閔 杰，陳邦考，俞能福，歐 劍

(安徽建筑工業(yè)學(xué)院 數(shù)理系,合肥 230601)

0 引言

在傳統(tǒng)的庫存模型中，通常假設(shè)零售商一旦收到所訂購的物品則立即向供應(yīng)商付清這些物品的款項(xiàng)。但實(shí)際上，一些供應(yīng)商為提升自己的市場競爭力，愿意提供給零售商一定時期的免息信用時間，即允許零售商延期付款。在信用期結(jié)束前，零售商可以通過商品銷售以增加收入和獲利。近二十年來，延期支付對最優(yōu)庫存策略的影響已引起了許多研究者的關(guān)注。

本文發(fā)展了一個更為一般的允許滯后支付的庫存模型，以彌補(bǔ)已有相關(guān)研究的不足。本模型假定物品補(bǔ)貨率或者生產(chǎn)速度有限，庫存發(fā)生時即發(fā)生變質(zhì)?？紤]到實(shí)際情形，本文以系統(tǒng)的平均利潤最大化作為目標(biāo)函數(shù)，驗(yàn)證了模型最優(yōu)解的存在性和唯一性，給出一個簡單的定理幫助確定系統(tǒng)的最優(yōu)補(bǔ)貨或者生產(chǎn)周期。數(shù)值算例和參數(shù)靈敏度的分析進(jìn)一步地驗(yàn)證了本文模型的有效性，得到了一些有意義的結(jié)論和管理啟示。

1 假定與記號

為了便于建立具體的決策模型，首先作以下假定與符號的說明：

(1)系統(tǒng)的訂貨速度或者生產(chǎn)率為常數(shù)P；

(2)庫存的物品為具有常數(shù)變質(zhì)率θ的物品，且物品變質(zhì)后無殘值；

(3)不允許缺貨；

(4)K表示零售商每次訂購物品的固定訂貨費(fèi)用或者加工生產(chǎn)物品的準(zhǔn)備費(fèi)用，h表示單位商品單位時間的庫存保管費(fèi)用，c表示單位物品購買費(fèi)用或者生產(chǎn)成本，s表示單位物品的銷售價格，且c≤s；

(5)T為每個訂貨或者生產(chǎn)周期的長度(決策變量)；Q是每周期的訂貨量或者生產(chǎn)量；

(6)t1表示每個周期中用于訂購或者生產(chǎn)物品的時間長度；

(7)I1(t)表示系統(tǒng)在時間區(qū)間(0,t1)內(nèi)t時刻的庫存水平,而I2(t)表示系統(tǒng)在(t1,T)內(nèi)的庫存水平；

(8)單位時間內(nèi)的需求量為D,D＞0；

(9)M為允許的滯后支付期。允許的滯后支付期未到期時零售商可以免除利息且可以利用所得銷售收入賺取一定的利息，而到期后則要支付相應(yīng)的利息；

(10)TM表示t1恰好等于M時整個周期T的長度(常量),顯然有TM＞M；

(11)Ip為單位庫存單位時間的支付利息，Ie為單位庫存單位時間的收益利息。

(12)Π(T)則表示在T≥0時該庫存系統(tǒng)的平均利潤。

2 模型建立

基于上面的分析與假定，整個庫存系統(tǒng)運(yùn)行過程如下：首先在每個訂貨或者生產(chǎn)周期初即t=0時刻，系統(tǒng)開始以常數(shù)速度生產(chǎn)物品，直到t1時刻生產(chǎn)停止，這時系統(tǒng)達(dá)到最大庫存水平；從t=t1開始系統(tǒng)中所庫存的物品量由于銷售和變質(zhì)而在T時刻降為零?？梢娫跁r間區(qū)間(0,t1)內(nèi),系統(tǒng)中庫存水平的變化歸因于生產(chǎn)、需求和變質(zhì)，所以在此區(qū)間內(nèi)庫存水平變化的狀態(tài)方程為

邊界條件為I1(0)=0.

另一方面，在時間區(qū)間(t1,T)內(nèi)系統(tǒng)庫存水平的變化只歸因于需求和變質(zhì)，所以在此區(qū)間內(nèi)庫存水平變化的狀態(tài)方程為

邊界條件為I2(T)=0.

易求出微分方程(1)和(2)的解分別為

和

因?yàn)橄到y(tǒng)的庫存水平是連續(xù)變化的，所以有I1(t1)=I2(t1),聯(lián)立(3)和(4)可得

和

其中

(6)式表明生產(chǎn)區(qū)間長度t1是整個周期T的函數(shù)。

設(shè)t1=M,可得TM的表達(dá)式為

顯然系統(tǒng)在一個周期內(nèi)的利潤函數(shù)由以下幾個部分組成：

(1)每周期的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用或者訂貨費(fèi)用為K.

(2)每周期的庫存費(fèi)用為

(3)每周期的購買費(fèi)用或者生產(chǎn)成本為cQ=cPt1.

(5)每周期在允許的滯后支付期限到期后，零售商為仍未出售的貨物的款項(xiàng)而支付的利息，分為以下兩種情形：

①當(dāng)T≤M時

因?yàn)橛嗀浕蛘呱a(chǎn)周期小于允許固定的滯后支付期，顯然此時要付的利息為0.

②當(dāng)T＞M時

這時因?yàn)門M＞M，所以又可分為以下兩種情形：

i)當(dāng)M＜T≤TM時,這表示t1≤M＜T,即允許的滯后支付期到期時系統(tǒng)已經(jīng)停止生產(chǎn)，所以零售商在時間區(qū)間[M,T]內(nèi)要為仍未出售的貨物的款項(xiàng)而支付利息，其值為

(ii)當(dāng)T＞TM時，這表示M＜t1＜T,即允許的滯后支付期到期時系統(tǒng)還處于生產(chǎn)階段，所以零售商在時間區(qū)間[M,t1]和[t1, T]內(nèi)要為仍未出售的貨物的款項(xiàng)而支付利息，其值為

(6)每周期零售商賺取的銷售收入的利息，也可分為以下兩種情形：

①當(dāng)T≤M時

既然t1≤T≤M，從時刻0到時刻M零售商總共所賺取的利息為

②當(dāng)T＞M時，進(jìn)一步有

i)當(dāng)M＜T≤TM時,意味著t1≤M＜T,所以在整個周期內(nèi)所賺取的利息為：

ii)當(dāng)T＞TM時，由于允許的滯后支付期到期時系統(tǒng)還處于生產(chǎn)階段，從時刻0到時刻M零售商可以一邊銷售一邊持續(xù)地利用所得收入來賺取利息，其值為

綜合以上分析可知零售商單位時間內(nèi)的平均利潤函數(shù)可以表示為：

Π (T)={銷售收入+賺取利息-訂貨/生產(chǎn)費(fèi)用-存儲費(fèi)用-購買成本-支付利息}/T,

由于TM＞M，所以此利潤函數(shù)可分為以下三種情形

經(jīng)過化簡和計算可得：

和

容易驗(yàn)證Π1(M)=Π2(M)，Π2(TM)=Π3(TM)。

3 模型求解

不妨先分別研究函數(shù)Πi(T)(i=1,2,3)在(0,+∞)內(nèi)的性質(zhì)。對Π1(T)求一階導(dǎo)數(shù)可得

為討論方便，設(shè)

于是dΠ1(T)/dT和f1(T)有相同的定義域和符號。進(jìn)一步對f1(T)求導(dǎo)可得

而由(6)式可知t1是T的函數(shù)，所以t1關(guān)于T的一、二階導(dǎo)數(shù)分別是

由于0＜r＜1,所以d2t1/dT2＞0.對(15)式分析可知df1/dT＜0.這表明f1(T)在(0,+∞)內(nèi)是嚴(yán)格遞減的.

同樣地，可以通過對Π2(T)求導(dǎo)來尋找其最優(yōu)值點(diǎn)。顯然

若設(shè)

進(jìn)一步對f2(T)求導(dǎo)可得

若f2(0)＞0，則由介值定理知f2(T)=0,即dΠ2(T)/dT=0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)(設(shè)為)，且f(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)2取正值，而在區(qū)間(,+∞)內(nèi)取負(fù)值。這意味著Π2(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(,+∞)內(nèi)嚴(yán)格遞減，因此Π2(T)在(0,+∞)內(nèi)于處取得最大值；但是如果f2(0)≤0，則f2(T)在(0,+∞)內(nèi)始終非正，因此Π2(T)將在(0,+∞)內(nèi)保持遞減。

同樣地，Π3(T)取得最優(yōu)值的必要條件是dΠ3(T)/dT=0,對Π3(T)求一階導(dǎo)數(shù)可得：

設(shè)

于是有

若f3(0)＞0，則f3(T)=0即dΠ3(T)/dT=0在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)(設(shè)為)，且f3(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)取正值，而在區(qū)間(,+∞)內(nèi)取負(fù)值。這意味著Π3(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(，+∞)內(nèi)嚴(yán)格遞減，因此(T)在(0,+∞)內(nèi)于處取得最大值；但是如果f3(0)≤0，則f3(T)在(0,+∞)內(nèi)始終非正，因此Π3(T)將在(0,+∞)內(nèi)遞減。

綜上所述，可得如下引理：

引理1.

(1)Π1(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(,+∞)內(nèi)嚴(yán)格遞減，即Π1(T)在(0,+∞)內(nèi)于處取得最大值。

(3)若f3(0)＞0，則Π3(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(,+∞)內(nèi)嚴(yán)格遞減，即Π3(T)在(0,+∞)內(nèi)于處取得最大值；否則Π3(T)將在(0,+∞)內(nèi)遞減。

基于引理1可以來尋找Π(T)的最優(yōu)值點(diǎn)T*。由(14)、(19)和(23)可得

和

為簡化表達(dá)，不妨設(shè)△1=f1(M)=f2(M)，△2=f2(TM)=f3(TM).由于f2(T)在(0,+∞)內(nèi)遞減，所以有△1≥△2。 通過分析，可得下面的定理1來尋找模型的最優(yōu)解T*.

定理1.

證明：(1)因?yàn)閒1(T)在(0,M)內(nèi)f1(T)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時f1(0)=K＞0，若△1≤0即f1(M)≤0，所以在(0,M)內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)(設(shè)為)，且f1(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)取正值，而在區(qū)間(,M)內(nèi)取負(fù)值。這意味著Π1(T)在區(qū)間(0,)內(nèi)嚴(yán)格遞增，在區(qū)間(,M)內(nèi)嚴(yán)格遞減。

而f2(T)在(M,TM)內(nèi)f2(T)嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時△2＜0即f2(M)≤0，f2(TM)≤0。也就是說f2(T)在區(qū)間(M,TM)內(nèi)取負(fù)值，這意味著Π2(T)在區(qū)間(M,TM)內(nèi)嚴(yán)格遞減。

又因?yàn)閒3(T)在(TM,+∞)內(nèi)f3(T)嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時△2=f3(TM)＜0，即在(TM,+∞)內(nèi)f3(T)＜0，此時Π3(T)在(TM,+∞)內(nèi)遞減。

(2)、(3)證明類似，從略。

根據(jù)定理1，容易求得系統(tǒng)的最優(yōu)訂貨或者生產(chǎn)周期T*，從而系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)區(qū)間（每周期的最優(yōu)生產(chǎn)量或者訂貨量Q*）也能夠根據(jù)Q=cp求出。因此，系統(tǒng)的最大平均利潤Π(T*)也可根據(jù)(9)求出。

5 數(shù)值例子

為了說明上面的理論結(jié)果，本文用兩個實(shí)例來分析模型的實(shí)際應(yīng)用。

例1.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用K=200元/次，單位時間的固定需求量D=5000單位/年，庫存費(fèi)用h=10元/單位/年，支付利率IP=0.15元/元/年，獲利利率Ie=0.05元/元/年，允許滯后支付期M=0.10年，單位成本價c=10元/單位，單位售價s=12元/單位，變質(zhì)率?=0.10，單位時間的P=1500單位/年,計算系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)－庫存策略以及最大利潤值。

在本例的情況下，對不同的M，K取值可能對系統(tǒng)最優(yōu)策略造成的影響進(jìn)行分析，計算結(jié)果如表1和表2所示。

表1 M的變化對最優(yōu)策略的影響

表2 K的變化對最優(yōu)策略的影響

由表1和表2可以得到如下結(jié)論：

（1）隨著允許滯后支付期M的增加，系統(tǒng)的T*和以及Π(T*)都在隨之增加，這與實(shí)際情況是相符合的。當(dāng)M的值增大時，生產(chǎn)時間增大，即生產(chǎn)（訂貨量）也會隨之增加，這是因?yàn)樵谠试S滯后時間變大的情況下，零售商或者生產(chǎn)商有更長的時間用于資金積累，而對于供應(yīng)商可以達(dá)到促銷的作用。

例2.假設(shè)每次訂貨或者生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用K=50元/次，單位時間的固定需求量D=1000單位/年，庫存費(fèi)用h=5元/單位/年，單位支付利率Ip=0.1元/元/年，單位獲利利率Ie=0.07元/元/年，允許滯后支付期M=0.10年，單位購買或者生產(chǎn)成本c=10元/單位，單位售價s=15元/單位，變質(zhì)率θ=0.2，單位時間的P=2000單位/年,計算系統(tǒng)的最優(yōu)生產(chǎn)－庫存策略以及最大利潤值。

計算得 TM=0.1980年,進(jìn)而判斷 △1=27.2509＞0,△2=-38.6054＜0,據(jù)定理1可知，Π(T*)=Π2()，T*=，且T*= 0.1487，由T*計算出=0.0749，由M,T可以直接計算得到此時的生產(chǎn)—庫存系統(tǒng)對應(yīng)的最大平均利潤為Π (T*)=4422.0元

進(jìn)一步對不同的θ值可能對系統(tǒng)最優(yōu)策略造成的影響進(jìn)行詳析，計算結(jié)果如表3所示。

表3 θ的變化對最優(yōu)策略的影響

由表3可以得到結(jié)論如下：當(dāng)商品變質(zhì)率θ的值增大時，系統(tǒng)最優(yōu)策略T*和以及Π(T*)都在隨之減小，即系統(tǒng)會減少生產(chǎn)（訂購）的產(chǎn)品數(shù)量。由以上分析可知，既然變質(zhì)率的增加會對最優(yōu)策略造成影響，導(dǎo)致最優(yōu)利潤的減少，所以系統(tǒng)必須盡可能的保證變質(zhì)率在較低的水平才可能實(shí)現(xiàn)利潤的最大化。

5 結(jié)論

本文研究了變質(zhì)性物品在允許滯后支付條件下的最優(yōu)生產(chǎn)—庫存模型。和已有研究的主要區(qū)別是本模型從以下五個方面推廣了傳統(tǒng)的EOQ模型：(1)物品的補(bǔ)充速度假設(shè)是有限的，(2)物品的零售價格高于物品的購買成本，(3)物品具有常數(shù)變質(zhì)速度，(4)供應(yīng)鏈中上游供應(yīng)商給下游零售商一個固定的滯后支付期，(5)平均利潤最大化作為模型的目標(biāo)函數(shù)去尋找最優(yōu)的訂貨策略。另外，本文詳細(xì)地討論了模型最優(yōu)解的存在性和唯一性，得到了簡單的尋找模型最優(yōu)訂貨策略的方法。最后，通過數(shù)例說明了模型的應(yīng)用，通過靈敏度分析得到了一些有益的管理啟示。當(dāng)然，本文中的模型也可以進(jìn)一步推廣到實(shí)際的供應(yīng)鏈中。

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