李云良，魯明宇，譚惠豐，譚憶秋

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，150090哈爾濱，liyl-hit@163.com;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程博士后流動站，150090哈爾濱;3.香港理工大學(xué)機械工程學(xué)院，香港;4.哈爾濱工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所，150001哈爾濱)

在薄膜結(jié)構(gòu)中，由于薄膜的抗彎剛度很小，所以往往有褶皺存在［1-2］.褶皺將影響到薄膜的穩(wěn)定性及其應(yīng)力分布，而且還會對薄膜的動態(tài)特性產(chǎn)生一定的影響［3］.目前對于薄膜褶皺的形成及擴展規(guī)律進行了廣泛研究［4-6］，而對于薄膜產(chǎn)生褶皺后的動態(tài)特性的研究則相對較少.

Kukathasan等［7］對具有褶皺薄膜的自振特性進行了數(shù)值模擬分析.對薄膜褶皺的處理采用了迭代薄膜性能方法(IMP)，分析了不同褶皺模式對于薄膜振動的影響，分析中還考慮了空氣阻尼的影響，并與實驗研究結(jié)果進行對比分析.Hossai和Jenkins［8-9］研究了具有褶皺的三角形薄膜和環(huán)形薄膜的振動特性，褶皺的模擬采用修正材料罰參數(shù)方法(PPMM).罰參數(shù)是在平面內(nèi)的小主應(yīng)力方向上分配一個近似于零的剛度值，以消除剛度矩陣的奇異使計算獲得收斂.具有褶皺薄膜的振動模態(tài)與不具有褶皺薄膜的振動模態(tài)相比發(fā)生了很大變化，二者的固有頻率也存在著一定區(qū)別.

薄膜產(chǎn)生褶皺以后，其平衡位形發(fā)生了變化，因此具皺薄膜的振動應(yīng)當(dāng)在褶皺的構(gòu)形基礎(chǔ)上進行，才能獲得更為精確的分析結(jié)果;同時由于褶皺構(gòu)形引起的薄膜平衡位形的變化及褶皺區(qū)域的應(yīng)力分布特點，導(dǎo)致其振動模態(tài)與褶皺構(gòu)形之間應(yīng)具有一定的相關(guān)性，本方對相關(guān)問題進行了分析.

1 具有褶皺薄膜振動的微分方程

薄膜產(chǎn)生褶皺以后，將產(chǎn)生一定的面外變形.具有褶皺的薄膜，將以褶皺構(gòu)形為平衡位置進行振動.采用拉格朗日方程建立褶皺薄膜振動的微分方程.

振動過程中薄膜彎曲形變勢能為

式中:D為彎曲剛度;w為振型函數(shù);v為泊松比.應(yīng)變勢能為

式中:E為彈性模量;t'為薄膜厚度;εx、εy、γxy分別為線應(yīng)變和剪應(yīng)變.

只考慮微幅的薄膜面外振動，而不考慮薄膜的面內(nèi)振動，振動構(gòu)形函數(shù)為w，褶皺的面外變形的表達式為w0，兩者均為坐標(x，y)的函數(shù).在這種情況下，應(yīng)變的表達式為

式(3)代入式(2)得到薄膜應(yīng)變勢能為

設(shè)薄膜的密度為ρ，薄膜振動的動能表達式為

假定振動構(gòu)形及褶皺構(gòu)形為如下的級數(shù)形式

將式(6)代入式(1)、(4)、(5)，得到振動過程勢能表達式為

動能表達式為

由拉格朗日方程

其中

將式(7)、(8)代入式(14)，結(jié)合式(13)，得

式(15)表示非線性振動的微分方程，如果忽略非線性項的影響，則得到線性振動的微分方程

令qi=aisinωt代入上式有

寫成矩陣的形式為

式中剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M的分量如式(11)和(9)所示，向量A是振動的特征向量，即振動的模態(tài).

由式(11)可知，剛度矩陣中耦合了薄膜平衡位置的褶皺面外變形的影響.由于張力場理論忽略了褶皺引起的面外變形，所以采用基于張力場理論的褶皺薄膜的動態(tài)分析，相當(dāng)于忽略了式(11)中所有與w0有關(guān)的項，所以基于張力場理論的動態(tài)分析將存在一定的誤差.

通過求解方程(18)的特征值和特征向量，可以得到褶皺薄膜振動的固有頻率和模態(tài).矩陣的特征值問題可以通過子空間迭代法或蘭索斯方法進行求解.

通過有限元方法求解方程(18)，其剛度矩陣可由單元剛度矩陣組裝而成，即

單元剛陣Ke由3部分組成

并且

式中:KeL為線性剛陣;Keσ為初應(yīng)力剛陣;KeNL為大位移剛陣;σ為初始應(yīng)力;B為應(yīng)變矩陣;D為彈性矩陣.

通過具有褶皺薄膜的單元剛陣的表達式可以看出，具有褶皺薄膜的動態(tài)分析要分兩步進行:首先獲得薄膜在外載荷作用下的平衡構(gòu)形，即褶皺構(gòu)形;然后通過褶皺變形來更新幾何模型，從而形成具有褶皺變形影響的剛度矩陣的分量，再通過特征值分析得到系統(tǒng)振動的固有頻率和模態(tài).

2 褶皺薄膜振動的數(shù)值分析流程

褶皺產(chǎn)生以后，薄膜的構(gòu)形發(fā)生了變化，并且薄膜中的應(yīng)力分布也發(fā)生了變化.所以動態(tài)分析應(yīng)當(dāng)考慮薄膜構(gòu)形的變化及其所引起的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的變化，也就是說，動態(tài)分析應(yīng)當(dāng)在褶皺構(gòu)形上進行.為此本文建立了具有褶皺薄膜的動態(tài)分析流程如圖1所示.

圖1 褶皺薄膜動態(tài)分析流程

采用殼單元進行薄膜褶皺分析，首先施加小的初始預(yù)張力，使薄膜獲得一定的初始剛度，便于分析收斂;然后施加微小的面外擾動(通過擾動力的形式來施加)使結(jié)構(gòu)變得不穩(wěn)定，以便跟蹤到分岔路徑，獲得褶皺構(gòu)形;施加外載荷進行后屈曲分析(在分析過程中適時的去除外擾動力，以消除擾動對分析結(jié)果的影響)獲得褶皺構(gòu)形;通過模型更新來考慮褶皺構(gòu)形對動態(tài)特性的影響，進行考慮有預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的褶皺薄膜的模態(tài)分析，得到振動的固有頻率和振動模態(tài).

3 算例分析

建立矩形剪切薄膜分析模型如圖2所示.薄膜尺寸為380 mm×120 mm，彈性模量、泊松比、密度及薄膜厚度分別為:E=3.53 GPa，v= 0.34，ρ=1 400 kg/m3，t'=50 μm.

圖2 剪切矩形薄膜

邊界條件為上下邊界固定，左右邊界自由.上邊緣首先向y方向拉伸一個小的距離δ2，以使薄膜中產(chǎn)生一定的初始應(yīng)力，然后上邊緣向x方向產(chǎn)生剪切變形δ1.此時在薄膜中會產(chǎn)生與底邊成θ角的斜向褶皺，通過圖1流程來分析薄膜產(chǎn)生褶皺以后的動態(tài)特性.單元數(shù)量為5 080個，初始張拉距離為 δ2=0.1 mm，剪切距離為 δ1= 0～3 mm.分析過程中施加的初始擾動力為0.1 N.

3.1 振動模態(tài)與褶皺構(gòu)形的相關(guān)性

當(dāng)初始張拉距離為0.1 mm，不同剪切距離得到的褶皺變形模式如圖3所示.可以看出，隨著剪切距離的增加，褶皺的數(shù)量并沒有發(fā)生變化(均為12個褶皺).

圖3 不同剪切距離時的褶皺構(gòu)形

當(dāng)剪切距離為0.5 mm時，得到具有褶皺薄膜的前四階模態(tài).圖4為褶皺薄膜縱向中線的振動模態(tài)與張拉距離為 0.1 mm、剪切距離為0.5 mm時薄膜的縱向中線的褶皺構(gòu)形的對比.圖中實線為振動模態(tài)，虛線為褶皺構(gòu)形.箭頭所處的位置為節(jié)線位置.從節(jié)線的數(shù)目來看，隨著模態(tài)階數(shù)的增加，節(jié)線的數(shù)目依次減少.通過縱向中線的振型與褶皺構(gòu)形的對比，可以清晰看出，振動模態(tài)與褶皺構(gòu)形的相關(guān)性.由圖4可見，對稱的振型和反對稱的振型交替出現(xiàn).并且節(jié)線的位置都處于褶皺構(gòu)形的波峰位置.(反對稱的振型中，對稱軸處的節(jié)線除外).以節(jié)線為分界，振動模態(tài)中存在3種振動形式.Ⅰ型振動:1/2個褶皺波長范圍內(nèi)同向振動，節(jié)線的位置為褶皺波峰的位置;Ⅱ型振動:3/4個褶皺波長范圍內(nèi)同向振動，節(jié)線的位置為波峰和中面線的位置;Ⅲ型振動:1個褶皺波長范圍內(nèi)同向振動，節(jié)線的位置為波峰的位置.依此類推，在更高階的振型中，將出現(xiàn)3/2個褶皺波長、7/4個褶皺波長、2個褶皺波長等波長范圍內(nèi)的同向振動.3種振型在前八階模態(tài)中的數(shù)量分別如表1所示.從3種振型的數(shù)量來看，高階模態(tài)的振動形式變得更加復(fù)雜，并且有更多的褶皺波峰參與振動.

通過理論分析可知，褶皺波峰處將出現(xiàn)較大的拉應(yīng)力，并且褶皺的波峰位置在一個褶皺范圍內(nèi)具有最大的面外變形.由此結(jié)合式(21)可知，在褶皺的波峰位置將形成較大的局部剛度，這樣就導(dǎo)致在褶皺薄膜的振動過程中褶皺波峰多處于節(jié)線的位置，不發(fā)生振動.并且在高階模態(tài)下，隨著褶皺波峰開始參與振動，相應(yīng)的其振動頻率也在增加.由此可見，由于褶皺所形成的面外變形及褶皺區(qū)域應(yīng)力分布的特點，共同決定了褶皺薄膜的振動模態(tài)與褶皺構(gòu)形的相關(guān)性.

圖4 褶皺薄膜的振動形式與褶皺構(gòu)形的對比

表1 不同的振動形式分布

3.2 褶皺幅度對振動頻率的影響

在薄膜初始張拉距離為0.1 mm時，前四階固有頻率與剪切距離的變化關(guān)系如圖5所示(上橫坐標軸的刻度是與剪切距離對應(yīng)的褶皺最大面外變形與薄膜厚度的比值).可以看出隨著剪切變形的增加，褶皺的變形幅度增大，并且其頻率出現(xiàn)了振蕩變化.各階頻率與沒有發(fā)生剪切變形的情況相比明顯下降了.

P1～P4(不同剪切距離時對應(yīng)的基頻)點所對應(yīng)的振動模態(tài)如圖6所示.圖中只顯示了節(jié)線的位置.由于褶皺的數(shù)目沒有隨著剪切距離的增加而發(fā)生變化(均為12個褶皺)，所以其節(jié)線的數(shù)目也沒有發(fā)生變化，這與前面分析的振動模態(tài)與褶皺構(gòu)形相關(guān)性的分析結(jié)論相吻合.只是在大的剪切變形的情況下，在薄膜的邊緣處出現(xiàn)了局部振動.

圖5 剪切變形與振動頻率

圖6 不同剪切距離時的一階振型

4 結(jié)語

首先基于拉格朗日方程建立了考慮褶皺面外變形的薄膜后屈曲振動的微分方程，并基于有限元程序建立了其數(shù)值求解過程，基于所建立的求解過程對剪切矩形薄膜的后屈曲動態(tài)特性進行了分析.

薄膜后屈曲的振動模態(tài)與其褶皺構(gòu)形具有很大的相關(guān)性，振動的節(jié)線處于褶皺的波峰位置，隨著褶皺的波峰參與振動，其固有頻率相應(yīng)增加，薄膜褶皺的面外變形及褶皺區(qū)域的應(yīng)力分布規(guī)律共同決定了這一特點.隨著褶皺面外變形幅度的增加，其固有頻率發(fā)生了振蕩變化，與沒有發(fā)生屈曲薄膜的動態(tài)特性相比，產(chǎn)生褶皺以后薄膜振動的固有頻率明顯減小了.

［1］ LI Yunliang，TAN Huifeng，WANG Changguo，et al. Membrane buckling patterns and secondary buckling analysis［J］.International Journal of Space Structures，2008，23(3):183-191.

［2］ DING Hongli，YANG Bingen.The modeling and numerical analysis of wrinkled membranes［J］.Int J Numer Meth Engng，2003，58:1785-1801.

［3］ WANG Changguo，LI Yunliang，DU Xingwen，et al. Simulation analysis of vibration characteristics of wrinkled membrane space structure［J］.International Journal of Space Structures，2007，22(4):239-246.

［4］ RODDEMAN D G，DRUKKER J，OOMENS C W，et al.The wrinkling of thin membranes:part I-theory［J］.Journal of Applied Mechanics，1987，54:884-887.

［5］ EPSTEIN M，F(xiàn)ORCINITO M A.Anisotropic membrane wrinkling:theory and analysis［J］.International Journal of Solids and Structures，2001，38:5253-5272.

［6］ 李云良，譚惠豐，王曉華.矩形薄膜和充氣管的屈曲及后屈曲行為分析［J］.航空學(xué)報，2008，29(4): 886-892.

［7］ KUKATHASAN S，PELLEGRINO S.Nonlinear vibration of wrinkled membranes［C］//44th AIAA/ASME/ ASCE/AHS/ASC Structures，StructuralDynamics，and Materials Conference.Norfolk:［s.n.］，2003.

［8］ HOSSAIN N M A，JENKINS C H.Wrinkles and gravity effects on transverse vibration of membranes［C］// 46th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures，Structural Dynamics＆Materials Conference.Austin，Texas:［s.n.］，2005.

［9］ HOSSAIN N M A.JENKINS C H.Jenkins.transverse vibration analysis for partly wrinkled wembranes［J］. Journal of Spacecraft and Rockets，2006，43(3):626 -637.