武艷輝，吳正朋，李梅

(中國傳媒大學應用數(shù)學系，北京 100024)

1 引言

灰色系統(tǒng)的特色是研究“小樣本”與“貧信息”等不確定性問題。因此充分開發(fā)利用已占有的信息來挖掘系統(tǒng)本身固有的規(guī)律是灰色系統(tǒng)理論的基本準則。我們可以通過社會、經(jīng)濟、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)來尋求因素之間或自身的變化規(guī)律?；疑到y(tǒng)理論認為，盡管客觀系統(tǒng)的表象復雜，數(shù)據(jù)離亂。但它們總有自身的整體功能，必然蘊藏某種內(nèi)在的規(guī)律。關(guān)鍵是如何選擇適當?shù)姆椒▉硗诰蚝屠盟?。在文獻［1，4，5，7］中，劉思峰等教授提出了沖擊擾動緩沖算子的概念，并構(gòu)造出一種得到較廣泛應用的弱化緩沖算子。本文在他們的工作的基礎上，又構(gòu)造出二類新弱化緩沖算子。從而推廣了緩沖算子的類型。

2 基本概念

定義2.1設系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，如

(1)?k=2，3，…，n，x(k) －x(k) －x(k－1) ＞0，則稱X為單調(diào)增長序列。

(2)?k=2，3，…，n，x(k) － x(k－1) ＜0，則稱X為單調(diào)衰減序列。

(3)若有 k1，k2∈{2，3，…，n}有 x(k1) － x(k1－1)＞0，x(k2)－x(k2－1)＜0，則稱 X為振蕩序列。其中

M=max1≤k≤nx(k)，m=min1≤k≤nx(k)，稱 M － m為振蕩序列X的振幅。

定義2.2設X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為作用于X的算子，X經(jīng)算子D作用后所得到序列記為XD=(x(1)d，x(2)d，…，x(n)d)，則稱 D 為序列算子。

對序列連續(xù)作用，可得二階算子，一直可以作用到r階算子，分別記為 XD2，…，XDr。

公理2.1［4］(不動點公理)設X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，則有x(n)d=x(n)。

公理2.2［4］(信息充分利用公理)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個數(shù)據(jù)x(k)(k=1，2，…，n)，都應充分地參與算子作用的整個過程。

公理2.3［4］(解析化與規(guī)范化公理)任意的x(k)d(k=1，2，…，n)皆可以由一個統(tǒng)一的 x(1)，x(2)，…，x(n)的初等表達式表達。

滿足上述三公理的序列算子稱為緩沖算子。XD稱為緩沖序列。

定義2.3［5］設X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，D為序列算子，當X當X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列，緩沖序列XD比行為數(shù)據(jù)序列X的增長速度(或衰減速度)減緩或振幅減小，則稱緩沖算子D為弱化緩沖算子。

定理 1［5］

(1)設X為單調(diào)增長序列，XD為緩沖序列，則D為弱化緩沖算子?x(k)≤x(k)d。

(2)設X為單調(diào)衰減序列，XD為緩沖序列，則D為弱化緩沖算子?x(k)≥x(k)d。

(k=1，2，…，n)

(3)設X為振蕩序列，XD為緩沖序列，D為弱化緩沖算子，則

由定理2.1可知，單調(diào)增長序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)膨脹;單調(diào)衰減序列在弱化緩沖算子作用下，數(shù)據(jù)萎縮。

3 弱化緩沖算子的構(gòu)造

劉思峰，黨耀國等教授在其專著［2］中構(gòu)造了下列弱化緩沖算子，設 X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令

則當X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D1，D2皆為弱化緩沖算子。

在此，我們在弱化緩沖算子D1，D2基礎上，利用單調(diào)函數(shù)理論構(gòu)建新的弱化緩沖算子。

定理2設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且 x(i) ＞0，fi＞0，fi，i=1，…，n. 為嚴格單調(diào)遞增(遞減)函數(shù)，gi為fi的反函數(shù)。權(quán)重向量為 w=(w1，…，wn)，其中

令 XD3=(x(1)d3，…，x(n)d3)

則當X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列時，D3為弱化緩沖算子。

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而D3為緩沖算子。

假設fi為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，下證當:

(1)X為單調(diào)增長序列時，因為0＜x(k)≤…≤x(n)，得

所以D3為弱化緩沖算子。

當代大學生對生活品質(zhì)的需求與日俱增，但由于經(jīng)濟來源單一，很多大學生不能得到滿足。不管是大學校園二手物品交易市場的供給方，還是大學校園二手物品交易市場的需求方，都是較為龐大的群體，他們對二手交易的需求十分強烈。由于大學生尚未體驗生活的艱苦，他們很容易喜新厭舊。因此，很多大學生手中多多少少都會有些自己已不再需要但還有一定價值的物品，也有很多大學生由于生活費的限制買不了自己想要的新產(chǎn)品，再加之大學生的消費心理總是希望用最少的錢買到物有所值的商品，這就需要二手市場發(fā)揮積極作用。構(gòu)建新型大學校園二手交易平臺是可行的，它能在一定程度上滿足大學生的交易需求。

(2)X為單調(diào)衰減序列時，因為0＜x(k)≤…≤x(n)，得 fi(x(k))≥…≥fi(x(n)) ＞0，

所以D3為弱化緩沖算子。

(3)當X為振蕩序列時，令

對任意的 j∈{1，2，…，n}，有

故D3為弱化緩沖算子。

同理可證當fi為嚴格單調(diào)遞減函數(shù)時，D3也為弱化緩沖算子。

定理3設 X=(x(1)，x(2))，…，x(n))為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且 x(i) ＞0，fi＞0，fi，i=1，…，n.為嚴格單調(diào)遞增(遞減)函數(shù)，gi為fi的反函數(shù)。權(quán)重向量為w=(w1，…，wn)，fi為嚴格單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，gi為其反函數(shù)。其中

令 XD4=(x(1)d4，…x(n)d4)

則當X為單調(diào)增長序列，單調(diào)衰減序列或振蕩序列

證明:容易驗證，

即D4滿足緩沖算子公理一。

至于緩沖算子公理二，公理三顯然成立，因而D4為緩沖算子。

假設fi為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，

下證當:

(1)X為單調(diào)增長序列時，因為0＜x(k)≤…≤x

(n)，得0＜fi(x(k))≤…≤fi(x(n))，

0＜fi(x(k))

所以D4為弱化緩沖算子。

(2)X為單調(diào)衰減序列時，因為0＜x(k)≤…≤x(n)，得 fi(x(k))≥…≥fi(x(n)) ＞0，

所以D4為弱化緩沖算子。

(3)當X為振蕩序列時，令

對任意的 j∈{1，2，…，n}，有

故D4為弱化緩沖算子。

同理可證當fi為嚴格單調(diào)遞減函數(shù)時，D4也為弱化緩沖算子。

定理4設X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為非負的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，且 x(i) ＞0，fj＞0，wi＞0，w'i＞0。權(quán)重向量分別為 w=(w1，…，wn)和 w'=(w'1，…，wn)。

(1)當X為單調(diào)增長序列時，有

(2)當X為單調(diào)遞減序列時，有

證明:假設fj為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則gj也為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)。欲證

則只須證明

因此，

(1)當X為單調(diào)增長序列時，有

又因fj為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則，

由(7)知，

又因gj為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則

(2)當X為單調(diào)遞減序列時，有

又因fj為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則

由(7)知，

故

又因gj為嚴格單調(diào)遞增函數(shù)，則

(3)當X為單調(diào)增長序列時，有

(4)當X為單調(diào)遞減序列時，有

證明:對函數(shù)gj內(nèi)部表達式，兩邊取對數(shù)后進行證明，推導過程與定理4類似，最后由于gj為嚴格單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，可容易得到結(jié)論。

當fi(x)=gi(x)=x時，弱化緩沖算子D3，D4分別就是文獻［4］中的弱化緩沖算子D1，D2。即弱化緩沖算子D1，D2為我們的特例。文獻［4］中的算例已經(jīng)說明弱化緩沖算子D3，D4具有一定的實用價值。當然由于只要求f為嚴格單調(diào)遞增(或遞減)函數(shù)，這樣的f太多了，隨手可得。

4 實例分析

以上海市國際互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)為例［13］，驗證本文構(gòu)造的弱化緩沖算子在GM(1，1)模型預測中的應用。選取該市2001～2007國際互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)(單位:萬戶)作為原始數(shù)據(jù):

從原始數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，上海市上網(wǎng)用戶數(shù)增長勢頭很猛，年平均增長率為19.52%，如此高的增長率不可能一直保持下去，因此直接用原始數(shù)據(jù)建模，預測結(jié)果令人難以相信。經(jīng)過筆者認真分析，認為上海市上網(wǎng)用戶數(shù)和Internet的剛興起，以及政府的大力推廣等因素有關(guān)，因此要進行若干年后上網(wǎng)用戶數(shù)的預測，必須要弱化其增長趨勢，要將上述政策因素附加到過去的年份中，從而消除前期政策因素對后期上網(wǎng)用戶數(shù)增加速度的影響，使得模型預測精度更高，預測結(jié)果與實際情況相符合。

以2001～2006年數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，以2007年數(shù)據(jù)為模擬檢驗數(shù)據(jù)。為了方便，令fi(x)=x2，權(quán)重為等權(quán)重，利用D3和D4對原始序列進行一階緩沖算子的作用，分別得到一階緩沖序列:

通過計算得到平均相對誤差和一步預測誤差的比較結(jié)果，如表1所示

表1 弱化前后模型的平均相對誤差和一步預測精度比較

由表1可以看出，對原始序列經(jīng)過緩沖算子D4作用后，一步預測精度最低，其預測模型為:

2007年上海市互聯(lián)網(wǎng)用戶數(shù)的預測值為1081.747萬戶，與實際值基本吻合

5 結(jié)語

在緩沖算子的構(gòu)造過程中，以前都是一個一個去構(gòu)造。而我們是首次將緩沖算子的構(gòu)造與函數(shù)聯(lián)系起來，一次構(gòu)造一大類緩沖算子。為解決擾動數(shù)據(jù)序列的建模提供了多種選擇。開辟了如何利用函數(shù)來構(gòu)造緩沖算子的新方向，進一步研究正在進行中。

［1］ 劉思峰.沖擊擾動系統(tǒng)預測陷阱與緩沖算子［J］.華中理工大學學報，1997，25(1):25 －27.

［2］ Liu Sifeng.The three axioms of buffer operator and their application［J］.The Journal of Grey System，1991，3(1):39 －48.

［3］ 劉思峰，黨耀國，方志耕，灰色系統(tǒng)理論及其應用(第三版)［M］，北京:科學出版社，2004.

［4］ 黨耀國，劉思峰，劉斌，唐學文.關(guān)于弱化緩沖算子的研究［J］，中國管理科學，2004，12(2):108－111.

［5］ 黨耀國，劉斌，關(guān)葉青.關(guān)于強化緩沖算子的研究［J］.控制與決策，2005，20(12):1332 －1336.

［6］ 黨耀國，劉思峰，米傳民.強化緩沖算子性質(zhì)的研究［J］.控制與決策，2007，22(7):730 －734.

［7］ 關(guān)葉青，劉思峰.基于不動點的強化緩沖算子序列及其應用［J］.控制與決策，2007，22(10):1189－1192.