林海明

（廣東商學(xué)院 a.國民經(jīng)濟(jì)研究中心，b.經(jīng)濟(jì)貿(mào)易與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 廣州 510320)

0 引言

主成分分析是多元數(shù)據(jù)降維的重要方法之一，應(yīng)用廣泛。主成分的結(jié)果計(jì)算量大，應(yīng)用計(jì)算機(jī)軟件計(jì)算是必須的。在統(tǒng)計(jì)軟件SPSS、SAS中，SAS計(jì)算主成分的結(jié)果是正確的；SPSS迄今沒有主成分分析的模塊，不能直接得到主成分系數(shù)和主成分值。如何用SPSS快速計(jì)算主成分的結(jié)果，是SPSS使用者和教學(xué)面臨的理論和計(jì)算困難。

文獻(xiàn)[2]根據(jù)第j個(gè)主成分Yj=γj′X(X是標(biāo)準(zhǔn)化后原始變量)，用SPSS正確計(jì)算了主成分值，但計(jì)算中除了X的計(jì)算外，還有對話框中γj的輸入慢?！奥憋@然不能反映出計(jì)算機(jī)速度快的優(yōu)點(diǎn)。

美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家C.R.Rao(2004)認(rèn)為[4]：“進(jìn)行主成分分析和因子分析關(guān)系的理論研究，以及在個(gè)別的數(shù)據(jù)集中考察主成分與因子之間的實(shí)際差異，都是令人非常感興趣的”。

為了在原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化或中心化的一般條件下，能用SPSS快速計(jì)算主成分的結(jié)果，我們認(rèn)為理論和計(jì)算上，需要解決如下2個(gè)問題：

問題①：何為因子得分與主成分的一般等式關(guān)系式？

問題②：如何用SPSS快速計(jì)算一般性的主成分系數(shù)、主成分值？

據(jù)我們國內(nèi)外文獻(xiàn)的查詢，上述問題沒有解決。這里應(yīng)用因子分析中主成分法的初始因子載荷陣及其回歸的初始因子得分，解決了問題①，據(jù)此，用SPSS軟件的因子分析模塊和Transform Compute功能，解決了問題②。

1 主要理論結(jié)果

設(shè)X=（X1，…，Xp）'為可觀測的隨機(jī)向量(p≥2)，cov(X)=∑,均值E(X)=(μ1,…，μp)'=μ，r=秩(∑)≤p，∑的非零特征值為λ1、…、λr、λ1≥…≥λr，Ur=(γ1，…，γr)=(rij)p×r、這里∑γi=λiγi=(i=1,…，r)，Ur′Ur=Ir(單位陣)。原始變量數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化時(shí)，∑是相關(guān)陣，μ=0。

因子分析模型參見[1]。

為了解決問題①，有

定理1 設(shè)主成分法的初始因子載荷陣A0回歸的初始

事實(shí)上，A0、F0是因子分析模型L的解，見文獻(xiàn)[5](2009)。

2 快速計(jì)算主成分的SPSS操作步驟

為了解決問題②，以下用定理1，給出(1)原始數(shù)據(jù)正向化(正向化的目的是為了在方向趨同的情況下，進(jìn)行樣品的優(yōu)劣性比較)、標(biāo)準(zhǔn)化下，(2)原始數(shù)據(jù)正向化、中心化下，快速計(jì)算主成分系數(shù)、主成分值的SPSS操作步驟。

2.1 原始數(shù)據(jù)正向化、標(biāo)準(zhǔn)化下的步驟：

第一步，原始數(shù)據(jù)正向化:將原始變量X1-Xp的數(shù)據(jù)輸入或復(fù)制粘貼到數(shù)據(jù)窗口中，根據(jù)正向化公式，用Transform? compute，在對話框中輸入公式進(jìn)行計(jì)算，記正向化后的變量數(shù)據(jù)為x1-xp。

第二步，SPSS軟件初始因子結(jié)果的計(jì)算過程：

(1)按Analyze→Date Reduction→Factor順序單擊菜單項(xiàng)，打開因子分析主對話框。

(2)選擇正向化后的變量數(shù)據(jù)x1-xp為分析變量送到右面的Variables欄中。

(3)在主對話框中單擊Extraction按鈕，相應(yīng)的對話框中：

①M(fèi)ethod菜單中選擇Principal Component項(xiàng)(默認(rèn)項(xiàng))，使用主成分法；

②Analyze欄中選擇Correlation matrix(默認(rèn)項(xiàng))，變量數(shù)據(jù)x1-xp自動(dòng)執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)化；

③Extract欄中選擇Number of factor m(≤r)，要求計(jì)算m個(gè)因子的結(jié)果；

④Display欄中選擇Unrotated factor solution,要求顯示初始因子載荷陣結(jié)果，單擊Continue。

(4)在主對話框中單擊Rotation按鈕，在Method欄中選擇None，要求初始因子不作旋轉(zhuǎn)，單擊Continue。

(5)在主對話框中單擊Scores按鈕，在相應(yīng)的對話框中選擇Save as Variables，并在Method欄中選擇Regression，要求通過回歸方法計(jì)算因子得分值并把因子得分值作為新變量數(shù)據(jù)保存到數(shù)據(jù)文件中，單擊Continue。

(6)在主對話框中單擊OK提交系統(tǒng)執(zhí)行。

結(jié)果有：特征值λ1、…、λr在Total Variance Explained的 Initial Eigenvalues中，初始因子載荷陣A0=(,…，)是Component Matrix，A0回歸的初始因子得分,…，)的n個(gè)樣品值設(shè)為(,…，)，(,…，)顯示在數(shù)據(jù)窗口fac1-1、…、facm-1欄中。

第三步，主成分系數(shù)的快速算法：由引理1得：γj=j≤r，將A0(Component Matrix)復(fù)制粘貼到Word文檔，再將Word文檔中的A0復(fù)制粘貼到數(shù)據(jù)窗口中 (這比逐個(gè)輸入快得多)，用Transform→compute，在對話框中輸入r1=/SQRT (λ)→OK得主成分系數(shù)列r1；…；在對話框中輸入rm=1SQRT(λm)→OK得主成分系數(shù)列rm(即初始因子載荷陣A0是兩次復(fù)制粘貼、主成分系數(shù)列ri是1次除法計(jì)算)。

主成分系數(shù)列r1,…,rm的計(jì)算結(jié)果：顯示在數(shù)據(jù)窗口的r1、…、rm欄中。

第四步，主成分值的快速算法：設(shè)主成分Yj的n個(gè)樣品值是Zj，初始因子得分的n個(gè)樣品值是(facj-1)，由定理1得：Yj=,有Zj=，j≤r：用Transform→compute，在對話框中輸入Z1=SQRT(λm)*fac1-1→OK得Z1；…；在對話框中輸入Zm=SQRT(λm)*facm-1→OK得Zm(即主成分Yj的n個(gè)樣品值Zj是1次乘法計(jì)算)。

m個(gè)主成分n個(gè)樣品值Z1、…、Zm的計(jì)算結(jié)果：顯示在數(shù)據(jù)窗口的Z1、…、Zm欄中。

2.2 原始數(shù)據(jù)正向化、中心化下的步驟：

第一步，同2.1第一步。

第二步，僅在2.1第二步(3)②中，Analyze欄中選擇Covariance matrix，變量數(shù)據(jù)自動(dòng)執(zhí)行中心化；其余不變。

第三步，同2.1第三步。

第四步，同2.1第四步。

同已有算法比：這里的算法提高了初始因子載荷陣輸入到數(shù)據(jù)窗口的速度；不需要進(jìn)行原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化或中心化和主成分系數(shù)的輸入，便可快速算出主成分值。

3 實(shí)例

例：2001年廣東卷煙工業(yè)企業(yè)廣州卷煙一廠、廣州卷煙二廠、韶關(guān)卷煙廠、南雄卷煙廠、梅州卷煙廠、南海卷煙廠、湛江卷煙廠和廉江卷煙廠(n＝8)的經(jīng)濟(jì)效益變量為：X1-總資產(chǎn)貢獻(xiàn)率、X2-資本保值增值率、X3-資產(chǎn)負(fù)債率、X4-流動(dòng)資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率、X5-成本費(fèi)用利潤率、X6-全員勞動(dòng)生產(chǎn)率、X7-產(chǎn)品銷售率(p=7)，原始數(shù)據(jù)見表1。

表1 原始數(shù)據(jù)

(一)用SPSS軟件計(jì)算原始數(shù)據(jù)正向化、標(biāo)準(zhǔn)化的主成分結(jié)果。

(二)用SPSS軟件計(jì)算原始數(shù)據(jù)正向化、中心化的主成分結(jié)果。

表2 正向化原始數(shù)據(jù)

解：(一)⑴將表1原始變量X1-X7的數(shù)據(jù)輸入或拷貝到SPSS數(shù)據(jù)窗口中，X3-資產(chǎn)負(fù)債率為負(fù)向指標(biāo)，X7-產(chǎn)品銷售率為適度指標(biāo)，其余是正向的。X3正向化公式：-X3。適度指標(biāo)X7正向化公式：(|X7-1|+1)-1。SPSS軟件中用 Transform→compute進(jìn)行計(jì)算。在對話框中輸入公式x3=-X3→OK，x3顯示在數(shù)據(jù)窗口x3欄中；在對話框中輸入公式x7=1/(ABS) (X7-1)+1)→OK，x7顯示在數(shù)據(jù)窗口x7欄中。正向化后的指標(biāo)依次記為x1-x7，正向化數(shù)據(jù)見表2。

表3 總方差解釋(Initial Eigenvalues)

表4 初始因子載荷陣(Component Matrix)

⑵對表2數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化下，用 SPSS11.0計(jì)算初始因子的計(jì)算過程得相關(guān)陣特征值見表3，初始因子載荷見表4，初始因子得分值見表5。

⑶由表3相關(guān)陣特征值、表4初始因子載荷陣、應(yīng)用2.1第三步主成分的快速算法，得下列主成分的系數(shù)(xi是Xi的正向化、標(biāo)準(zhǔn)化變量)：

⑷由表3相關(guān)陣特征值、表5初始因子得分值、應(yīng)用2.1第四步主成分值的快速算法，兩次乘法計(jì)算得各企業(yè)主成分值表6(不是通過主成分公式、標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)計(jì)算的，但快速)。

表5 初始因子得分值

表6 主成分值

⑵對表2數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)中心化下，用SPSS11.0計(jì)算初始因子的計(jì)算過程得：協(xié)差陣特征值見表7，初始因子載荷陣見表8,初始因子得分值見表9。

⑶由表7的協(xié)差陣特征值、表8初始因子載荷陣、應(yīng)用2.2第三步主成分的快速算法，得下列主成分的系數(shù)(近似結(jié)果，xi是Xi的正向化、中心化變量)：

⑷由表7的協(xié)差陣特征值、表9初始因子得分值、應(yīng)用2.2第四步主成分值的快速算法，兩次乘法計(jì)算得各企業(yè)主成分值表10(不是通過主成分公式、中心化數(shù)據(jù)計(jì)算的，但快速)。

經(jīng)過驗(yàn)算，以上主成分系數(shù)、主成分值的結(jié)果與SAS軟件計(jì)算的結(jié)果一致。

4 結(jié)論與討論

4.1 結(jié)論

(1)在明確主成分分析與因子分析的一般性關(guān)系方面，這里應(yīng)用因子分析中主成分法的初始因子載荷陣回歸的初始因子得分，理論上建立了主成分與初始因子得分的一般關(guān)系式。

(2)在SPSS快速計(jì)算主成分結(jié)果方面，這里應(yīng)用SPSS原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化或中心化可自動(dòng)執(zhí)行和Transform →compute的 功能，應(yīng)用主成分分析與因子分析的一般性關(guān)系式，通過初始因子載荷陣、初始因子得分值的結(jié)果，快速地算出了主成分的結(jié)果。

表7 總方差解釋(Initial Eigenvalues)

表8 初始因子載荷陣(Component Matrix)

表9 初始因子得分值

表10 主成分值

4.2 討論

(1)任何方法能得到較滿意的結(jié)果都有其應(yīng)用的條件，主成分分析法要能得到較滿意的結(jié)果也有其應(yīng)用的條件。但該條件迄今沒有明確，這使得大多數(shù)教材和論文，只能列舉主成分計(jì)算的例和給出不太深入的分析，這給應(yīng)用和教學(xué)帶來了困難，故我們認(rèn)為：有必要明確，主成分分析法能得到較滿意結(jié)果的條件。

(2)主成分分析的目的之一是，確定少數(shù)幾個(gè)主成分盡可能多地反映原來變量的信息，這即是主成分個(gè)數(shù)的確定。主成分個(gè)數(shù)確定已有多個(gè)方法的結(jié)果，那個(gè)更好迄今沒有理論支持，這給應(yīng)用和教學(xué)帶來了困難，故我們認(rèn)為：有必要找到更好的方法確定主成分個(gè)數(shù)。

[1]張堯庭,方開泰著.多元統(tǒng)計(jì)分析引論[M].北京：科學(xué)出版社，1982.

[2]王芳.主成分分析與因子分析的異同比較及應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)教育,2003,（5）.

[3]何曉群編著.多元統(tǒng)計(jì)分析[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2004.

[4]G.S.馬達(dá)拉、C.R.拉奧編著.金融中的統(tǒng)計(jì)方法[M].王美今等譯.上海：上海人民出版社，2004.

[5]林海明.因子分析模型的改進(jìn)與應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2009,(6).