何孔德 方子帆 楊蔚華

(三峽大學(xué)機械與材料學(xué)院,湖北宜昌 443002)

門式起重機被大量應(yīng)用于制造業(yè)、港口運輸業(yè)及大型精密裝備的裝配中,其吊運空間有限、吊重大、吊裝位置要求精確,稍有不慎,就會造成貨物解體或損害其自身結(jié)構(gòu)[1].而且隨著懸吊鋼絲繩長度的增大,門式起重機的負載在快速定位上要花費較長時間,影響了生產(chǎn)效率,因此有必要研究如何快速穩(wěn)定吊重,并設(shè)計其控制系統(tǒng),有效提高工作效率和安全性.本文通過建立門式起重機動力學(xué)模型及其狀態(tài)空間方程,利用LQR線性二次最優(yōu)控制方法對其擺動進行了分析,采用Matlab對其進行仿真.結(jié)果表明,這種控制方法能有效降低門式起重機的擺動時間,提高定位精度和工作效率,對作業(yè)安全性具有重要意義[2].

1 門式起重機力學(xué)模型

門式起重機是靠兩個水平往復(fù)運動的綜合來完成重物吊運的,將吊重水平方向運動的運行機構(gòu)和吊重上下運動的起升機構(gòu)組合起來,就能使門式起重機為一個長方形面積及其上空的空間服務(wù).為了便于分析影響門式起重機吊重擺動的本質(zhì),根據(jù)工作中的實際情況對其作簡化處理:門式起重機在作業(yè)過程中,大車一般處于靜止?fàn)顟B(tài),因此不考慮大車的運動;小車在行走的過程中忽略起升鋼絲繩的長度變化;吊重始終處于水平狀態(tài)且只在垂直于水平的平面內(nèi)運動,這樣吊具和吊重可以簡化為無體積的質(zhì)點;忽略風(fēng)力和空氣阻力,不計系統(tǒng)的彈性變形;忽略電機、減速器等傳動機構(gòu)的非線性影響;假設(shè)小車與軌道之間的摩擦力和小車速度成線性關(guān)系[3];忽略鋼絲繩與小車連接處的摩擦力,通過以上的假設(shè)可得到簡化后的力學(xué)模型,如圖1所示.

圖1 小車-吊重系統(tǒng)力學(xué)模型

本文以MG型門式起重機為例進行研究,其參數(shù)及圖1中各符號所表示的意義見表1[4].

表1 模型參數(shù)及符號意義

2 門式起重機系統(tǒng)動力學(xué)方程

2.1 系統(tǒng)運動微分方程

依據(jù)圖1,系統(tǒng)受到的力有小車和吊重的自身重力,小車的驅(qū)動力,小車與軌道的阻力.由于假設(shè)L不變,則此系統(tǒng)具有兩個自由度,取圖1中X,Y所示的方向為正向,以小車A的坐標(biāo) x和纜繩的擺角θ為廣義坐標(biāo),建立廣義坐標(biāo)下的系統(tǒng)運動學(xué)方程.

小車和吊重的速度分別表示如下:

系統(tǒng)的動能:

可得其運動微分方程為

2.2 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與狀態(tài)方程

由于門式起重機吊重過程中鋼絲繩的長度比吊重擺動幅度要大得多,所以θ很小,線性化處理,sinθ =θ,cosθ=1,則其運動微分方程可寫為

對式(6)、(7)進行拉氏變換得:

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

依據(jù)式(6)、(7),取θ,˙θ,x,˙x為系統(tǒng)的狀態(tài)變量, x,θ為系統(tǒng)輸出,F為系統(tǒng)的輸入,則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

其中,X=[θ,˙θ,x,˙x],u=F,Y=[θ,x]T,則將式(6), (7)改寫為矩陣形式:

即

2.3 模型參數(shù)確定

依據(jù)表1,帶入具體參數(shù),得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

3 LQR線性二次型最優(yōu)控制原理

文中控制系統(tǒng)設(shè)計的目標(biāo)是使起重機在最短時間內(nèi)定位于指定位置,即此時載荷無擺動.由于性能指標(biāo)均為控制變量的二次型函數(shù)積分,故該系統(tǒng)可以視作二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題[5].線性二次型最優(yōu)問題的最優(yōu)解可以以統(tǒng)一的解析形式表示,可求得狀態(tài)線性反饋控制規(guī)律,由此而構(gòu)成一個閉環(huán)最優(yōu)反饋系統(tǒng).其狀態(tài)方程性能指標(biāo)為

其實現(xiàn)最優(yōu)控制的必要條件為

(1)狀態(tài)方程:

(2)協(xié)態(tài)方程:

(3)邊界條件:

(4)橫截條件:

(5)極值條件:

由式(25)得輸入為

即為使性能指標(biāo)達到最小的最優(yōu)控制輸入函數(shù).其中,λ(t)可由式λ(t)=P(t)x(t)求出.因此

由于R、B均為已知,所以求最優(yōu)控制u*(t)的問題就等效于求解矩陣P,由龐特李雅金極大值原理知,存在矩陣P滿足靜態(tài)黎卡提方程為

解方程求得P,從而得到最優(yōu)控制規(guī)律:

4 LQR控制系統(tǒng)設(shè)計與仿真

4.1 系統(tǒng)在未進行LQR控制之前的仿真

利用Matlab軟件進行仿真分析,求解起重機吊重在未進行LQR控制之前擺角的仿真曲線,如圖2所示.

圖2 未控制前吊重擺角響應(yīng)曲線

從圖2可以看出小車在到達指定位置的過程中,由于小車與軌道間存在阻尼,吊重擺動角度隨著時間的推移而衰減,但是衰減速度較慢且衰減過程中其振蕩頻率高,不利于起重機的實際操作.

4.2 LQR控制系統(tǒng)分析與設(shè)計

從圖3～4可以看出,門式起重機運行小車的位移達到預(yù)設(shè)位置10m處花費的時間是11s,此時小車速度趨于穩(wěn)定.從圖5～6可以看出,吊重擺角達到穩(wěn)定位置花費的時間是12s,此時擺角接近于0,角速度趨于穩(wěn)定,說明該控制器能夠使控制方程的狀態(tài)變量在很短的時間內(nèi)達到期望值,即實現(xiàn)小車在到達預(yù)定位置的同時消除負載的擺動.

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用拉格朗日方程建立了門式起重機系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,并推導(dǎo)出其運動微分方程及狀態(tài)空間方程,對采用控制器前和采用LQR最優(yōu)控制方法后起重機防擺問題進行了仿真研究,并在Matlab環(huán)境下進行了仿真.可以看出,LQR控制器能夠使?fàn)顟B(tài)方程的狀態(tài)變量在要求時間內(nèi)達到零,即在運行小車達到既定位置時快速消除吊重的擺動,使吊重精確定位.在此基礎(chǔ)上可以進一步進行控制器硬件的設(shè)計,設(shè)計出控制系統(tǒng).這種方法也可以推廣運用到其它起重機的防擺控制系統(tǒng)設(shè)計上.

[1] Khalid L.Sorensen,William Singhose,Stephen Dickerson.A ControllerEnablingPrecise Positioningand Sway Reduction in Bridge and Gantry Cranes[J].Control Engineering Practice,2007(15):825-837.

[2] 陳 翔.國際集裝箱運輸發(fā)展趨勢及經(jīng)營對策[J].中國水運,2008(11):18-19.

[3] 白傳悅.岸邊集裝箱起重機吊具減擺裝置[J].起重運輸機械,2005(8):23-44.

[4] 李 偉,李瑞華.起重機智能控制的發(fā)展現(xiàn)狀與思考[J].煤礦機械,2006,27(8):3-4.

[5] 王曉軍,邵惠鶴.基于模糊的橋式起重機的定位和防擺控制研究[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報,2005,26(4):936-939.

[6] 李 茂,曾昭龍,李文秀.艦載起重機的智能控制系統(tǒng)仿真研究[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報,2004,16(4):791-793.

[7] 梁承姬,張紀(jì)元.機械式減擺機構(gòu)的動力學(xué)模型及其數(shù)值計算[J].上海海運學(xué)報,2005,21(4):37-42.