姜泉璐，汪立新，呂永佳，吳玉彬，葉軍

（第二炮兵工程學(xué)院陜西西安710025）

為消除慣組時間序列的插值和預(yù)測分析中帶入的一些誤差，最好的方法就是用慣組已有的測試數(shù)據(jù)對預(yù)報結(jié)果做一些處理，以使預(yù)報結(jié)果更能反映慣組的實際狀況，為此，濾波是一種改善預(yù)測結(jié)果的有效方法。

濾波的方法很多，如卡爾曼濾波、維納濾波、自適應(yīng)濾波等。維納濾波器參數(shù)是固定的，適用于平穩(wěn)隨機信號[1]。卡爾曼濾波參數(shù)是時變的，適用于非平穩(wěn)隨機信號[2]，這兩種濾波器只有對信號和噪聲的統(tǒng)計特性先驗已知的情況下，才能獲得最優(yōu)濾波。然而在實際應(yīng)用中，常常無法得到這些統(tǒng)計特性的先驗知識，或者，統(tǒng)計特性是隨時間變化的。因此，用維納濾波或卡爾曼濾波器實現(xiàn)不了最優(yōu)濾波，在這種情況下，自適應(yīng)濾波能夠提供卓越的濾波性能[3]。自適應(yīng)濾波可以根據(jù)以前的測試結(jié)果通過加權(quán)來修正現(xiàn)在的結(jié)果，這正適合對插值產(chǎn)生的時間序列的預(yù)報結(jié)果進行修正，修正由插值帶來的誤差。因此自適應(yīng)濾波是對慣組測試參數(shù)時間序列預(yù)報結(jié)果進行修正的理想方法。

1 基本LMS算法

自適應(yīng)線性組合器是構(gòu)成自適應(yīng)數(shù)字濾波器的基本部件。令W（n）表示圖1中的權(quán)系數(shù)向量，W（n）=[w1（n），w2（n），…，wM（n）]T，設(shè)線性組合器的M個輸入為X（k-1），X（k-m）即

圖1 自適應(yīng)線性組合器Fig.1 Adaptive linear combination

X（n）=[x（n），x（n-1），…，x（n-m）]T，其輸出y（k）是這些輸入加權(quán)后的線性組合，即

如圖1所示，令d（k）代表“所期望的響應(yīng)”，并定義誤差信號

式（2）平方為

上式兩邊取數(shù)學(xué)期望后，得均方誤差

定義互相關(guān)函數(shù)行向量RTXd=E{d（k）XT（k）}和自相關(guān)函數(shù)矩陣RTXX=E{X（k）XT（k）}，則均方誤差（3）可表示為：

這表明，均方誤差是權(quán)系數(shù)向量W的二次函數(shù)，它是一個中間向上凹的拋物型曲面，是具有唯一最小值的函數(shù)。調(diào)節(jié)權(quán)系數(shù)使均方誤差為最小，相當于沿拋物型曲面下降找最小值。

將式（4）對權(quán)系數(shù)W求導(dǎo)數(shù)，得到均方誤差函數(shù)的梯度

令（k）=0，即可求出最佳權(quán)系數(shù)向量

它恰好就是著名的Wiener-Hoof方程。因此，最佳權(quán)系數(shù)向量Wopt通常也叫Wiener權(quán)系數(shù)向量。將Wopt代入式（4），得最小均方誤差

利用式（6）求最佳權(quán)系數(shù)向量的精確解需要知道RXX和RXd的先驗統(tǒng)計知識，而且還需要進行矩陣求逆等運算。Widrow and Hoff（1960）提出了一種在這些先驗知識未知時求Wopt的近似值的方法。習慣上稱之為Widrow-Hoff LMS算法。這種算法的根據(jù)是最優(yōu)化方法中的最速下降法。根據(jù)最速下降法，“下一時刻”權(quán)系數(shù)向量W（k+1）應(yīng)該等于“現(xiàn)時刻”權(quán)系數(shù)向量W（k）加上一個負均方誤差梯度-Δ（k）的比例項，即

W（k+1）=W（k）-μΔ（k）（8）

式中，μ是一個控制收斂速度與穩(wěn)定性的常數(shù)，稱之為收斂因子。

不難看出，LMS算法有兩個關(guān)鍵：梯度Δ（k）的計算以及收斂因子μ的選擇。

2 Δ（k）的近似計算

精確計算梯度Δ（k）是十分困難的。根據(jù)文獻[5]，一種粗略的但是卻十分有效的計算Δ（k）的近似方法是：直接取ε2（k）作為均方誤差的估計值，即

于是，Widrow-Hoff LMS算法最終為

如圖2所示。

圖2 LMS算法的方框圖Fig.2 Block diagrams of LMS algorithm

下面分析梯度估值Δ(（k）的無偏性。Δ(（k）的數(shù)學(xué)期望為

在上面的推導(dǎo)過程中，利用了d（k）和ε（k）皆為標量的事實。在得到最后的結(jié)果時，利用了式（5）。式（11）表明，梯度估值（k）是無偏估計。

3 參數(shù)μ的選擇方法[6-7]

對權(quán)系數(shù)向量更新公式（10）兩邊取數(shù)學(xué)期望，得

式中，I為單位陣。

當k=0時，E{W（1）}=（I-2μRXX）E{W（0）}+2μRXd。

對于k=1，利用上式結(jié)果，有

起始時，E{W（0）}=W（0）。

重復(fù)以上迭代至次k+1，則有

由于RXX是實值的對稱陣，可以寫出其特征值分解式

這里，利用了正定陣Q的性質(zhì)Q-1=QT，且Σ=diag（λ1，…，λM）是對稱陣，其對角元素λi是RXX的特征值。將式（14）代入式（13）后得

注意到以下恒等式及關(guān)系式：

假定所有的對角元素的值均小于1（這可以通過適當選擇μ實現(xiàn)），則

將式（16）～（19）代入式（15），結(jié)果有

由此可見，當?shù)螖?shù)無限增加時，權(quán)系數(shù)向量的數(shù)學(xué)期望可收斂至Wiener解，其條件是（I-2μΣ）對角陣的所有對角元素小于1，即

或

其中λmax是RXX的最大特征值。μ稱為收斂因子，它決定達到式（13）的速率。事實上，W（k）收斂于Wopt由比值d=λmax/λmin決定。

算法1列出了基本的LMS自適應(yīng)算法，而LMS自適應(yīng)濾波器如圖3所示。

圖3 LMS自適應(yīng)濾波器Fig.3 Adaptive filter of LMS

算法1（基本LMS自適應(yīng)算法）：初始化：

k=1→n循環(huán)做下式：

4 應(yīng)用舉例

4階AR模型為：

由文獻[4]的插值結(jié)果為樣本可求得：

預(yù)測及濾波結(jié)果如圖4所示。

圖4 預(yù)測及濾波結(jié)果Fig.4 Result of prediction and filter

圖中實線（前14次）為標定結(jié)果，虛線（后6次）為預(yù)測結(jié)果，星號為濾波結(jié)果。

預(yù)測結(jié)果的檢驗如表1所示。

表1 預(yù)測結(jié)果Tab.1 Result of prediction

此誤差系數(shù)的合格性標準和準確性標準分別為：≤4，≤0.45?？梢钥吹奖?中的數(shù)據(jù)完全通過了準確性和穩(wěn)定性檢驗，即對此誤差系數(shù)的預(yù)測是有效的。

5 結(jié)論

針對在慣組時間序列的插值和預(yù)測分析中，不可避免會引入一些誤差的特點，設(shè)計了一種基于LMS自適應(yīng)濾波器，該濾波器不僅能夠自動地調(diào)節(jié)現(xiàn)時刻濾波器參數(shù)，適應(yīng)信號和噪聲未知的或隨時間變化的統(tǒng)計特性，而且可根據(jù)以前的測試結(jié)果通過加權(quán)來修正現(xiàn)在的結(jié)果，對插值產(chǎn)生的時間序列的預(yù)報結(jié)果進行修正，最終實現(xiàn)最優(yōu)濾波。仿真結(jié)果表明該方法是對慣組測試參數(shù)時間序列預(yù)報結(jié)果進行修正的有效方法。

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