潘積亭

（杭州第十四中學 浙江 杭州 310006）

而電池老化時d E負，d r正，故d RS恒正，即RS遞增．再由（12）、（13）和（15）式得

由式（22）可得

RS＝

關于電池老化對歐姆表測量的影響，刊文多指串聯(lián)調(diào)零簡單表（如2009年高考天津卷試題），其結(jié)論是在電池用舊時電阻測值顯著偏大（與電池內(nèi)阻無關）．而實際表并非如此簡單，本文將作具體分析．

1 歐姆表電阻測量原理及誤差產(chǎn)生機理

如圖1，設電池電動勢和表內(nèi)總阻處于標稱值E0和RM0，Im0和Igm分別為調(diào)零時電路總電流和表頭電流．令電路中電流變換系數(shù)為，則有

圖1 歐姆表標稱態(tài)調(diào)零

串入電阻Rx0時表頭電流

由（1）、（2）式得

電池老化并經(jīng)調(diào)零后，E0，K0和RM0分別變?yōu)镋，K和RM（圖2）．串入同一電阻Rx0時表頭電流變?yōu)镮g，仿（3）式推導得

若這時另以（4）式為依據(jù)，畫制以中刻度R中（＝RM）的歐姆表尺．則Ig在新歐姆表尺上所示的測量值［（4）式左邊的量］還是Rx0．而實際是仍在原歐姆表尺（R中＝RM0）上按（3）式（以Ig代Ig0）示值，則測量值變?yōu)樾轮礡x

圖2 歐姆表常態(tài)時調(diào)零

由（5）、（4）兩式比，即得在電池老化的歐姆表上測電阻Rx0時的測量值為

測量的絕對誤差

相對誤差為

式（8）中ΔRM＝RM－RM0是指當時歐姆表總阻RM對標稱總阻RM0的變化量．

2 表內(nèi)總阻R M的計算式

如圖2，RS為調(diào)零電路總分流電阻，調(diào)零回路內(nèi)電阻之和R回＝Rg0＋RS0＋RP，RT為配擋分流電阻，RgSf為調(diào)零電路與Rf串聯(lián)總阻，r為電池內(nèi)阻，則而（見附錄）

3 求電池老化引發(fā)表總阻的變化量ΔR M

對（11）和（9）式兩邊微分，得

在（10）式中，令b＝4R回Rf，以E和r為變量，對該式兩邊微分，得

一般歐姆表共用一個1．5 V電池供電的有四擋（圖1，圖2）．現(xiàn)粗算R×1k和R×1兩邊端擋中的ΔRM．

［×1k擋］，因調(diào)零電路電阻R（k）調(diào)（≥104Ω）遠大于r，使（11）式中r可略計，整式可簡寫為

微分之有

又其分流電阻R（k）T（≥104Ω）r，使 （10）式中C≈1，由（9）～ （11）式知R（k）調(diào)也與r無關，僅隨E而變．

［×1擋］，因R（1）T使（11）

微分之有

4 電阻測量誤差的計算和分析

4． 1 ［R×1k擋］

先從（14）式知負決定于上式（調(diào)零電路）中（R回－2RS）的正負．下面分兩類：

而電池老化時d E負，d r正，故d RS恒正，即RS遞增．再由（12）、（13）和（15）式得

以 MF－30B表［1］為例，Rg0＝2 kΩ，RT＝1．7 kΩ，RS0＝4．3 kΩ（故R回＝8 kΩ，RS0﹥），Rf＝23．2 kΩ，R（k）T（無）＝ ∞，Im＝3．75×10－5A，

gR（k）M0＝25 kΩ，由（10）、（9）、（11）、（17）和（8）式算得 與E對 應 的RS，R（k）調(diào)，R（k）M和值，畫出R（k）M－E 和圖像（圖3）．

圖3 MF－30B表R×1k擋R（）－E 和－E 圖像k M

圖3 顯示R（k）M隨E（減?。﹩握{(diào)減小，ΔRM（＝RM－RM0）先正后負．測值Rx先偏小后偏大，最大誤差1．2%．

當E ＞1．58 V（R（k）M＜R（k）M0）時，測值Rx偏大；在1．58＞E＞1．31 V（R（k）M＞R（k）M0）間，Rx偏?。籈＜1．31 V時，Rx又偏大．最大誤差0．46% ．

圖4 108－T－1表R×1k擋R（）－E 和圖像k M

另有如500－F表［1］，雖調(diào)零電路和R（k）M－E 圖像也有上表特點，但因R（k）T較小，使R（k）M峰值近小于該表標稱總阻R（k）M0，故電阻測值Rx始終偏大．

再有如 MF50－1表［1］，雖R（k）M峰值大于R（k）M0，但因R較近于，峰值偏近高E端（相當于圖4中S0圖像右移），在新?lián)Q電池時R（k）M＞R（k）M0，隨著電池用時長呈現(xiàn)R（k）M＜R（k）M0，電阻測值會先偏小后偏大．

4． 2 ［R×1擋］

圖5 實測兩類5號干電池的r－E圖和MF－30表R×1擋－E圖像

通常設計時，定r0為0．6Ω（有熔絲時另加）．而r與電池結(jié)構(gòu)型號有關．如圖5用5號普通電池，從新置 （E＞1．5 V）經(jīng)標稱值（1．5 V）到用舊不能調(diào)零，r從r ＜r0增到r＞r0，ΔR（1）M≈Δr＝r－r0從負變到正，測值Rx先偏大，后偏小．若用優(yōu)質(zhì)堿性電池，r較小，在該擋調(diào)零域內(nèi)，r恒小于r0，始終有RM＜RM0，使Rx一直偏大．以 MF－30B表為例，R（1）M0＝25Ω，用普通電池時，最大誤差發(fā)生在最低極限調(diào)零電動勢E低＝1．36 V時，在圖5中對應r＝1．1Ω，Δr＝0．5Ω，由（15（1））和（8）式得2%（偏?。脙?yōu)質(zhì)電池時，E低＝1．30 V，由圖5知r＝0．5Ω，Δr＝－0．1（偏大）．倒是用新電池時

1．6%（也偏大）最大．

4． 3 ［R×100擋］和［R×10擋］

雖在該兩擋算誤差時都需計及ΔR調(diào)與Δr，但測值偏向特點分別近于R×1k擋和R×1擋，且誤差值均較??；最大誤差分別小于0．5%和1%．

綜上知，實際歐姆表在電池老化過程中電阻測值的偏向與電表調(diào)零電路參數(shù)和電池質(zhì)量等因素有關，使各表各擋測量值偏向和誤差值也會有別，但其誤差值都不大．所有這些與簡單歐姆表均有較大差異．

附錄：調(diào)零電路總分流電阻RS算式［即文稿中（10式）］的推證

如圖2所示，由歐姆定律得

電路總電流為

通過Rf電流為

由（11）式得

由式（22）可得

RS＝

1 李東煒，等．萬用表使用維修手冊．北京：中國計量出版社，1995．183，303，328，201