遼寧衛(wèi)生職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)理計算機教研室(110101) 張樂成 景 宇

在統(tǒng)計學(xué)中常見的均勻分布函數(shù)、指數(shù)分布函數(shù)、正態(tài)分布函數(shù)等都是連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)，對于統(tǒng)計工作者來說，連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)計算是經(jīng)常遇到且必須解決的問題。由分布函數(shù)F(x)定義及數(shù)學(xué)分析可知〔1〕，F(xiàn)(x)計算是一個積分計算，從根本說就是關(guān)于密度函數(shù)f(x)定積分計算。在數(shù)學(xué)中對定積分近似計算方法有很多，但對于廣大醫(yī)學(xué)衛(wèi)生工作者來說，要掌握這些計算方法還需了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識，因此，他們使用這些計算方法很不方便。本文給出了一個用概率方法計算定積分的方法，即用統(tǒng)計試驗法計算定積分，同時給出了該方法計算機程序。這種方法理論上非常簡單，極易掌握，借助計算機可輕松完成。

原理與方法

統(tǒng)計試驗方法又稱蒙特卡羅方法〔2〕，是一種采用統(tǒng)計抽樣理論近似地求解數(shù)學(xué)問題或物理問題的方法，既可用來研究概率問題，也可用來求解非概率問題。利用蒙特卡羅方法去解決數(shù)學(xué)分析問題時，基本的思想是首先建立與描述該問題有相似性的概率模型，利用這種相似性把這概率模型的某些特征(如隨機事件的概率或隨機變量的平均值等)與數(shù)學(xué)分析問題的解答(如積分值、微分方程的解等)聯(lián)系起來，然后對模型進行隨機模似或統(tǒng)計抽樣，再利用所得結(jié)果求出這些特征的統(tǒng)計估計值作為原來的分析問題的近似解。蒙特卡羅方法的理論基礎(chǔ)是概率論中最一般的定理——大數(shù)定律。

下面我們用蒙特卡羅方法來求解定積分問題，進而解決連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)計算問題。采用的方法是隨機擲點計數(shù)統(tǒng)計法，實例如下:

程序與應(yīng)用

依據(jù)上述算法用Visual Basic語言編寫程序如下:首先建立一個窗體，在窗體上建五個文本框和一個命令按鈕。編寫代碼如下:

Private Sub Command1_Click()

Dim x()，y()

a=Text1'積分區(qū)間下限

b=Text2'積分區(qū)間上限

c=Text3'被積函數(shù)一個上界

n=Text4'試驗次數(shù)

ReDim x(n)，y(n)

Randomize

m=0

For i=1 To n

x(i)=(b－a)*Rnd+a

y(i)=c*Rnd

If f(x(i))＞=y(i)Then m=m+1

Next i

Text5=m/n*(b－a)*c

例 計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

End Sub

Function f(x)

100 f=Sqr(x)

End Function

2．改寫程序

將語句標(biāo)號為100語句改換為

f=1/Sqr(2*3.1415926)*Exp(－x^2/2)

3．運行程序

將a賦值0，將b賦值2，將c賦值0．5(是積分函數(shù)一個上界)，將n賦值100000。

我們計算 5次的值分別是:0.47570，0.47679，0.47851，0.47615，0.47802，平均值是 0.47703

所以φ(2)≈0.5+0.47703=0.97703

求φ(－1)可以將φ(－1)整理成:

討 論

1．計算時對c值選擇很重要，c越小越好(擲點試驗靈敏度越高)，但c必需是積分函數(shù)在積分區(qū)域上的上界。

2．依據(jù)大數(shù)定律，對n值選擇是越大越好。但要注意對程序運行時間影響不要太大，還有考慮計算機能否可以接受。

3．計算連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)時，需要把它整理成求定積分形式。

4．本文給出程序代碼是本方法核心代碼，人們可根據(jù)需要進行擴充，如加入求多個結(jié)果的平均數(shù)計算等。

5．本文雖沒有給出算法結(jié)果的誤差估計，但是這個誤差估計是可以計算出的。這是因為本文中n次擲點試驗，可以看做是進行n次成功概率為Q的貝努里試驗，m是其中成功次數(shù)，故m服從二項分布b(n，Q)。

1．盛驟，謝式千，潘承毅．概率論與數(shù)理統(tǒng)計．第4版．北京:高等教育出版社，2008．

2．陳東彥，李東梅，王樹忠．?dāng)?shù)學(xué)建模．北京:科技出版社，2007．