現(xiàn)GPS周跳探測(cè)與修復(fù)，通過(guò)對(duì)比預(yù)測(cè)值的不同來(lái)確定周跳大小。

(2)小波分析在變形分析與預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

變形分析實(shí)質(zhì)是一種變形量隨時(shí)間或空間變化的信號(hào)，該信號(hào)往往包含有噪聲污染，影響對(duì)變形因素的分析和趨勢(shì)的提取。小波分析具有時(shí)頻局部化特點(diǎn)能在時(shí)域和頻域上準(zhǔn)確定位信號(hào)的突變點(diǎn)。因小波多分辨分析特性，小波變換可在不同尺度上描述信號(hào)的局部特性。由于信號(hào)和噪聲在小波域中有不同的性質(zhì)，通過(guò)小波變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度分析，對(duì)于細(xì)節(jié)信號(hào)進(jìn)行處理，對(duì)細(xì)節(jié)信號(hào)進(jìn)行特征分析，再與低頻信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，可最大限度保留真實(shí)信號(hào)，可以大大提高變形分析的精度。同時(shí)通過(guò)對(duì)頻域的研究，可以對(duì)不同影響因素進(jìn)行分類和篩選，分析信號(hào)的奇異性特點(diǎn)。隨著多小波理論的不斷發(fā)展，基于多小波的變形分析模型能更好地消除突變和暫態(tài)隨機(jī)變形信號(hào)的噪聲，保留更多的局部特性。小波變換與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的融合為變形預(yù)測(cè)提供了新的方法，由于小波變換具有良好的時(shí)頻特征，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好的自適應(yīng)能力和學(xué)習(xí)能力，用小波基做神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的激活函數(shù)能更好地處理變形分析數(shù)據(jù)，以此對(duì)未來(lái)的變形做出精確的預(yù)報(bào)。隨著小波分析理論的不斷發(fā)展，小波基函數(shù)的研究不斷深入，小波分析在變形分析中的應(yīng)用將更為靈活，它與其他理論的結(jié)合使用，將進(jìn)一步提高變形分析研究深度和廣度。

4 小波分析在測(cè)繪學(xué)中有待解決的問(wèn)題和展望

雖然小波分析理論已經(jīng)在測(cè)繪學(xué)中廣泛應(yīng)用且取得了不小的成果，但由于小波理論研究的局限性，小波分析在測(cè)繪學(xué)中的應(yīng)用還有以下一些問(wèn)題需要解決:

(1)由于小波變換理論的不成熟，小波基選擇沒有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，如何根據(jù)測(cè)繪數(shù)據(jù)處理中數(shù)據(jù)序列的特點(diǎn)選擇合適的小波基有待進(jìn)一步的研究。

(2)多小波理論，二進(jìn)小波理論和提升小波理論在測(cè)繪數(shù)據(jù)中有一定的應(yīng)用但研究尚不夠深入，特別是向量小波和高維小波還沒有在測(cè)繪數(shù)據(jù)處理中得到應(yīng)用，對(duì)這方面的研究將會(huì)對(duì)測(cè)繪數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域產(chǎn)生一定的影響。

(3)小波理論結(jié)合模糊理論，變形理論，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立一種多模型網(wǎng)絡(luò)有待進(jìn)一步探索。

(4)小波理論在測(cè)繪領(lǐng)域中的應(yīng)用還沒有實(shí)現(xiàn)和設(shè)計(jì)出好的系統(tǒng)，小波理論與測(cè)繪儀器間的硬件結(jié)合也有待今后學(xué)者的廣泛研究。

(5)小波理論在變形預(yù)測(cè)模型中的應(yīng)用也有待進(jìn)一步研究，以其固有的優(yōu)勢(shì)，提高預(yù)測(cè)精度和預(yù)測(cè)的可靠度。

(6)小波理論在測(cè)繪數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域的研究還不夠深入，將會(huì)是今后研究的熱點(diǎn)領(lǐng)域。

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