李美嬌，嚴夢霄，榮溢炯

（1.浙江大學 信息與電子工程學系，浙江 杭州 310058；2.勞倫斯技術大學 電機學院，密西根州 紹斯菲爾德 48075）

如今的電子技術正朝著小型化，智能化，集成化方向發(fā)展。電感的集成就是其中重要的一環(huán)[1-2]。電感集成不僅能使電路小型化，還可通過減少與外界的連線，來避免了寄生參數的影響，從而防止了由連線引入的電磁干擾，也可進一步提高射頻級的性能。電感集成的難點就在于如何能在較高的頻率上，在較小的面積內制作出并有足夠高的Q值且盡可能大的電感。

品質因數Q是表征無源器件質量的一個重要參數。Q為感抗XL與其等效電阻的比值。Q越高，回路損耗越小，其振蕩信號越穩(wěn)定。集成螺旋電感的損耗大致來源于3個方面：一是金屬線的電阻；二是電感面和襯底間的寄生電容將電感中的一部分能量耦合到襯底消耗了；三是電感中的電流所產生的磁場將一部分能量耦合到襯底中形成電流消耗了[3]。由于損耗太大，集成電感的Q值都很低。本文詳細分析了集成電路螺旋電感的一種物理模型。通過matlab仿真，得出了金屬線寬和線間距對螺旋電感品質因數的影響。在此基礎上對螺旋電感模型整體進行了嚴格的GP優(yōu)化，實現了在對確定的電感值及其他設計要求不變的前提下螺旋電感品質因數Q的優(yōu)化。采用優(yōu)化結果進行設計，可以使品質因數Q得到明顯提高。

1 螺旋電感物理模型分析

圖1 矩形平面螺旋電感Fig.1 Square inductor

隨著技術發(fā)展，電感正由三維向平面化發(fā)展，目前常用的集成電感是平面螺旋電感（spiral inductors），如圖1所示[4]。螺旋線的形狀一般是矩形的，也可以做成六邊形，八邊形（圖2，3）或圓形，圓形螺旋電感在給定的金屬線寬度和電感值下電阻損耗最小，Q值也最高，但生產技術難以實現。

圖2 六邊形平面螺旋電感Fig.2 Hexagonal inductor

圖3 八邊形平面螺旋電感Fig.3 Octagonal inductor

定義螺旋電感的外徑 dout，內徑din，金屬線寬W，線間距s（圖 1，2，3所示）和匝數 n，得到螺旋電感的平均直徑 davg，線長度l，面積A的計算公式：

其中，γ1、γ2為系數，其取值如表 1 所示。

表1 矩形、六邊形、八邊形參數Tab.1 Parameters of square， hexagonal， octagonal

圖4所示為螺旋電感的物理模型[5]，其中Ls和Rs是串聯(lián)電感和電阻，Cs是導體間的電容，Cox是電感與硅襯底間的電容，CSi和RSi表示硅襯底的電容和電阻。

各參數的公式如下：

圖4 硅襯底螺旋電感物理模型Fig.4 Circuit model of sillicon base spiral inductor

其中 α1～α5的數值見表 2。

表2 矩形、六邊形、八邊形對應參數數值Tab.2 Parameters of square， hexagonal， octagonal

其中，εox=3.451 0－13F/cm，k2= εox/（2tox）。

為便于優(yōu)化將圖4的模型轉化為圖5所示的模型。

圖5 硅襯底螺旋電感物理模型簡化圖Fig.5 Simplified circuit model of sillicon base spiral inductor

其中，

品質因數Q的表達式：

2 單變量對Q值的影響

通過設定參數 n，W，dout的數值，以 s（線間距）為變量，通過matlab仿真可以得到Q值隨s的變化關系；同樣通過設定參數 n，s，dout的數值，以 W（金屬線寬）為變量，通過 matlab仿真可以得到Q值隨W的變化關系如圖6所示。

從圖中觀察得到Q隨s的增加而減少，Q隨W的增加而先增加后降低?？梢钥闯鰡巫兞繉值得影響是不同的，因此存在一個最優(yōu)化問題。所以希望找到一種方式可以在一定的限制條件下，變化與Q值有關的多個變量，找到在電感值及其他限定條件不變的情況下，Q的最大值及Q值的優(yōu)化，研究發(fā)現GP優(yōu)化可以很好地完成此項工作。

圖6 單變量s，W對Q值的影響Fig.6 Q-s and Q-W curves

3 GP優(yōu)化簡介

GP 可以對單項式（如 g（x））和多項式（如 f（x））進行優(yōu)化，要求系數 c（或 ck）為整數。

優(yōu)化形式如下：可以求出在限定條件下fo的最大值或最小值。要求限定條件為關于單項式或多項式的不等式或等式，其中不等式左邊可以是單項式或多項式，而不等式右邊只能是單項式。

Minimize f0（x）

Subject to fi（x）≤1,i=1,…，m

gi（x）=1，i=1,…，p

GP優(yōu)化的關鍵函數：

gpvar定義變量

constr設定限制條件

[opt_val sol status]=gpsolve（QL， constr， ’max’）優(yōu)化命令。

該式子將求得QL在constr的限定條件下的max（最大值）（求最小值可將max改為min），并將得到QL的優(yōu)化值賦給opt_val。

可見，只要能將優(yōu)化目標與變量的關系式化為多項式形式，變量的限制條件化為符合GP要求的單項式或多項式形式，就可以采用GP優(yōu)化形式對目標進行優(yōu)化。

4 品質因數Q的GP優(yōu)化

通過對Qmin≤Q，進行化簡得到Qmin，即目標函數限定關系

式如下[1]：

其他的限定條件范圍及常數設定如下式及表3所示：

Ls=L，Ls,min≤Ls≤Ls,max，W≥Wmin， s ≥smin,d2out≤Areamax,，davg+ns+nW≤dout

表3 程序中變量范圍設置Tab.3 Variables range setting in program

另外需要用到，Csub和Gsub分別代表硅襯底單位面積的電容和電導。在本文中，采用電阻率為10 Ωcm的硅襯底，Csub和Gsub分別 1.6×10－6F/m2和 4×104S/m2。

設定電感值的變化范圍為2～20 nH，得到1.6 GHz下對應的Q值優(yōu)化曲線，如圖7所示。

圖7 1.6 GHz時矩形平面螺旋電感Q值隨L變化的優(yōu)化曲線（8 nH處Qmax為6.6升）Fig.7 Q-L curve of square inductor，while f=1.6 GHz（Qmax=6.641， when L=8nH）

5 GP優(yōu)化方法的優(yōu)勢

應用遺傳算法設計一個工作在1.6 GHz，電感值為8 nH的方形平面螺旋電感，得到的最佳設計方案為，dout=344 μm，導線寬度W=12.2 μm，導線間隔S=3.2 μm，Q值最優(yōu)解為5.8[6];而查詢等Q值線所得到的工作在1.6 GHz，電感值為8 nH的方形平面螺旋電感Q值最優(yōu)解為5.3。應用GP優(yōu)化得到的矩形螺旋電感面積不大于 400 μm2，Q值最優(yōu)解為6.641，與遺傳算法相比提高了14.5%，與等Q值線相比提高了20.2%，可以看出，方形螺旋電感品質因數是大大優(yōu)化了。

6 不同形狀的螺旋電感Qmax隨L變化曲線

根據表2的參數，更改程序，得到圖8、圖9。

圖8 1.6 GHz時六邊形平面螺旋電感Q值隨L變化的優(yōu)化曲線（8 nH 處 Qmax為 6.649）Fig.8 Q-L curve of hexagonal inductor，while f=1.6GHz（Qmax=6.649， when L=8nH）

圖9 1.6 GHz時八邊形平面螺旋電感Q值隨L變化的優(yōu)化曲線（8 nH 處 Qmax為 6.638）Fig.9 Q-L curve of octagonal inductor，while f=1.6GHz（Qmax=6.638， whenL=8nH）

由圖可見，在相同工藝參數及限制條件下，隨著螺旋電感邊數的增多，同數值的電感所得到的Qmax變化并不大。

7 結論

本文有3點創(chuàng)新之處。首先，為了利用GP優(yōu)化的方法研究螺旋電感品質因數Q的特性，需要進行建模；而建模所需的變量并不是如同其他仿真實驗一樣根據經驗直接設定，而是通過另一個單獨的程序來研究究竟哪些因素對Q的影響比較大，會有怎樣的制約關系，通過matlab仿真，得到了Q隨s，W變化的曲線圖，進而確定了s，W作為建模的主要變量；其次，在對螺旋電感進行GP優(yōu)化時，并不是單純地研究四邊形電感的品質因數最大值，而是拓展到六邊形、八邊形，比較了3種螺旋電感在相同實驗條件設定的前提下Qmax的不同；最后，在分析GP優(yōu)化方法的同時，還將它與其他螺旋電感品質因數優(yōu)化的方法進行了比較，發(fā)現GP優(yōu)化較一般線性規(guī)劃、查表法等方法有快捷精確的優(yōu)勢，在相同條件下，Q值分別提高了14.5%和20.2%，得到其他方法所不能企及的最優(yōu)解。

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